Rotacja knota

W fizyce rotacja Wicka , nazwana na cześć włoskiego fizyka Giana Carlo Wicka , jest metodą znajdowania rozwiązania problemu matematycznego w przestrzeni Minkowskiego z rozwiązania pokrewnego problemu w przestrzeni euklidesowej za pomocą transformacji, która zastępuje zmienną liczb urojonych dla zmiennej liczbowej rzeczywistej. Ta transformacja jest również wykorzystywana do znajdowania rozwiązań problemów w mechanice kwantowej i innych dziedzinach.

Przegląd

Rotacja knota jest motywowana obserwacją, że metryka Minkowskiego w jednostkach naturalnych (z konwencją sygnatury metrycznej (−1, +1, +1, +1) )

oraz czterowymiarowa metryka euklidesowa

są równoważne, jeśli pozwolimy, aby współrzędna t przyjmowała wartości urojone . Metryka Minkowskiego staje się euklidesowa, gdy t jest ograniczone do osi urojonej i odwrotnie. Wzięcie problemu wyrażonego w przestrzeni Minkowskiego o współrzędnych x, y, z, t i podstawienie t = − czasami daje problem w rzeczywistych współrzędnych euklidesowych x, y, z, τ , który jest łatwiejszy do rozwiązania. To rozwiązanie może następnie, przy podstawieniu odwrotnym, dać rozwiązanie pierwotnego problemu.

Mechanika statystyczna i kwantowa

Rotacja knota łączy mechanikę statystyczną z mechaniką kwantową , zastępując odwrotną temperaturę wyimaginowanym czasem . Rozważ duży zbiór oscylatorów harmonicznych w temperaturze T . Względne prawdopodobieństwo znalezienia dowolnego oscylatora o energii E wynosi , gdzie k b jest stałą Boltzmanna . Średnia wartość obserwowalnego Q wynosi, aż do stałej normalizującej,

gdzie j przebiega przez wszystkie stany, to wartość w j -tym stanie, a energia tego stanu jest . Rozważmy teraz pojedynczy kwantowy oscylator harmoniczny w superpozycji stanów bazowych, ewoluujący przez czas t pod hamiltonianem H . Względna zmiana fazy stanu bazowego z energią E wynosi zmniejszoną stałą Plancka . Amplituda prawdopodobieństwa , że ​​jednorodna (jednakowo ważona) superpozycja stanów

ewoluuje do dowolnej superpozycji

jest, aż do stałej normalizującej,

Statyka i dynamika

Rotacja knota wiąże problemy statyki w n wymiarach z problemami dynamiki w n - 1 wymiarach, zamieniając jeden wymiar przestrzeni na jeden wymiar czasu. Prosty przykład, w którym n = 2 to wisząca sprężyna ze stałymi punktami końcowymi w polu grawitacyjnym. Sprężyna ma kształt krzywej y ( x ) . Sprężyna jest w równowadze, gdy energia związana z tą krzywą znajduje się w punkcie krytycznym (ekstremum); ten punkt krytyczny to zazwyczaj minimum, więc ten pomysł jest zwykle nazywany „zasadą najmniejszej energii”. Aby obliczyć energię, całkujemy gęstość przestrzenną energii w przestrzeni:

gdzie k to stała sprężystości, a V ( y ( x )) to potencjał grawitacyjny.

Odpowiedni problem dynamiki dotyczy skały rzuconej w górę. Ścieżka, po której podąża skała, jest tą, która ekstremalizuje akcję ; tak jak poprzednio, to ekstremum jest zwykle minimum, więc nazywa się to „ zasadą najmniejszego działania ”. Akcja jest całką czasową Lagrange'a :

Rozwiązanie problemu dynamiki (do współczynnika i ) otrzymujemy ze statyki przez obrót Wicka, zastępując y ( x ) przez y ( it ) i stałą sprężystości k przez masę skały m :

Zarówno termiczne/kwantowe, jak i statyczne/dynamiczne

Podsumowując, poprzednie dwa przykłady pokazują, w jaki sposób sformułowanie całki po trajektorii mechaniki kwantowej jest powiązane z mechaniką statystyczną. Z mechaniki statystycznej wynika, że ​​kształt każdej sprężyny w zbiorze w temperaturze T będzie odbiegał od kształtu o najmniejszej energii z powodu fluktuacji termicznych; prawdopodobieństwo znalezienia sprężyny o danym kształcie maleje wykładniczo wraz z różnicą energii od kształtu o najmniejszej energii. Podobnie cząsteczkę kwantową poruszającą się w potencjale można opisać superpozycją ścieżek, z których każda ma fazę exp( iS ) : zmiany termiczne kształtu w całym zbiorze zamieniły się w kwantową niepewność na ścieżce cząstki kwantowej.

Dalsze szczegóły

Równanie Schrödingera i równanie ciepła są również powiązane przez obrót knota. Istnieje jednak niewielka różnica. Statystyczno-mechaniczne n -punktowe funkcje spełniają pozytywność, podczas gdy kwantowe teorie pola z rotacją knota spełniają pozytywność odbicia . [ potrzebne dalsze wyjaśnienia ]

Obrót knota nazywany jest obrotem , ponieważ gdy przedstawiamy liczby zespolone jako płaszczyznę , pomnożenie liczby zespolonej przez i jest równoważne obróceniu wektora reprezentującego tę liczbę o kąt π / 2 wokół początku układu współrzędnych .

Rotacja knota wiąże również kwantową teorię pola w skończonej odwrotnej temperaturze β z modelem statystyczno-mechanicznym nad „rurą” R 3 × S 1 , w której wyimaginowana współrzędna czasowa τ jest okresowa z okresem β .

Należy jednak zauważyć, że obrót Wicka nie może być postrzegany jako obrót w złożonej przestrzeni wektorowej, która jest wyposażona w konwencjonalną normę i metrykę indukowaną przez iloczyn wewnętrzny , ponieważ w tym przypadku obrót zostałby zniesiony i nie miałby żadnego efektu.

Interpretacja i rygorystyczny dowód

Obroty knota można postrzegać jako przydatną sztuczkę, która działa dzięki podobieństwu równań dwóch pozornie różnych dziedzin fizyki. Quantum Field Theory in a Nutshell autorstwa Anthony'ego Zee omawia rotacje Wicka, mówiąc to

Z pewnością zrobiłbyś furorę w przypadku mistycznych typów, gdybyś powiedział im, że temperatura jest równoważna cyklicznemu czasowi urojonemu. Na poziomie arytmetycznym związek ten wynika jedynie z faktu, że obiekty centralne w fizyce kwantowej exp(−i H T ) iw fizyce cieplnej exp( βH ) są formalnie powiązane przez kontynuację analityczną. Niektórzy fizycy, w tym ja, uważają, że może być w tym coś głębokiego, czego nie do końca rozumiemy.

Udowodniono, że bardziej rygorystyczne powiązanie między euklidesową i kwantową teorią pola można zbudować za pomocą twierdzenia Osterwaldera-Schradera .

Zobacz też

Linki zewnętrzne