Standardowa teoria jednomianu

W geometrii algebraicznej standardowa teoria jednomianów opisuje odcinki wiązki linii w uogólnionej odmianie flagi lub rozmaitości Schuberta redukcyjnej grupy algebraicznej , podając wyraźną podstawę elementów zwanych standardowymi jednomianami . Wiele wyników zostało rozszerzonych na algebry Kaca-Moody'ego i ich grupy.

Istnieją monografie na temat standardowej teorii jednomianów autorstwa Lakshmibai & Raghavan (2008) i Seshadri (2007) oraz artykuły ankietowe V. Lakshmibai, C. Musili i CS Seshadri ( 1979 ) oraz V. Lakshmibai i CS Seshadri ( 1991 )

Jednym z ważnych otwartych problemów jest podanie całkowicie geometrycznej konstrukcji teorii.

Historia

Alfred Young ( 1928 ) wprowadził jednomiany związane ze standardowymi obrazami Younga . Hodge ( 1943 ) (patrz także ( Hodge & Pedoe 1994 , s.378)) użył jednomianów Younga, które nazwał standardowymi iloczynami mocy, nazwanymi na cześć standardowych obrazów, aby dać podstawę dla jednorodnych pierścieni współrzędnych złożonych Grassmannian . Seshadri ( 1978 ) zainicjował program, zwany standardową teorią jednomianów , aby rozszerzyć pracę Hodge'a na odmiany G / P , dla P dowolnej podgrupy parabolicznej dowolnej redukcyjnej grupy algebraicznej w dowolnej charakterystyce, podając wyraźne podstawy przy użyciu standardowych jednomianów dla odcinków wiązek linii w tych odmianach. Przypadek Grassmannianów badany przez Hodge'a odpowiada przypadkowi, gdy G jest specjalną grupą liniową w charakterystyce 0, a P jest maksymalną podgrupą paraboliczną. Wkrótce do Seshadri dołączyli w tym wysiłku V. Lakshmibai i Chitikila Musili . Najpierw opracowali standardową teorię jednomianów dla maleńkich reprezentacji G , a następnie dla grup G typu klasycznego i sformułował kilka hipotez opisujących to dla bardziej ogólnych przypadków. Littelmann ( 1998 ) udowodnił swoje przypuszczenia za pomocą modelu ścieżki Littelmanna , w szczególności podając jednolity opis standardowych jednomianów dla wszystkich grup redukcyjnych.

Lakshmibai (2003) i Musili (2003) oraz Seshadri (2012) podają szczegółowe opisy wczesnego rozwoju standardowej teorii jednomianów.

Aplikacje

• Ponieważ odcinki wiązek linii na uogólnionych odmianach flag mają tendencję do tworzenia nieredukowalnych reprezentacji odpowiednich grup algebraicznych, posiadanie wyraźnej podstawy standardowych jednomianów pozwala na podanie formuł znakowych dla tych reprezentacji. Podobnie otrzymuje się formuły znaków dla modułów Demazure . Wyraźne podstawy podane przez standardową teorię jednomianów są ściśle związane z podstawami kryształów i modelami reprezentacji ścieżek Littelmanna .
• Standardowa teoria jednomianów pozwala opisać osobliwości odmian Schuberta, aw szczególności czasami dowodzi, że odmiany Schuberta są normalne lub Cohena-Macaulaya . .
• Standardowa teoria jednomianów może być wykorzystana do udowodnienia hipotezy Demazure'a .
• Standardowa teoria jednomianów dowodzi twierdzenia Kempfa o znikaniu i innych twierdzeń o znikaniu dla wyższej kohomologii efektywnych wiązek linii w stosunku do rozmaitości Schuberta.
• Standardowa teoria jednomianów daje wyraźne podstawy dla niektórych pierścieni niezmienników w teorii niezmienników .
• Standardowa teoria jednomianów podaje uogólnienia reguły Littlewooda-Richardsona dotyczącej rozkładów iloczynów tensorowych reprezentacji na wszystkie redukujące grupy algebraiczne.
• Standardową teorię jednomianów można wykorzystać do udowodnienia istnienia dobrych filtracji na niektórych reprezentacjach redukcyjnych grup algebraicznych w charakterystyce dodatniej.

Notatki

•   Hodge, WVD (1943), „Niektóre wyniki wyliczeniowe w teorii form”, Proc. Cambridge Philos. soc. , 39 (1): 22–30, Bibcode : 1943PCPS...39...22H , doi : 10.1017/S0305004100017631 , MR 0007739
•    Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994) [1952], Metody geometrii algebraicznej: tom 2 Księga III: Ogólna teoria rozmaitości algebraicznych w przestrzeni rzutowej. Księga IV: Kwadryki i odmiany Grassmanna. , Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46901-2 , MR 0048065
•    Lakshmibai, V.; Musili, C.; Seshadri, CS (1979), „Geometria G / P”, Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , New Series, 1 (2): 432–435, doi : 10.1090 / S0273-0979-1979-14631-7 , ISSN 0002 -9904 , MR 0520081
•    Lakshmibai, Venkatramani; Raghavan, Komaranapuram N. (2008), Standardowa teoria jednomianów , Encyklopedia nauk matematycznych, tom. 137, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-76757-2 , ISBN 978-3-540-76756-5 , MR 2388163
•   Lakshmibai, V.; Seshadri, CS (1991), „Standardowa teoria jednomianów” , w: Ramanan, S.; Musili, C.; Kumar, N. Mohan (red.), Proceedings of the Hyderabad Conference on Algebraic Groups (Hyderabad, 1989) , Madras: Manoj Prakashan, s. 279–322, MR 1131317
•    Lakshmibai, V. (2003), „Rozwój standardowej teorii jednomianów. II” , Hołd dla CS Seshadri (Chennai, 2002) , Trends Math., Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, s. 283–309, ISBN 978 -3-7643-0444-7 , MR 2017589
•    Littelmann, Peter (1998), „Model ścieżki, kwantowa mapa Frobeniusa i standardowa teoria jednomianów” (PDF) , w: Carter, Roger W .; Saxl, Jan (red.), Grupy algebraiczne i ich reprezentacje (Cambridge, 1997) , NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences, tom. 517, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, s. 175–212, ISBN 9780792352921 , MR 1670770
•    Littelmann, Peter (1998), „Umawiające się moduły i standardowa teoria jednomianów dla symetrycznych algebr Kaca-Moody'ego”, Journal of the American Mathematical Society , 11 (3): 551–567, doi : 10.1090 / S0894-0347-98-00268- 9 , ISSN 0894-0347 , MR 1603862
•    Musili, C. (2003), „Rozwój standardowej teorii jednomianów. I” , Hołd dla CS Seshadri (Chennai, 2002) , Trends Math., Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, s. 385–420, ISBN 978 -3-7643-0444-7 , MR 2017594
•    Seshadri, CS (1978), „Geometria teorii G / PI standardowych jednomianów dla reprezentacji maleńkich”, w Ramanathan, KG (red.), CP Ramanujam --- hołd , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, tom . 8, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 207–239, ISBN 978-3-540-08770-0 , MR 0541023
•    Seshadri, CS (2007), Wprowadzenie do teorii jednomianów standardowych , Teksty i odczyty z matematyki, tom. 46, New Delhi: Hindustan Book Agency, ISBN 9788185931784 , MR 2347272
•    Seshadri, CS (2012), „Standardowa teoria jednomianów - relacja historyczna” , Zebrane dokumenty CS Seshadri. Tom 2. Geometria Schuberta i teoria reprezentacji. , New Delhi: Hindustan Book Agency, s. 3–50, ISBN 9789380250175 , MR 2905898
• Young, Alfred (1928), „O ilościowej analizie substytucyjnej” , Proc. Matematyka Londynu. soc. , 28 (1): 255–292, doi : 10.1112/plms/s2-28.1.255