Uogólniony moduł Verma

W matematyce uogólnione moduły Vermy są uogólnieniem (prawdziwego) modułu Vermy i są obiektami w teorii reprezentacji algebr Liego . Zostały one pierwotnie zbadane przez Jamesa Lepowsky'ego w latach 70. Motywacją do ich badań jest to, że ich homomorfizmy odpowiadają niezmiennym operatorom różniczkowym na uogólnionych rozmaitościach flagowych . Badanie tych operatorów jest ważną częścią teorii geometrii parabolicznych.

Definicja

Niech będzie półprostą algebrą Liego i paraboliczną algebrą podrzędną sol $mathfrak {g$${ \$$}$ . Dla dowolnej nieredukowalnej skończenie wymiarowej reprezentacji $}$ uogólniony moduł Vermy jako względny iloczyn tensorowy V $displaystyle V$

${\ Displaystyle M _ {\ mathfrak {p}} (V): = {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ czasami _ {{\mathcal {U}}({\mathfrak {p}})}V}$ .

Akcją jest lewe mnożenie w $sol$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}$ .

Jeśli λ jest najwyższą wagą V, czasami oznaczamy moduł Vermy przez ${\ Displaystyle M _ {\ mathfrak {p}} (\ lambda)}$ .

$dominującego i$ , że ma to sens tylko dla $}$ -dominującego i $\ mathfrak {} p}}}$ -całkowe wagi (patrz waga ) ${\ Displaystyle \ lambda}$ .

Powszechnie wiadomo, że $Displaystyle {\ mathfrak$ unikalną ocenę sol $}} sol {\$$}}$ jot $p }}=\oplus _{j\geq 0}{\mathfrak {g}}_{j}}$ . Niech ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {-}: = \ oplus _ {j <0} {\ mathfrak {g}} _ {j}}$ . Z twierdzenia Poincaré – Birkhoffa – Witta wynika , że $​​jako$ przestrzeń wektorowa (a nawet jako moduł i jako ${g}}_{0}}$$\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {-}}$ -moduł),

${\ Displaystyle M _ {\ mathfrak {p}} (V) \ simeq {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}} _ {-}) \ czasami V}$ .

W dalszej części tekstu będziemy oznaczać uogólniony moduł Vermy po prostu przez GVM.

Właściwości GVM

GVM to moduły o największej wadze , a ich najwyższa waga $wektorem o$ to najwyższa waga reprezentacji V . Jeśli jest największej wadze w V, to $\ displaystyle 1 \ otimes v _ {\ lambda}}$ jest najwyższym wektorem wagi w ${\ Displaystyle M _ {\ mathfrak {p}} (\ lambda)}$ .

GVM to moduły wagowe , tj. są bezpośrednią sumą jego przestrzeni wagowych , a te przestrzenie wagowe są skończone.

Jak wszystkie moduły o najwyższej masie , GVM są ilorazami modułów Verma. Jądrem projekcji jest ${\ Displaystyle M _ {\ lambda} \ do M _ {\ mathfrak {p}} (\ lambda$ ) }

${\ Displaystyle (1) \ quad K _ {\ lambda}: = \ suma _ {\ alfa \ w S} M_ {s_ {\ alfa }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }}$

gdzie ${\ Displaystyle S \ podzbiór \ Delta}$ jest zbiorem tych prostych pierwiastków α takich, że ujemne pierwiastki pierwiastka ${\ Displaystyle - \ alfa}$ są w ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p} }}$ (zbiór S jednoznacznie określa podalgebra ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ), ${\ Displaystyle s_ {\ alfa}}$ jest odbiciem pierwiastka w odniesieniu do pierwiastka α i ${\ Displaystyle s_ {\ alfa} \ cdot \ lambda}$$s_ {\ alfa}}$ α { \ na λ. Z teorii (prawdziwych) modułów Vermy wynika , że ${\ Displaystyle M_ {s_ {\ alfa} \ cdot \ lambda}}$ jest izomorficzny z unikalnym modułem podrzędnym ${\ Displaystyle M_ {\ lambda} }$ . W (1) zidentyfikowaliśmy ${\ Displaystyle M_ {s_ {\ alfa} \ cdot \ lambda} \ podzbiór M_ {\ lambda}}$ . Suma w (1) nie jest bezpośrednia .

W szczególnym przypadku, gdy $podalgebra$ paraboliczna jest podalgebrą Borela $się z$ modułem Vermy. W innym skrajnym przypadku, gdy ${\ mathfrak {p}} = {\ mathfrak {g}$ jest izomorficzny z indukującą reprezentacją V , $\ Displaystyle$ .

GVM $się$ jest regularną , jeśli jej najwyższa waga λ znajduje afinicznej orbicie Weyla o dominującej masie ${\ tylda {\lambda}}}$ . Innymi słowy, istnieje element w grupy Weyla W taki, że

${\ Displaystyle \ lambda = w \ cdot {\ tylda {\ lambda}}}$

gdzie $.$ działaniem afinicznym grupy Weyla

Moduł Vermy $liczbą$ jest pojedynczą , jeśli na afinicznej orbicie λ nie ma dominującej wagi W tym przypadku istnieje waga tak, że $\ Displaystyle {\ tylda {\ lambda$$} + \ delta}$ { jest na ścianie Komora Weyla (δ jest sumą wszystkich podstawowych wag ).

Homomorfizmy GVM

$-homomorfizm$ GVM rozumiemy .

Dla dowolnych dwóch wag homomorfizm ${\ Displaystyle \ lambda, \ mu$ }

${\ Displaystyle M _ {\ mathfrak {p}} (\ mu) \ strzałka w prawo M _ {\ mathfrak {p}} (\ lambda)}$

może istnieć tylko wtedy, gdy $mu$ są $} }$ z działaniem afinicznym grupy Weyla algebry Lie $displaystyle {\ mathfrak {g}} μ {\ displaystyle \$$\$ . Wynika to łatwo z twierdzenia Harisza-Chandry o nieskończenie małych znakach centralnych .

Inaczej niż w przypadku (prawdziwych) modułów Verma , homomorfizmy GVM nie są na ogół iniekcyjne, a wymiar

${\ Displaystyle dim (Hom (M _ {\ mathfrak {p}} (\ mu), M _ {\ mathfrak {p}} ( \lambda )))}$

może być większa niż jeden w niektórych szczególnych przypadkach.

fa $\ do M_ {\ lambda}}$$}$ homomorfizmem (prawdziwych) modułów Verma, odpowiednio. ${\ Displaystyle K _ {\ lambda}}$ to jądra projekcji ${\ Displaystyle M _ {\ mu} \ do M _ {\ mathfrak {p}} (\ mu)}$ , odpowiednio . ${\ Displaystyle M _ {\ lambda} \ do M _ {\ mathfrak {p}} (\ lambda)}$ , wtedy istnieje homomorfizm ${\ Displaystyle K_ {\ mu} \ do K _ {\ lambda}}$ i współczynniki f do homomorfizmu uogólnionych modułów Vermy ${\ Displaystyle M _ {\ mathfrak {p}} (\ mu) \ do M _ {\ mathfrak {p}}(\lambda)}$ . Taki homomorfizm (czyli czynnik homomorfizmu modułów Vermy) nazywamy standardowym . Jednak w niektórych przypadkach standardowy homomorfizm może wynosić zero.

Standard

Załóżmy, że $nietrywialny$ modułów Niech ${\ Displaystyle S \ podzbiór \ Delta}$ będzie zbiorem tych prostych pierwiastków α takim, że ujemne pierwiastki pierwiastka ${\ Displaystyle - \ alpha}$ są w ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p} }}$ (jak w sekcji Właściwości ). Następujące twierdzenie zostało udowodnione przez Lepowskiego :

Standardowy homomorfizm ${\ Displaystyle M _ {\ mathfrak {p}} (\ mu) \ do M _ {\ mathfrak {p}} (\ lambda)} wynosi$ zero wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $w S}$$lambda}}$$taki$ , że jest izomorficzny z submodułem ${\ Displaystyle M_ {s_ {\ alfa} \$$afinicznym$ ( $pierwiastka$ odbiciem i jest działaniem ) .

Struktura GVM na afinicznej orbicie -dominującej i -całkowej masy ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}$$}$ -całkowej wagi ${\ Displaystyle {\$ można opisać jawnie. Jeśli W jest $istnieje$ Weyla , podzbiór takich elementów, tak że ${\ Displaystyle W ^ {\ mathfrak {p}} \ podzbiór W}$${\ Displaystyle w \ w W ^ {\ mathfrak {p}} \ Strzałka w prawo w ({\ tylda {\ lambda}})} jest$ p $\ Displaystyle {\ mathfrak {p} }}$ -dominujący. Można pokazać, że ${\ Displaystyle W ^ {\ mathfrak {p}} \ simeq W _ {\ mathfrak {p}} \ ukośnik odwrotny W} gdzie W p {\ Displaystyle W _ {$ \ $}$$p }$$}}$$styl wyświetlania {\ tylda {\ lambda}}}$ grupą Weyla (w szczególności nie zależy od wyboru $displaystyle {\$$mathfrak {$ ). mapa ${\ Displaystyle w \ w W ^ {\ mathfrak {p}} \ mapsto M _ {\ mathfrak {p}} (w \ cdot {\ tylda {\ lambda }})}$ jest bijekcją między $zbiorem$ GVM o najwyższych wagach na orbicie afinicznej $\ tylda {\ lambda}}}$ . Załóżmy, że ${\ Displaystyle \ mu = w'\ cdot {\ tylda {\ lambda}}}$ , ${\ Displaystyle \ lambda = w \ cdot {\ tylda { \ lambda}}}$ i $uporządkowaniu$ Bruhata (w przeciwnym razie nie ma homomorfizmu (prawdziwych) modułów Vermy μ $do M_{\lambda }}$$M_ {\ mu}$ i standardowy homomorfizm nie ma sensu, patrz Homomorfizmy modułów Vermy ).

Z powyższego twierdzenia i struktury wynikają następujące stwierdzenia: ${\ Displaystyle W ^ {\ mathfrak {p}}}$ :

Twierdzenie. w $gamma} w}$$\$ dla jakiegoś dodatniego pierwiastka długości (patrz porządkowanie Bruhata ) l (w') = l ( ) + 1, to istnieje niezerowy standardowy homomorfizm ${\ Displaystyle M _ {\ mathfrak {p}} (\ mu) \ do M _ {\ mathfrak {p}} (\ lambda)}$ .

Twierdzenie . Standardowy homomorfizm ${\ Displaystyle M _ {\ mathfrak {p}} (\ mu) \ do M _ {\ mathfrak {p}} (\ lambda)} wynosi$ zero wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ${\ Displaystyle w''\ w W}$ takie, że ${\ Displaystyle w \ równoważnik w''\ równoważnik w'}$ i ${\ Displaystyle w '\notin W^{\mathfrak {p}}}$ .

Jednakże, jeśli jest tylko dominujący, ale nie integralny, nadal może istnieć -dominujący i $}$$Displaystyle {\ mathfrak {p$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ -całkowe wagi na jego orbicie afinicznej.

Sytuacja jest jeszcze bardziej skomplikowana, jeśli GVM mają charakter osobliwy, tj. tam $Displaystyle$ są na orbicie afinicznej jakiegoś $\$${\ tylda {\ lambda}$ tak, że $.$ ścianie podstawowej komory

Niestandardowe

${\ Displaystyle M _ {\ mathfrak {p}} (\ mu) \ do M _ {\ mathfrak {p}} (\ lambda)}$ nazywa się niestandardowym , jeśli jest nie standardowe. Może się zdarzyć, że standardowy homomorfizm GVM wynosi zero, ale nadal istnieje niestandardowy homomorfizm.

Przykłady

• Dziedziny konforemnej teorii pola należą do uogólnionych modułów Vermy algebry konforemnej .

Zobacz też

• Moduł Vermy
• Geometria paraboliczna

Linki zewnętrzne

• Kod do konstruowania rozdzielczości BGG modułów algebry Liego i obliczania jej kohomologii