Moduł demazurowy

W matematyce moduł Demazure'a , wprowadzony przez Demazure'a ( 1974a , 1974b ), jest podmodułem skończenie-wymiarowej reprezentacji generowanej przez ekstremalną przestrzeń wagową pod wpływem podalgebry Borela . Formuła postaci Demazure'a , wprowadzona przez Demazure'a ( 1974b , twierdzenie 2), podaje postacie modułów Demazure'a i jest uogólnieniem formuły postaci Weyla . Wymiarem modułu Demazure'a jest wielomian o największej wadze, zwany wielomianem Demazure'a .

Moduły rozmazujące

Załóżmy, że g jest złożoną półprostą algebrą Liego, z podalgebrą Borela b zawierającą podalgebrę Cartana h . Nieredukowalna skończenie wymiarowa reprezentacja V g dzieli się jako suma przestrzeni własnych h , a przestrzeń o najwyższej wadze jest jednowymiarowa i jest przestrzenią własną b . Grupa Weyla W działa na wagi V , a koniugaty w λ wektora o najwyższej wadze λ pod tym działaniem są ekstremalnymi wagami, których przestrzenie wag są wszystkie 1-wymiarowe.

Moduł Demazure'a jest b -submodułem V generowanym przez przestrzeń wagową ekstremalnego wektora w λ, więc submoduły Demazure'a V są sparametryzowane przez grupę Weyla W .

Istnieją dwa skrajne przypadki: jeśli w jest trywialne, moduł Demazure jest tylko 1-wymiarowy, a jeśli w jest elementem o maksymalnej długości W , to moduł Demazure jest całością nieredukowalnej reprezentacji V .

Moduły Demazure można zdefiniować w podobny sposób dla reprezentacji algebr Kaca-Moody'ego o najwyższej wadze , z tym wyjątkiem, że ma się teraz 2 przypadki, ponieważ można rozważyć podmoduły wygenerowane przez podalgebrę Borela b lub jej przeciwną podalgebrę. W skończonym wymiarze są one wymieniane przez najdłuższy element z grupy Weyla, ale nie ma to już miejsca w nieskończonych wymiarach, ponieważ nie ma najdłuższego elementu.

Formuła postaci Demazura

Historia

Formuła postaci Demazure'a została wprowadzona przez ( Demazure 1974b , twierdzenie 2). Victor Kac zwrócił uwagę, że dowód Demazure'a ma poważną lukę, ponieważ zależy od ( Demazure 1974a , Twierdzenie 11, sekcja 2), co jest fałszywe; patrz ( Joseph 1985 , sekcja 4) dla kontrprzykładu Kaca. Andersen (1985) przedstawił dowód formuły charakteru Demazure'a, korzystając z pracy Ramanana i Ramanathana dotyczącej geometrii odmian Schuberta (1985) oraz Mehty i Ramanathana (1985) . Joseph (1985) przedstawił dowód na wystarczająco duże dominujące moduły o największej masie przy użyciu technik algebry Liego. Kashiwara (1993) udowodnił wyrafinowaną wersję formuły postaci Demazure'a, o której przypuszczał Littelmann (1995) (i udowodnił to w wielu przypadkach).

Oświadczenie

Formuła postaci Demazure jest

${\ Displaystyle {\ tekst {Ch}} (F (w \ lambda)) = \ Delta _ {1} \ Delta _ {2} \ cdots \Delta _{n}e^{\lambda}}$

Tutaj:

• w jest elementem grupy Weyla, o zredukowanym rozkładzie w = s ₁ ... s _n jako iloczyn odbić pierwiastków prostych.
• λ jest najniższą wagą, a e ^λ odpowiednim elementem pierścienia grupowego sieci wagowej.
• Ch( F ( w λ)) jest charakterem modułu Demazure F ( w λ).
• P to siatka wagowa, a Z [ P ] to jej pierścień grupowy.
• $ρ$$rho) - \ rho}$ Displaystyle w \ cdot u = w (u + .
• Δ _α dla α a pierwiastek jest endomorfizmem modułu Z Z [ P ] określonym przez

${\ Displaystyle \ Delta _ {\ alfa} (u) = {\ Frac {u-s_ {\ alfa} \ cdot u} {1-e ^{-\alpha }}}}$

i Δ _j to Δ _α dla α pierwiastek z s _j

•     Andersen, HH (1985), „Odmiany Schuberta i formuła charakteru Demazure'a”, Inventiones Mathematicae , 79 (3): 611–618, doi : 10.1007 / BF01388527 , ISSN 0020-9910 , MR 0782239 , S2CID 121295084
•    Demazure, Michel (1974a), „Désingularisation des variétés de Schubert généralisées”, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 7 : 53–88, doi : 10.24033/asens.1261 , ISSN 0012-9593 , MR 035 4697
•    Demazure, Michel (1974b), „Une nouvelle formule des caractères”, Bulletin des Sciences Mathématiques , 2e Série, 98 (3): 163–172, ISSN 0007-4497 , MR 0430001
•    Joseph, Anthony (1985), „O formule postaci Demazure”, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 18 (3): 389–419, doi : 10.24033/asens.1493 , ISSN 0012-9593 , MR 0826100
•    Kashiwara, Masaki (1993), „Podstawa kryształu i wyrafinowana formuła postaci Demazure Littelmanna”, Duke Mathematical Journal , 71 (3): 839–858, doi : 10.1215 / S0012-7094-93-07131-1 , ISSN 0012-7094 , MR 1240605
•    Littelmann, Peter (1995), „Grafy kryształowe i obrazy młodych”, Journal of Algebra , 175 (1): 65–87, doi : 10.1006/jabr.1995.1175 , ISSN 0021-8693 , MR 1338967
•     Mehta, VB; Ramanathan, A. (1985), „Frobenius splitting and cohomology znikający dla odmian Schuberta”, Annals of Mathematics , Second Series, 122 (1): 27–40, doi : 10.2307/1971368 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971368 , MR 0799251
•     Ramanan, S.; Ramanathan, A. (1985), „Projekcyjna normalność odmian flagowych i odmian Schuberta”, Inventiones Mathematicae , 79 (2): 217–224, doi : 10.1007 / BF01388970 , ISSN 0020-9910 , MR 0778124 , S2CID 123105737