Izomorfizm kategorii
W teorii kategorii dwie kategorie C i D są izomorficzne, jeśli istnieją funktory F : C → D i G : D → C , które są względem siebie odwrotne, tj. FG = 1 D (funktor tożsamości na D ) i GF = 1 C. _ Oznacza to , że zarówno obiekty , jak i morfizmy C i D stoją ze sobą w korespondencji jeden do jednego. Dwie kategorie izomorficzne mają wszystkie właściwości zdefiniowane wyłącznie w kategoriach teorii kategorii; ze wszystkich praktycznych względów są one identyczne i różnią się jedynie zapisem ich przedmiotów i morfizmów.
Izomorfizm kategorii jest warunkiem bardzo silnym i rzadko spełnianym w praktyce. O wiele ważniejsze jest pojęcie równoważności kategorii ; z grubsza mówiąc, dla równoważności nie wymagamy, aby była równa , tylko naturalnie izomorficzna z , i podobnie, że będzie naturalnie izomorficzny z .
Nieruchomości
Tak jak w przypadku każdego pojęcia izomorfizmu , mamy następujące ogólne własności formalnie podobne do relacji równoważności :
- każda kategoria C jest izomorficzna sama w sobie
- jeśli C jest izomorficzne z D , to D jest izomorficzne z C
- jeśli C jest izomorficzne z D i D jest izomorficzne z E , to C jest izomorficzne z E .
Funktor F : C → D daje izomorfizm kategorii wtedy i tylko wtedy , gdy jest bijatyczny na obiektach i na zbiorach morfizmów . Kryterium to może być wygodne, ponieważ pozwala uniknąć konieczności konstruowania funktora odwrotnego G .
Przykłady
-
Rozważ skończoną grupę G , ciało k i algebrę grupową kG . Kategoria k -liniowych reprezentacji grupowych G jest izomorficzna z kategorią lewych modułów nad kG . Izomorfizm można opisać następująco: mając reprezentację grupową ρ : G → GL( V ), gdzie V jest przestrzenią wektorową nad k , GL( V ) jest grupą jej k -liniowych automorfizmów , a ρ jest homomorfizmem grupy , zamieniamy V na lewy moduł kG definiując dla każdego v w V i każdego elementu Σ a g g w kG . I odwrotnie, biorąc pod uwagę lewy kG moduł M , to M jest przestrzenią wektorową k , a mnożenie przez element g z G daje k -liniowy automorfizm M (ponieważ g jest odwracalny w kG ), który opisuje homomorfizm grupowy G → GL ( M ). (Pozostaje jeszcze kilka rzeczy do sprawdzenia: oba te przypisania są funktorami, tj. można je zastosować do odwzorowań między reprezentacjami grupowymi lub kG i są do siebie odwrotne, zarówno na obiektach, jak i na morfizmach). Zobacz także Teoria reprezentacji grup skończonych § Reprezentacje, moduły i algebra splotów .
- Każdy pierścień można postrzegać jako kategorię preaddytywną z pojedynczym obiektem. Kategoria funktorów wszystkich funktorów addytywnych z tej kategorii do kategorii grup abelowych jest izomorficzna z kategorią lewych modułów nad pierścieniem.
- Inny izomorfizm kategorii pojawia się w teorii algebr Boole'a : kategoria algebr Boole'a jest izomorficzna z kategorią pierścieni Boole'a . Biorąc pod uwagę algebrę Boole'a B , zamieniamy B w pierścień logiczny, używając różnicy symetrycznej jako i operacji spotkania mnożenia. I odwrotnie, biorąc pod uwagę pierścień logiczny R , operację łączenia definiujemy za ∨ = a + b + ab , a operacja meet jako mnożenie. Ponownie, oba te przypisania można rozszerzyć na morfizmy, aby uzyskać funktory, a te funktory są do siebie odwrotne.
- Jeśli C jest kategorią z obiektem początkowym s, to kategoria wycinka ( s ↓ C ) jest izomorficzna z C. Podwójnie , jeśli t jest obiektem końcowym w C , kategoria funktora ( C ↓ t ) jest izomorficzna z C. Podobnie, jeśli 1 jest kategorią z jednym obiektem i tylko jego morfizmem tożsamościowym (w rzeczywistości 1 jest kategorią końcową ), a C jest dowolną kategorią, to funktor kategoria C 1 , z obiektami funktory c : 1 → C , wybierając obiekt c ∈Ob( C ), i strzałkami naturalne przekształcenia f : c → d pomiędzy tymi funktorami, wybierając morfizm f : c → d w C jest ponownie izomorficzne z C .
