Twierdzenie Brauera o postaciach indukowanych

Twierdzenie Brauera o postaciach indukowanych , często znane jako twierdzenie o indukcji Brauera i nazwane na cześć Richarda Brauera , jest podstawowym wynikiem w gałęzi matematyki znanej jako teoria znaków , w ramach teorii reprezentacji grupy skończonej .

Tło

Prekursorem twierdzenia Brauera o indukcji było twierdzenie Artina o indukcji , które stwierdza, że ​​| G | razy trywialny charakter G jest całkowitą kombinacją znaków, z których każdy jest indukowany z trywialnych znaków cyklicznych podgrup G. Twierdzenie Brauera usuwa czynnik | G |, ale kosztem rozszerzenia zbioru używanych podgrup. Kilka lat po pojawieniu się dowodu twierdzenia Brauera, JA Green wykazał (w 1955 r.), że żadnego takiego twierdzenia o indukcji (z całkowitymi kombinacjami znaków wyprowadzonymi ze znaków liniowych) nie można udowodnić ze zbiorem podgrup mniejszych niż podgrupy elementarne Brauera.

$suma \ lambda _ {i} \ rho _ {i}}$ i znanym również jako twierdzenie Brauera lub $lemat$ Brauera, fakt, że regularną reprezentację zapisać jako $gdzie$ są dodatnimi wymiernymi , a ${i}}$ są indukowane ze znaków cykliczne podgrupy G . Zauważ, że w twierdzeniu Artina znaki są indukowane z trywialnego charakteru grupy cyklicznej, podczas gdy tutaj są indukowane z dowolnych znaków (w zastosowaniach do funkcji L Artina ważne jest, aby grupy były cykliczne, a zatem wszystkie znaki są liniowe, dając że odpowiednie funkcje L są analityczne).

Oświadczenie

Niech G będzie skończoną grupą i niech Char( G ) oznacza podpierścień pierścienia funkcji klasowych o wartościach zespolonych G składający się z całkowitych kombinacji nieredukowalnych znaków . Char( G ) jest znany jako pierścień znaków G , a jego elementy są znane jako znaki wirtualne (alternatywnie jako znaki uogólnione lub czasami znaki różnicowe ). Jest to pierścień z racji tego, że iloczyn znaków G jest ponownie znakiem G. Jego mnożenie jest dane przez elementarny iloczyn funkcji klasowych.

( jako grupa abelowa ) przez indukowane $.$ postaci , H obejmuje podgrupy G i waha się nad znakami liniowymi (o stopniu 1) H .

W rzeczywistości Brauer wykazał, że podgrupy H można wybrać z bardzo ograniczonego zbioru, obecnie nazywanego podgrupami elementarnymi Brauera . Są to bezpośrednie iloczyny grup cyklicznych i grup, których kolejność jest potęgą liczby pierwszej.

Dowody

Dowód twierdzenia Brauera o indukcji wykorzystuje strukturę pierścienia Char ( G ) (większość dowodów wykorzystuje również nieco większy pierścień, Char * (G), który składa się z ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ omega ]} -$ kombinacje znaków nieredukowalnych, gdzie ω to kompleks pierwotny | G |-ty pierwiastek jedności). Zbiór całkowitych kombinacji znaków indukowanych ze znaków liniowych podgrup elementarnych Brauera jest idealnym I ( G ) Char( G ), więc dowód sprowadza się do wykazania, że ​​znak trywialny jest w I ( G ). Kilka dowodów twierdzenia, poczynając od dowodu Brauera i Johna Tate'a , pokazuje, że trywialny charakter jest w analogicznie zdefiniowanym ideale I *( G ) Char*( G ) poprzez koncentrację uwagi na jednej liczbie pierwszej p na raz, oraz konstruowanie elementów I * ( G ) o wartościach całkowitych , które różnią się (elementami) od trywialnego znaku (liczbami całkowitymi) wystarczająco dużą potęgą p . Gdy zostanie to osiągnięte dla każdego pierwszego dzielnika | G |, pewne manipulacje kongruencjami i algebraicznymi liczbami całkowitymi , ponownie wykorzystując fakt, że I *( G ) jest ideałem Ch*( G ), umieść znak trywialny w I ( G ). Pomocniczym wynikiem jest tutaj to, że ${ \displaystyle \mathbb {Z} [\omega]}$ klasy o wartościach leży w ideale $), jeśli$ * ( g są podzielne (w ) przez | G |.

Twierdzenie Brauera o indukcji zostało udowodnione w 1946 roku i obecnie istnieje wiele alternatywnych dowodów. W 1986 roku Victor Snaith przedstawił dowód przy użyciu radykalnie odmiennego podejścia, z natury topologicznego (zastosowanie twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym ). Niedawne prace dotyczyły znalezienia naturalnych i wyraźnych form twierdzenia Brauera, zwłaszcza Roberta Boltje.

Aplikacje

Korzystając z wzajemności Frobeniusa , twierdzenie Brauera o indukcji łatwo prowadzi do jego podstawowej charakterystyki znaków , która stwierdza, że ​​​​funkcja klasowa G o wartościach zespolonych jest postacią wirtualną wtedy i tylko wtedy, gdy jej ograniczenie do każdej elementarnej podgrupy G Brauera jest postacią wirtualną. Wynik ten, wraz z faktem, że wirtualny znak θ jest charakterem nieredukowalnym wtedy i tylko wtedy, gdy θ (1) > 0 i ${\ Displaystyle \ langle \ theta \ theta \ rangle = 1}$ ( gdzie jest zwykłym $daje$ wewnętrznym na pierścieniu funkcji klas o wartościach zespolonych sposób na konstruowanie nieredukowalnych znaków bez jawnego konstruowania powiązanych reprezentacji

Początkową motywacją dla twierdzenia Brauera o indukcji było zastosowanie do funkcji L Artina . Pokazuje, że są one zbudowane z funkcji L Dirichleta lub bardziej ogólnych funkcji L Heckego . Bardzo istotne dla tego zastosowania jest to, czy każdy znak G jest nieujemną kombinacją liczb całkowitych znaków indukowanych z liniowych znaków podgrup. Ogólnie rzecz biorąc, tak nie jest. W rzeczywistości, zgodnie z twierdzeniem Takety, jeśli wszystkie znaki G są tak wyrażalne, to G musi być rozwiązywalną grupą (chociaż sama rozwiązywalność nie gwarantuje takich wyrażeń - na przykład rozwiązalna grupa SL(2,3) ma nieredukowalną charakter złożony stopnia 2, który nie daje się wyrazić jako nieujemna kombinacja liczb całkowitych indukowanych z liniowych znaków podgrup). Składnikiem dowodu twierdzenia Brauera o indukcji jest to, że gdy G jest skończoną grupą nilpotentną , każdy złożony nieredukowalny charakter G jest indukowany z liniowego charakteru jakiejś podgrupy.

•     Isaacs, IM (1994) [1976]. Teoria postaci grup skończonych . Dover. ISBN 0-486-68014-2 . Zbl 0849.20004 . Poprawiony przedruk oryginału z 1976 roku, opublikowany przez Academic Press. Zbl 0337.20005

Dalsza lektura

•    Snaith, wiceprezes (1994). Wyraźna indukcja Brauera: z zastosowaniami do algebry i teorii liczb . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Tom. 40. Cambridge University Press . ISBN 0-521-46015-8 . Zbl 0991.20005 .