Subring punktu stałego

W algebrze podpierścień punktu stałego automorfizmu $R$ pierścienia jest podpierścieniem punktów stałych f to znaczy _ _ _

{\ Displaystyle R ^ {f} = \ {r \ w R \ mid f (r) = r \}.}

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli G jest grupą działającą na R , to podpierścień R

{\ Displaystyle R ^ {G} = \ {r \ w R \ środkowy g \ cdot r = r, \, g \ w G \} }

nazywa się stałym podpierścieniem lub, bardziej tradycyjnie, pierścieniem niezmienników pod $G$ . Jeśli S jest zbiorem automorfizmów R , elementy R , które są ustalone przez elementy S , tworzą pierścień niezmienników w grupie generowanej przez S . W szczególności podpierścieniem punktu stałego automorfizmu f jest pierścień niezmienników grupy cyklicznej generowany przez f .

W teorii Galois , gdy R jest polem , a G jest grupą automorfizmów polowych, pierścień stały jest podciałem zwanym polem stałym grupy automorfizmów; patrz Podstawowe twierdzenie teorii Galois .

Wraz z modułem kowariantów , pierścień niezmienników jest centralnym przedmiotem badań w teorii niezmienników . Geometrycznie pierścienie niezmienników są pierścieniami współrzędnych (afinicznych lub rzutowych) ilorazów GIT i odgrywają fundamentalną rolę w konstrukcjach geometrycznej teorii niezmienników .

Przykład : Niech ${\ Displaystyle R = k [x_ {1}, \ kropki, x_ {n}]}$ będzie pierścieniem wielomianowym w n zmiennych. Grupa symetryczna Sn działa na R poprzez permutację zmiennych _. Wtedy pierścień niezmienników ${\ Displaystyle R ^ {G} = k [x_ {1}, \ kropki, x_ {n}] ^ {\ operatorname {S } _{n}}}$ jest pierścieniem wielomianów symetrycznych . Jeśli redukcyjna grupa algebraiczna G działa na R , to ^{fundamentalne} twierdzenie teorii niezmienników opisuje generatory RG .

Czternasty problem Hilberta dotyczy tego, czy pierścień niezmienników jest generowany w sposób skończony, czy nie (odpowiedź jest twierdząca, jeśli G jest redukcyjną grupą algebraiczną na mocy twierdzenia Nagaty). Skończone pokolenie jest łatwo widoczne dla skończonej grupy G działającej na skończenie wygenerowanej algebrze R : ponieważ R jest całkowe po RG , lemat Artina – Tate'a implikuje ^,^{że RG} jest skończenie generowaną algebrą. Odpowiedź jest negatywna dla niektórych grup unipotentnych .

Niech G będzie grupą skończoną. Niech S będzie algebrą symetryczną skończenie wymiarowego modułu G. Wtedy G jest grupą refleksyjną wtedy i tylko wtedy, gdy jest wolnym modułem (o skończonej $randze$ ) nad S ^G (twierdzenie Chevalleya) ^{[ potrzebne źródło ]}

W geometrii różniczkowej $jeśli$ G jest grupą i jego algebrą Liego główna wiązka G rozmaitość M określa stopniowany homomorfizm algebry (zwany homomorfizmem Cherna-Weila )

{\ Displaystyle \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}] ^ {G} \ do \ nazwa operatora {H} ^ {2 *} (M ;\mathbb {C} )}

gdzie do ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}]}$ jest pierścieniem funkcji wielomianowych na ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ G działa na ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}]}$ przez sprzężoną reprezentację .

Zobacz też

Różnorodność postaci

Notatki

Mukai, Shigeru; Oxbury, WM (8 września 2003) [1998], Wprowadzenie do niezmienników i modułów , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 81, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-80906-1 , MR 2004218
Springer, Tonny A. (1977), Niezmienna teoria , Lecture Notes in Mathematics, tom. 585, Springera