model n -wektorowy

W mechanice statystycznej model n -wektorowy lub model O( n ) jest prostym systemem oddziałujących spinów na sieci krystalicznej . Został opracowany przez H. Eugene'a Stanleya jako uogólnienie modelu Isinga , modelu XY i modelu Heisenberga . W modelu n -wektorowym n -składowa o długości jednostkowej klasyczne spiny ${\ Displaystyle \ mathbf {s} _ {i}}$ są umieszczone na wierzchołkach d -wymiarowej sieci. Hamiltonian modelu n - wektorowego jest dany wzorem:

${\ Displaystyle H = - J {\ suma} _ {\ langle i, j \ rangle} \ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ mathbf { s} _ {j}}$

$gdzie$ suma przebiega przez wszystkie pary $sąsiednich$ i euklidesowy Szczególne przypadki modelu n -wektorowego to:

${\ Displaystyle n = 0}$ : Unikający spacer

${\ Displaystyle n = 1}$ : Model Isinga

${\ Displaystyle n = 2}$ : Model XY

${\ Displaystyle n = 3}$ : Model Heisenberga

: Model zabawkowy dla sektora Higgsa Modelu Standardowego n $\ displaystyle n = 4}$

Ogólny formalizm matematyczny użyty do opisu i rozwiązania modelu n -wektorowego oraz pewne uogólnienia rozwinięto w artykule dotyczącym modelu Pottsa .

Granica kontinuum

Granicę kontinuum można rozumieć jako model sigma . Można to łatwo uzyskać, pisząc hamiltonian pod względem iloczynu

${\ Displaystyle - {\ tfrac {1} {2}} (\ mathbf {s} _ {i} -\mathbf {s} _{j})\cdot (\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})=\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s } _{j}-1}$

gdzie $\ cdot \ mathbf {s} _ {i} = 1}$ „magnesowania masowego” Porzucając ten termin jako ogólny stały czynnik dodany do energii, granicę uzyskuje się, definiując skończoną różnicę Newtona jako

${\ Displaystyle \ delta _ {h} [\ mathbf {s}] (i, j) = {\ Frac {\ mathbf {s} _ { i}-\mathbf {s} _{j}}{h}}}$

na sąsiednich miejscach sieci $\$$_$ Następnie _ h ${\ Displaystyle h \ do 0}$ , gdzie jest gradientem w ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mu}$${\ Displaystyle (i, j) \ do \ mu}$ kierunek. Zatem w granicy

${\ Displaystyle - \ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ mathbf {s} _ {j} \ do {\ tfrac {1} {2 }}\nabla _{\mu}\mathbf {s} \cdot \nabla _{\mu}\mathbf {s}}$

$którą$ można rozpoznać jako energię kinetyczną pola modelu sigma . Nadal ${\ styl wyświetlania S^{n-1}}$ dwie możliwości spinu : jest on $pobierany$ z dyskretnego zestawu spinów ( model Pottsa ) lub jest traktowany jako punkt na kuli ; to znaczy ${\ Displaystyle \ mathbf {s}}$ jest wektorem jednostkowej długości o wartościach ciągłych. W późniejszym przypadku jest to określane jako nieliniowy model sigma, ponieważ grupa rotacji jest grupą izometrii $($ n ) $}$${\ Displaystyle S ^ {n-1}}$ i oczywiście ${\ Displaystyle S ^ {n-1}}$ nie jest „płaski”, tj. nie jest pole liniowe .