Reprezentacja jednomianowa

W matematycznych dziedzinach teorii reprezentacji i teorii grup liniowa reprezentacja ρ ( rho ) grupy G jest reprezentacją jednomianową , jeśli istnieje podgrupa H o skończonym indeksie i jednowymiarowa reprezentacja liniowa σ z H , taka że ρ jest równoważne reprezentacji indukowanej Ind _H ^G σ .

Alternatywnie można to zdefiniować jako reprezentację, której obraz znajduje się w jednomianowych macierzach .

Tutaj na przykład G i H mogą być grupami skończonymi , więc reprezentacja indukowana ma sens klasyczny. Reprezentacja jednomianowa jest tylko trochę bardziej skomplikowana niż reprezentacja permutacyjna G na cosetach H . Konieczne jest jedynie śledzenie skalarów pochodzących z σ zastosowanych do elementów H .

Definicja

Aby zdefiniować reprezentację jednomianową, najpierw musimy wprowadzić pojęcie przestrzeni jednomianowej. Przestrzeń jednomianowa to potrójna ${\ Displaystyle (V, X, (V_ {x}) _ {x \ in X})}$ gdzie jest ${\ Displaystyle V}$ skończenie wymiarowa złożona przestrzeń wektorowa $jest$ skończonym zbiorem i $w X}}$ jest rodziną jednowymiarowych podprzestrzeni $takich$ , że $Displaystyle V = \ oplus _ {x \ w X} V_ {x}}$ .

Teraz niech $G} do \ operatorname {GL} (V)}$$,$ reprezentacja V $Displaystyle V$$}$ homomorfizmem grupowym tak, że dla każdego elementu permutuje ${\ Displaystyle g \ in G}$ , ${\ Displaystyle \ rho (g)}$$Displaystyle V_$$\ Displaystyle X}$$x}}$ 's, oznacza to, że akcję przez permutację na ${$ .

• „Reprezentacja jednomianowa” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
•   Karpilowski, Grzegorz (1985). Reprezentacje rzutowe grup skończonych . Pan Dekker. ISBN 978-0-8247-7313-7 .