Wzór Moliena

W matematyce wzór Moliena oblicza funkcję generującą dołączoną do liniowej reprezentacji grupy G w skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej , która zlicza jednorodne wielomiany o danym całkowitym stopniu , które są niezmiennikami dla G . Jej nazwa pochodzi od Theodora Moliena .

Dokładniej, mówi: biorąc pod uwagę skończenie wymiarową zespoloną reprezentację V G i $n}=\operatorname {Sym} ^{n}(V^{*})}$${\ Displaystyle R_ {n} = \ mathbb {C} [V] _$ { , przestrzeń jednorodnych funkcji wielomianowych na V stopnia n (wielomiany jednorodne pierwszego stopnia są dokładnie funkcjonałami liniowymi), jeśli G jest grupą skończoną , seria (tzw Szereg Molien ) można obliczyć jako:

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ dim (R_ {n} ^ {G}) t ^ {n} = (\ # G) ^ {- 1} \ suma _ {g \ w G}\det(1-tg|V^{*})^{-1}.}$

Tutaj ${\ Displaystyle R_ {n} ^ {G}}$ jest podprzestrzenią ${\ displaystyle R_ {n}}$ , która składa się ze wszystkich wektorów ustalonych przez wszystkie elementy G ; tj. niezmienne formy stopnia n . Zatem jego wymiarem jest liczba niezmienników stopnia n . Jeśli G jest grupą zwartą, podobny wzór odnosi się do miary Haara.

Pochodzenie

Niech oznaczają $_$ grupy G , R . _ Wtedy znak z ${\ displaystyle R_ {n}}$ można zapisać jako: ${\ Displaystyle \ chi _ {R_ {n}}}$

${\ Displaystyle \ chi _ {R_ {n}} = \ suma _ {i = 1} ^ {r} a_ {i, n} \ chi _ {i}.}$

Tutaj każdy ${\ displaystyle a_ {i, n}}$ określony przez iloczyn wewnętrzny: za

${\ Displaystyle a_ {i, n} = \ langle \ chi _ {R_ {n}}, \ chi _ {i} \ rangle = (\ # G) ^ {- 1} \ suma _{g\w G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\chi _{R_{n}}(g)=(\#G)^{-1}\sum _{g \in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\sum _{|\alpha |=n}\lambda (g)^{\alpha}}$

gdzie ${\ textstyle \ lambda (g) ^ {\ alfa} = \ prod _ {i = 1} ^ {m} \ lambda _ {i } (g) ^ {\ alfa _ {i}}}$ i ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} (g), \ kropki, \ lambda _ {m} (g)}$ to możliwie powtarzające się wartości własne ${\ Displaystyle g: V ^ {*} \ do V ^ {*}}$ . Teraz obliczamy szereg:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {i, n} t ^ {n} & = (\ # G) ^ {- 1} \ suma _ {g \in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\sum _{\alpha}(\lambda _{1}(g)t)^{\alpha _{1}}\cdots ( \lambda _{m}(g)t)^{\alpha _{m}}\\&=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _ {i}}}(g)(1-\lambda _{1}(g)t)^{-1}\cdots (1-\lambda _{m}(g)t)^{-1}\\ &=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\det(1-tg|V^{*})^ {-1}.\end{wyrównane}}}$

Przyjmując $.$ otrzymujemy wzór Moliena

Przykład

Rozważmy grupę symetryczną działającą na $3$ ^przez współrzędnych . Sumę sumujemy według elementów grupowych w następujący sposób. Zaczynając od tożsamości, mamy

${\ Displaystyle \ det {\ rozpocząć {pmatrix} 1-t & 0 & 0 \\ 0 i 1-t & 0 \\ 0 i 0 i 1-t \ koniec {pmatrix}} = (1-t)^{3}}$ .

Istnieje trzyelementowa klasa koniugacji $się z$ dwóch współrzędnych. Daje to trzy wyrazy formy

${\ Displaystyle \ det {\ rozpocząć {pmatrix} 1 & - t & 0 \\ - t & 1 & 0 \\ 0 & 0 i 1-t \ koniec {pmatrix}} = (1-t) (1-t ^ {2}).}$

Istnieje dwuelementowa klasa koniugacji cyklicznych permutacji, dająca dwa wyrazy formy

${\ Displaystyle \ det {\ początek {pmatrix} 1&-t&0 \\0&1&-t\\-t&0&1\koniec {pmatrix}}=\ lewo (1-t ^ {3}\prawo).}$

Zauważ, że różne elementy tej samej klasy koniugacji dają ten sam wyznacznik. Zatem szereg Molien jest

${\ Displaystyle M (t) = {\ Frac {1} {6}} \ lewo ({\ Frac {1} {(1-t) ^ {3}}} + {\ Frac {3} {(1- t)(1-t^{2})}}+{\frac {2}{1-t^{3}}}\right)={\frac {1}{(1-t)(1-t ^{2})(1-t^{3})}}.}$

Z drugiej strony możemy rozszerzyć szereg geometryczny i pomnożyć, aby uzyskać

${\ Displaystyle M (t) = (1 + t + t ^ {2} + t ^ {3} + \cdots )(1+t^{2}+t^{4}+\cdots )(1+t^{3}+t^{6}+\cdots )=1+t+2t^{2}+ 3t^{3}+4t^{4}+5t^{5}+6t^{6}+7t^{7}+9t^{8}+11t^{9}+\cdots }$

Współczynniki szeregu mówią nam o liczbie liniowo niezależnych wielomianów jednorodnych w trzech zmiennych, które są niezmienne przy permutacjach trzech zmiennych, czyli liczbie niezależnych wielomianów symetrycznych w trzech zmiennych. W rzeczywistości, jeśli weźmiemy pod uwagę elementarne wielomiany symetryczne

${\ Displaystyle \ sigma _ {1} = x + y + z}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {2} = xy + xz + yz }$

${\ Displaystyle \ sigma _ {3} = xyz}$

widzimy na przykład, że w stopniu 5 istnieje podstawa składająca się z ${\ Displaystyle \ sigma _ {3} \ sigma _ {2}}$ , ${\ Displaystyle \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} ^ {2}}$ , ${\ Displaystyle \ sigma _ {2} ^ {2} \ sigma _ {1}}$ , ${\ Displaystyle \ sigma _ { 1} ^ {3} \ sigma _ {2}}$ i ${\ Displaystyle \ sigma _ {1} ^ {5}}$ .

${$ k $} }}$ \ displaystyle $}$ i ${\ Displaystyle t ^ {3}}$ dokładnie odpowiadające kombinacjom ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}}$ , ${\ Displaystyle \ sigma _ {2}}$ i ${ \displaystyle \sigma _{3}}$$również$ podziałom z $częściami$$,$ i $}$ { \ displaystyle Zobacz także Podział (teoria liczb) i Teoria reprezentacji grupy symetrycznej ).

• David A. Cox, John B. Little, Donal O'Shea (2005), Korzystanie z geometrii algebraicznej , s. 295–8
•   Molien, Th. (1897). "Uber die Invarianten der linearen Substitutionsgruppen" . Sitzungber. Konig. Preuss. Akad. Wiss. (J. Berl. Ber.) . 52 : 1152–1156. JFM 28.0115.01 .
•   Mukai, S. (2002). Wprowadzenie do niezmienników i modułów . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Tom. 81. ISBN 978-0-521-80906-1 .
• Richard P. Stanley, Niezmienniki grup skończonych i ich zastosowania w kombinatoryce , Bull. Amer. Matematyka soc. (nowa seria) 1 (1979), 475–511.

Dalsza lektura

• https://mathoverflow.net/questions/58283/a-question-about-an-application-of-moliens-formula-to-find-the-generators-and-r