Model ścieżki Littelmanna

W matematyce model ścieżki Littelmanna jest kombinatorycznym narzędziem dzięki Peterowi Littelmannowi do obliczania krotności bez przeliczania w teorii reprezentacji symetrycznych algebr Kaca – Moody'ego . Jego najważniejszym zastosowaniem są złożone półproste algebry Liego lub równoważnie zwarte półproste grupy Liego , przypadek opisany w tym artykule. Wielokrotności w reprezentacjach nieredukowalnych , iloczyny tensorowe i reguły rozgałęzień można obliczyć za pomocą kolorowego skierowanego wykresu , z etykietami podanymi przez proste pierwiastki algebry Liego.

Opracowany jako pomost między teorią baz krystalicznych wynikającą z prac Kashiwary i Lusztiga nad grupami kwantowymi a standardową teorią jednomianów CS Seshadriego i Lakshmibai, model ścieżki Littelmanna wiąże z każdą nieredukowalną reprezentacją wymierną przestrzeń wektorową z bazą określoną przez ścieżki od początek do wagi , a także parę operatorów korzeni działających na ścieżkach dla każdego prostego korzenia . Daje to bezpośredni sposób na odzyskanie struktur algebraicznych i kombinatorycznych odkrytych wcześniej przez Kashiwarę i Lusztiga przy użyciu grup kwantowych.

Tło i motywacja

Niektóre z podstawowych pytań w teorii reprezentacji złożonych półprostych algebr Liego lub zwartych półprostych grup Liego sięgających czasów Hermanna Weyla obejmują:

Dla danej dominującej wagi λ znajdź wielokrotności wag w nieredukowalnej reprezentacji L (λ) o najwyższej wadze λ.
najwyższych $wag$ λ, μ znajdź rozkład ich iloczynu tensorowego ( μ ) na nieredukowalne reprezentacje.
Załóżmy, że $jest składową Leviego parabolicznej podalgebry półprostej algebry Liego sol 1$ { \ Displaystyle { \ $}}}}$ . Dla danej dominującej najwyższej wagi λ określ regułę rozgałęzienia dla dekompozycji ograniczenia L ( λ ) na ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ .

(Zauważ, że pierwszy problem, krotności wag, jest szczególnym przypadkiem trzeciego, w którym podalgebra paraboliczna jest podalgebrą Borela. Ponadto problem rozgałęzień Leviego można osadzić w problemie iloczynu tensorowego jako pewien przypadek graniczny.)

Odpowiedzi na te pytania po raz pierwszy dostarczyli Hermann Weyl i Richard Brauer jako konsekwencje formuł jawnych znaków , a następnie formuły kombinatoryczne Hansa Freudenthala , Roberta Steinberga i Bertrama Kostanta ; patrz Humphreys (1994) . Niezadowalającą cechą tych wzorów jest to, że obejmowały one naprzemienne sumowanie wielkości, o których a priori wiadomo było, że nie są ujemne. Metoda Littelmanna wyraża te krotności jako sumy nieujemnych liczb całkowitych bez przeliczania . Jego praca uogólnia klasyczne wyniki oparte na tablicach Younga dla ogólnej liniowej algebry Liego ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}}}$ _n lub specjalnej liniowej algebry Liego ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}}}$ n _:

Issai Schura w jego rozprawie z 1901 r., że krotności wag można policzyć w kategoriach ściśle kolumnowych obrazów Younga (tj. słabo rosnących w prawo wzdłuż rzędów i ściśle rosnących w dół kolumn).
Słynna reguła Littlewooda-Richardsona , która opisuje zarówno rozkład iloczynu tensorowego, jak i rozgałęzienia od ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}}}$ _{m + n} do ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}}}$ _m ${\ displaystyle \oplus}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}}}$ _n pod względem permutacji kratowych skośnych obrazów.

Próby znalezienia podobnych algorytmów bez przeliczania dla innych klasycznych algebr Liego zakończyły się tylko częściowym sukcesem.

Wkład Littelmanna polegał na stworzeniu ujednoliconego modelu kombinatorycznego, który miał zastosowanie do wszystkich symetrycznych algebr Kaca-Moody'ego i dostarczył wyraźnych, pozbawionych odejmowania wzorów kombinatorycznych dla krotności wag, reguł iloczynu tensorowego i reguł rozgałęzień . Osiągnął to, wprowadzając przestrzeń wektorową V nad Q generowaną przez siatkę wag podalgebry Cartana ; na przestrzeni wektorowej odcinkowo-liniowych ścieżek w V łączącej początek z wagą zdefiniował parę operatorów pierwiastków dla każdego prostego pierwiastka z ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . Dane kombinatoryczne można zakodować w kolorowym grafie skierowanym, z etykietami nadanymi przez proste pierwiastki.

Główną motywacją Littelmanna było pogodzenie dwóch różnych aspektów teorii reprezentacji:

Standardowa jednomianowa teoria Lakshmibai i Seshadri wynikająca z geometrii rozmaitości Schuberta .
Bazy krystaliczne powstające w podejściu do grup kwantowych Masakiego Kashiwary i George'a Lusztiga . Kashiwara i $Lusztig$ skonstruowali kanoniczne podstawy reprezentacji deformacji algebry obwiedni w zależności od formalnego parametru deformacji q . W zdegenerowanym przypadku, gdy q = 0, dają one podstawy krystaliczne wraz z parami operatorów odpowiadającymi pierwiastkom prostym; patrz Ariki (2002) .

Chociaż zdefiniowano inaczej, podstawa kryształu, jej operatory pierwiastków i wykres kryształu okazały się później równoważne modelowi ścieżki i wykresowi Littelmanna; patrz Hong i Kang (2002 , s. xv). W przypadku złożonych półprostych algebr Liego, w Littelmann (1997) istnieje uproszczone, niezależne konto, które opiera się tylko na właściwościach systemów korzeniowych ; to podejście jest tutaj stosowane.

Definicje

Niech P będzie siatką wagową w liczbie podwójnej podalgebry Cartana półprostej algebry Liego sol $\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ .

Ścieżka Littelmanna to mapowanie odcinkowo-liniowe

{\ Displaystyle \ pi: [0,1] \ czapka \ mathbf {Q} \ strzałka w prawo P \ otimes _ {\ mathbf {Z}} \ mathbf {Q}}

takie, że π(0) = 0 i π(1) jest wagą .

Niech ( H. _α ) będzie podstawą $)$ się z wektorów „korzeń”, podwójnych do podstawy * utworzonej przez proste pierwiastki $( h.$ α). Dla ustalonej α i ścieżki π funkcja ma wartość minimalną ${\ Displaystyle h (t) = (\ pi (t), H _ {\ alfa})}$ M. _

Zdefiniuj nie zmniejszające się samoodwzorowania l i r dla Q przez [0,1] ${\ displaystyle \ cap}$

{\ Displaystyle l (t) = \ min _ {t \ równoważnik s \ równoważnik 1} (1, h (s) -M), \, \, \, \, \, \, r (t) = 1- \min _{0\równoważnik s\równoważnik t}(1,h(s)-M).}

Zatem l ( t ) = 0 aż do ostatniego razu , że h ( s ) = M i r ( t ) = 1 po pierwszym przypadku , że h ( s ) = M .

Zdefiniuj nowe ścieżki π _l i π _r przez

{\ Displaystyle \ pi _ {r} (t) = \ pi (t )+r(t)\alfa ,\,\,\,\,\,\,\pi _{l}(t)=\pi (t)-l(t)\alfa }

Operatory pierwiastkowe e _α i f _α są zdefiniowane na podstawie wektora bazowego [π] przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {e_ {\ alfa} [\ pi] = [\ pi _ {r}]}}$ jeśli r (0) = 0 i 0 inaczej;
${\ Displaystyle \ Displaystyle {f _ {\ alfa} [\ pi] = [\ pi _ {l}]}}$ jeśli l (1) = 1 i 0 w przeciwnym razie.

Kluczową cechą jest tutaj to, że ścieżki tworzą podstawę dla operatorów głównych, podobnie jak reprezentacja jednomianowa : gdy operator główny jest zastosowany do elementu podstawowego ścieżki, wynikiem jest albo 0, albo element podstawowy dla innej ścieżki.

Nieruchomości

Niech będzie $algebrą$ przez operatorów głównych. Niech π( t ) będzie ścieżką leżącą w całości w dodatniej komorze Weyla określonej pierwiastkami prostymi. Wykorzystując wyniki modelu ścieżki CS Seshadri i Lakshmibai, Littelmann pokazał to

moduł generowany przez [π $] zależy tylko od π$ 1) = λ i ma podstawę Q składającą się ze ścieżek [σ];
krotność wagi μ w całkowalnej reprezentacji o najwyższej wadze L (λ) to liczba ścieżek σ przy σ(1) = μ.

Istnieje również działanie grupy Weyla na ścieżkach [π]. Jeśli α jest prostym pierwiastkiem i k = h (1), gdzie h jak powyżej, to odpowiednie odbicie s _α działa w następujący sposób:

s _α [π] = [π] jeśli k = 0;
s _α [π]= fa _α^k [π] jeśli k > 0;
s _α [π]= e _α^{– k} [π] jeśli k < 0.

$jest definiowany jako kolorowy, skierowany wykres$ jest ścieżką leżącą całkowicie wewnątrz dodatniej komory Weyla, wykres Littelmanna jako wierzchołki niezerowe ścieżki otrzymane przez kolejne zastosowanie operatorów f _α do π. Istnieje strzałka skierowana z jednej ścieżki do drugiej, oznaczona prostym pierwiastkiem α, jeśli ścieżka docelowa jest uzyskiwana ze ścieżki źródłowej przez zastosowanie f _α .

Wykresy Littelmanna dwóch ścieżek są izomorficzne jako kolorowe, skierowane grafy wtedy i tylko wtedy, gdy ścieżki mają ten sam punkt końcowy.

Wykres Littelmanna zależy zatem tylko od λ. Kashiwara i Joseph udowodnili, że pokrywa się on z „wykresem kryształów” zdefiniowanym przez Kashiwarę w teorii baz krystalicznych.

Aplikacje

Formuła postaci

Jeśli π (1) = λ, krotność wagi μ w L (λ) jest liczbą wierzchołków σ na grafie Littelmanna ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ pi}}$ z σ ( 1) = μ.

Uogólniona reguła Littlewooda-Richardsona

Niech π i σ będą ścieżkami w dodatniej komorze Weyla z π(1) = λ i σ(1) = μ. Następnie

{\ Displaystyle L (\ lambda) \ czasami L (\ mu) = \ bigoplus _ {\ eta} L (\ lambda + \tau (1)),}

gdzie τ rozciąga się na ścieżkach w $τ$ sposób, że π ${\ Displaystyle \ gwiazda}$ leży całkowicie w dodatniej komorze Weyla i sol π ${\ Displaystyle \star }$ τ (t) jest zdefiniowane jako π(2 t ) dla t ≤ 1/2 i π(1) + τ( 2 t – 1) dla t ≥ 1/2.

Reguła rozgałęzienia

sol ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {1}}$ $}$ składową Leviego parabolicznej podalgebry $mathfrak {g}}}$ siatką wagową sol ₁ $\ Displaystyle {\$ W takim razie

{\ Displaystyle L (\ lambda) | _ {{\ mathfrak {g}} _ {1}} = \ bigoplus _ {\ sigma} L_ {{\ mathfrak {g}}_{1}}(\sigma (1)),}

gdzie suma rozciąga się na wszystkich ścieżkach ${\$ które leżą w całości w dodatniej komorze Weyla dla $1}}$ $Displaystyle {\ mathfrak {G}} _$ .

Zobacz też

Kryształowa podstawa

Notatki

Ariki, Susumu (2002), Reprezentacje algebr kwantowych i kombinatoryki Young Tableaux , seria wykładów uniwersyteckich, tom. 26, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0821832328
Berenstein, Arkady; Zelevinsky, Andrei (2001), „Mnogość produktów tensorowych, podstawy kanoniczne i całkowicie pozytywne odmiany”, Invent. Matematyka , 143 (1): 77–128, arXiv : math/9912012 , Bibcode : 2001InMat.143...77B , doi : 10.1007/s002220000102 , S2CID 17648764
Hong, Jin; Kang, Seok-Jin (2002), Wprowadzenie do grup kwantowych i podstaw krystalicznych , Studia podyplomowe z matematyki , tom. 42, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0821828746
King, Ronald C. (1990), „S-funkcje i postacie algebr Liego i superalgebr”, Instytut Matematyki i jej Zastosowań , IMA Cz. Matematyka Appl., Springer-Verlag, 19 : 226–261, Bibcode : 1990IMA....19..226K
Humphreys, James E. (1994), Wprowadzenie do algebr kłamstw i teorii reprezentacji (wyd. 2), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90053-5
Littelmann, Peter (1994), „Reguła Littlewooda-Richardsona dla symetrycznych algebr Kaca-Moody'ego”, Invent. Matematyka , 116 : 329–346, Bibcode : 1994InMat.116..329L , doi : 10.1007/BF01231564 , S2CID 85546837
Littelmann, Peter (1995), „Ścieżki i operatory pierwiastków w teorii reprezentacji”, Ann. z matematyki. , Annals of Mathematics, 142 (3): 499–525, doi : 10.2307/2118553 , JSTOR 2118553
Littelmann, Peter (1997), „Znaki reprezentacji i ścieżek w $,$ _* ”, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics American Mathematical Society, 61 : 29–49, doi : 10,1090 /pspum/061/1476490 [kurs instruktażowy]
Littlewood, Dudley E. (1977) [1950], The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups , AMS Chelsea Publishing Series, tom. 357 (wyd. 2), Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-7435-6
Macdonald, Ian G. (1998), Funkcje symetryczne i wielomiany Halla , monografie matematyczne Oxfordu (wyd. 2), Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850450-4
Mathieu, Olivier (1995), Le modelle des chemins, Exposé nr 798 , Séminaire Bourbaki (astérique), tom. 37
Sundaram, Sheila (1990), „Tableaux w teorii reprezentacji klasycznych grup Lie”, Instytut Matematyki i jej Zastosowań , IMA Cz. Matematyka Appl., Springer-Verlag, 19 : 191–225, Bibcode : 1990IMA....19..191S
Weyl, Hermann (2016) [1953], Grupy klasyczne: ich niezmienniki i reprezentacje (PMS-1) , Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, tom. 45 (wyd. 2), Princeton University Press, ISBN 978-1-4008-8390-5