Metoda orbity

W matematyce metoda orbit (znana również jako teoria Kirillova , metoda orbit współsprzężonych i pod kilkoma podobnymi nazwami) ustanawia zgodność między nieredukowalnymi reprezentacjami unitarnymi grupy Liego a jej współsprzężonymi orbitami : orbitami działania grupy na przestrzeni dualnej swojej algebry Liego . Teoria została wprowadzona przez Kirillova ( 1961 , 1962 ) dla grup nilpotentnych a później rozszerzony przez Bertrama Kostanta , Louisa Auslandera , Lajosa Pukánszky'ego i innych na przypadek grup rozwiązywalnych . Roger Howe znalazł wersję metody orbitalnej, która ma zastosowanie do p -adycznych grup Liego. David Vogan zaproponował, aby metoda orbit służyła jako zasada jednocząca w opisie unitarnych dualiów rzeczywistych redukcyjnych grup Liego.

Związek z geometrią symplektyczną

Jedną z kluczowych obserwacji Kiriłłowa było to, że współsączące orbity grupy Liego G mają naturalną strukturę rozmaitości symplektycznych , których struktura symplektyczna jest niezmienna pod G . Jeśli orbita jest przestrzenią fazową G -niezmienniczego klasycznego układu mechanicznego , to odpowiedni układ mechaniki kwantowej powinien być opisany za pomocą nieredukowalnej jednolitej reprezentacji G . Geometryczne niezmienniki orbity przekładają się na algebraiczne niezmienniki odpowiedniej reprezentacji. W ten sposób metoda orbity może być postrzegana jako precyzyjna matematyczna manifestacja niejasnej fizycznej zasady kwantyzacji. W przypadku nilpotentnej grupy G zgodność obejmuje wszystkie orbity, ale dla ogólnej G konieczne są dodatkowe ograniczenia dotyczące orbity (polaryzowalność, integralność, warunek Pukánszky'ego). Ten punkt widzenia został znacznie rozwinięty przez Kostanta w jego teorii kwantyzacji geometrycznej współsprawionych orbit.

Formuła postaci Kiriłłowa

Dla grupy Liego $daje$ orbity Kirillova metodę heurystyczną w teorii reprezentacji . Łączy on transformaty Fouriera współsprzężonych orbit , które leżą w przestrzeni dualnej algebry Liego G , z nieskończenie małymi znakami reprezentacji nieredukowalnych . Metoda ma swoją nazwę na cześć rosyjskiego matematyka Aleksandra Kiriłłowa .

Mówiąc najprościej, stwierdza, że charakter grupy Liego może być nadany przez transformatę Fouriera funkcji delta Diraca obsługiwanej na połączonych orbitach, ważoną pierwiastkiem kwadratowym jakobianu mapy wykładniczej , oznaczoną przez ${\ styl wyświetlania j}$ . Nie dotyczy to wszystkich grup Liego, ale działa dla wielu klas połączonych grup Liego, w tym nilpotentnych , niektórych półprostych i zwartych .

Przypadki specjalne

Przypadek grupy nilpotentnej

Niech G będzie spójną , po prostu spójną nilpotentną grupą Liego . Kirillov udowodnił, że klasy równoważności nieredukowalnych unitarnych reprezentacji G są sparametryzowane przez wspólne orbity G , czyli orbity działania G na przestrzeni podwójnej $^ {*}}$ } swojej algebry Liego. Formuła postaci Kirillov wyraża charakter Harish-Chandra reprezentacji jako pewnej całki po odpowiedniej orbicie.

Kompaktowa obudowa grupy Lie

Złożone nieredukowalne reprezentacje zwartych grup Liego zostały całkowicie sklasyfikowane. Są one zawsze skończenie wymiarowe, unitaryzowalne (tj. dopuszczają niezmienną dodatnio określoną postać hermitowską ) i są sparametryzowane przez ich najwyższe wagi , które są dokładnie dominującymi wagami całkowymi dla grupy. Jeśli G jest zwartą półprostą grupą Liego z podalgebrą Cartana h , to jej wspólne orbity są domknięte i każda z nich przecina dodatnią komorę Weyla h ^*₊ w jednym punkcie. Orbita jest całkowa , jeśli ten punkt należy do sieci wagowej G . Teorię najwyższej wagi można przekształcić w postaci bijekcji między zbiorem integralnych współsprzężonych orbit a zbiorem klas równoważności nieredukowalnych unitarnych reprezentacji G : reprezentacja o najwyższej wadze L ( λ ) o najwyższej wadze λ ∈ h ^*₊ odpowiada do integralnej wspólnej orbity G · λ . Formuła postaci Kiriłłowa sprowadza się do formuły postaci, którą wcześniej udowodnił Harish-Chandra .

Zobacz też

Dulfo; Pederson; Vergne (1990), Metoda orbity w teorii reprezentacji: materiały z konferencji, która odbyła się w Kopenhadze, od sierpnia do września 1988 r. (Postępy w matematyce) , Birkäuser
Kirillov, AA (1961), „Unitarne reprezentacje nilpotentnych grup kłamstw”, Doklady Akademii Nauk SSSR , 138 : 283–284, ISSN 0002-3264 , MR 0125908
Kirillov, AA (1962), „Unitarne reprezentacje nilpotentnych grup kłamstw”, Russian Mathematical Surveys , 17 (4): 53–104, doi : 10.1070 / RM1962v017n04ABEH004118 , ISSN 0042-1316 , MR 0142001
Kirillov, AA (1976) [1972], Elementy teorii reprezentacji , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 220, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-07476-4 , MR 0412321
Kirillov, AA (1999), „Zalety i wady metody orbitalnej” , Bull. Amer. Matematyka soc. , 36 (4): 433–488, doi : 10.1090/s0273-0979-99-00849-6 .
Kirillov, AA (2001) [1994], „Metoda orbity” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Kirillov, AA (2004), Wykłady z metody orbitalnej , Studia podyplomowe z matematyki , tom. 64, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-3530-2 .