Kategoria reprezentacji

W teorii reprezentacji kategoria i reprezentacji pewnej struktury algebraicznej A ma reprezentacje A jako obiekty mapy ekwiwariantne jako morfizmy między nimi. Jednym z podstawowych założeń teorii reprezentacji jest zrozumienie warunków, w jakich ta kategoria jest półprosta ; tj. czy obiekt rozkłada się na obiekty proste (patrz twierdzenie Maschkego dla przypadku grup skończonych ).

Formalizm tannakowski podaje warunki, w których grupa G może zostać wyprowadzona z kategorii jej reprezentacji wraz z funktorem zapominalnym do kategorii przestrzeni wektorowych .

Pierścień Grothendiecka kategorii skończenie wymiarowych reprezentacji grupy G nazywany jest pierścieniem reprezentacji G .

Definicje

W zależności od typów reprezentacji, które chcemy rozważyć, zwykle stosuje się nieco inne definicje.

Dla skończonej grupy G i ciała F kategoria reprezentacji G nad F ma

obiekty: pary ( V , f ) przestrzeni wektorowych V nad F i reprezentacje f G w tej przestrzeni wektorowej
morfizmy: odwzorowania ekwiwariantne
kompozycja: kompozycja map ekwiwariantnych
tożsamości: funkcja tożsamości (która jest mapą ekwiwariantną).

Kategoria jest oznaczona przez ${\ Displaystyle \ operatorname {Rep} _ {F} (G)}$ lub ${\ Displaystyle \ operatorname {Rep} (G)}$ .

W przypadku grupy Liego zazwyczaj wymaga się, aby reprezentacje były gładkie lub dopuszczalne . W przypadku algebry Liego zobacz reprezentację algebry Liego . Zobacz też: kategoria O .

Kategoria modułów w pierścieniu grupy

Istnieje izomorfizm kategorii między kategorią reprezentacji grupy G na polu F (opisanym powyżej) a kategorią modułów na pierścieniu grupowym F [ G ], oznaczonym jako F [ G ]-Mod .

Definicja teorii kategorii

Każdą grupę G można postrzegać jako kategorię z pojedynczym obiektem, gdzie morfizmy w tej kategorii są elementami G , a skład jest określony przez operację grupową; więc G jest grupą automorfizmów unikalnego obiektu. Biorąc pod uwagę dowolną kategorię C , reprezentacją G w C jest funktor od G do C. Taki funktor wysyła unikalny obiekt do obiektu, powiedzmy X w C , i indukuje homomorfizm grupy ${\ Displaystyle G \ do \ operatorname {Aut} (X)}$ ; zobacz grupę automorfizmów # W teorii kategorii, aby uzyskać więcej informacji. Na przykład zbiór G jest równoważny funktorowi od G do zbioru , kategorii zbiorów , a reprezentacja liniowa jest równoważna funktorowi z Vect _F , kategorią przestrzeni wektorowych nad ciałem F .

W tym ustawieniu kategorią liniowych reprezentacji G nad F jest kategoria funktorów G → Vect _F , której morfizmami są naturalne przekształcenia .

Nieruchomości

Kategoria reprezentacji liniowych grupy ma strukturę monoidalną określoną przez iloczyn tensorowy reprezentacji , który jest ważnym składnikiem dualizmu Tannaka-Krein (patrz poniżej).

Twierdzenie Maschkego stwierdza , że gdy charakterystyka F nie dzieli rzędu G , kategoria reprezentacji G przez F jest półprosta .

Ograniczenie i indukcja

Biorąc pod uwagę grupę G z podgrupą H , istnieją dwa fundamentalne funktory między kategoriami reprezentacji G i H (nad ustalonym polem): jeden to funktor zapominający zwany funktorem restrykcyjnym

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {Res} _ {H} ^ {G}: \ operatorname {Rep} (G) & \ longrightarrow \ operatorname {Rep} (H) \\\ pi & \ longmapsto \pi |_{H}\end{wyrównane}}}

a drugi, funktor indukcyjny

{\ Displaystyle \ operatorname {Ind} _ {H} ^ {G}: \ operatorname {Rep} (H) \ do \ operatorname {Rep} (G) }

.

Kiedy G i H są skończonymi grupami, są ze sobą połączone

{\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {G} (\ operatorname {Ind} _ {H} ^ {G }W,U)\cong \nazwa_operatora {Hom} _{H}(W,\nazwa_operatora {Res} _{H}^{G}U)}

,

twierdzenie zwane wzajemnością Frobeniusa .

Podstawowym pytaniem jest, czy rozkład na reprezentacje nieredukowalne (proste obiekty kategorii) zachowuje się w warunkach restrykcji czy indukcji. Kwestię tę można zaatakować na przykład teorią Mackeya .

Dualizm Tannaki-Kreina

Dualizm Tannaki – Kreina dotyczy interakcji zwartej grupy topologicznej i jej kategorii reprezentacji liniowych . Twierdzenie Tannaki opisuje odwrotne przejście z kategorii skończenie wymiarowych reprezentacji grupy G z powrotem do grupy G , pozwalając na odzyskanie grupy z jej kategorii reprezentacji. Twierdzenie Kreina w efekcie całkowicie charakteryzuje wszystkie kategorie, które mogą w ten sposób powstać z grupy. Koncepcje te można zastosować do reprezentacji kilku różnych struktur, szczegółowe informacje można znaleźć w głównym artykule.

Notatki

André, Yves (2004), Une wprowadzenie motywów aux (motywy purs, motywy mixtes, périodes) , Panoramas et Synthèses, tom. 17, Paryż: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1 , MR 2115000

Linki zewnętrzne

https://ncatlab.org/nlab/show/category+of+representations