Klasyczny model XY

Klasyczny model XY (czasami nazywany również klasycznym modelem wirnika ( rotatora ) lub modelem O(2) ) jest sieciowym modelem mechaniki statystycznej . Ogólnie model XY można postrzegać jako specjalizację n -wektorowego modelu Stanleya dla n = 2 .

Definicja

Mając D -wymiarową siatkę Λ , na każde miejsce j ∈ Λ przypada dwuwymiarowy wektor o jednostkowej długości s _j = (cos θ _j , sin θ _j )

Konfiguracja spinowa s = ( s _j ) _{j ∈ Λ} jest przypisaniem kąta − π < θ _j ≤ π dla każdego j ∈ Λ .

Biorąc pod uwagę niezmienną translację interakcję jot _ij = jot ( ja - jot ) i zależne od punktu zewnętrzne pole ${\ Displaystyle \ mathbf {h} _ {j} = (h_ {j}, 0) }$ , energia konfiguracji wynosi

${\ Displaystyle H (\ mathbf {s}) = - \ suma _ {i \ neq j} J_ {ij} \; \ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ mathbf {s} _ {j }-\sum _{j}\mathbf {h} _{j}\cdot \mathbf {s} _{j}=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\cos(\theta _{i}-\theta _{j})-\suma _{j}h_{j}\cos \theta _{j}}$

Przypadek, w którym J _ij = 0 oprócz ij najbliższego sąsiada, nazywamy przypadkiem najbliższego sąsiada .

Prawdopodobieństwo konfiguracji jest określone przez rozkład Boltzmanna z temperaturą odwrotną β ≥ 0 :

${\ Displaystyle P (\ mathbf {s}) = {\ Frac {e ^ {- \ beta H (\ mathbf {s})}} {Z}} \ qquad Z = \ int _ {[- \ pi, \ pi ]^{\Lambda }}\prod _{j\in \Lambda}d\theta _{j}\;e^{-\beta H(\mathbf {s} )}.}$

gdzie Z jest normalizacją lub funkcją podziału . Notacja $A$ zmiennej losowej ( s ) warunków nieskończonej objętości, okresowych brzegowych

Rygorystyczne wyniki

• Istnienia granicy termodynamicznej dla korelacji energii swobodnej i spinu dowiódł Ginibre , rozciągając na ten przypadek nierówność Griffithsa .
• Wykorzystując nierówność Griffithsa w sformułowaniu Ginibre'a, Aizenman i Simon udowodnili, że dwupunktowa korelacja spinowa modelu ferromagnetyka XY w wymiarze D , sprzężeniu J > 0 i odwrotnej temperaturze β jest zdominowana (tj. ma górną granicę określoną przez) korelacja dwupunktowa ferromagnetycznego modelu Isinga w wymiarze D , sprzężeniu J > 0 i odwrotnej temperaturze β / 2
  $${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ mathbf {s} _ {j} \ rangle _ { J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }}$$
  Stąd krytyczne β modelu XY nie może być mniejsze niż dwukrotność temperatury krytycznej modelu Isinga
  $${\ Displaystyle \ beta _ {c} ^ {XY} \ geq 2 \ beta _ {c} ^ {\ rm {Jest}}}$$

Jeden wymiar

modelu n -wektorowym „najbliższego sąsiada” ze swobodnymi (nieokresowymi) warunkami brzegowymi, jeśli pole zewnętrzne wynosi zero, istnieje proste dokładne rozwiązanie. W przypadku swobodnych warunków brzegowych hamiltonian jest

$${\ Displaystyle H (\ mathbf {s}) = - J [\ cos ( \theta _{1}-\theta _{2})+\cdots +\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})]}$$

dlatego funkcja podziału rozkłada się na czynniki przy zmianie współrzędnych

$${\ Displaystyle \ teta _ {j} = \ teta _ {j} '+ \ teta _ {j-1} \ qquad j \ geq 2}$$

To daje

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Z & = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} d \ teta _ {1} \ cdots d \ teta _ {L} \; e ^ {\beta J\cos(\theta _{1}-\theta_{2})}\cdots e^{\beta J\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})} \\&=2\pi \prod _{j=2}^{L}\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}=(2\pi )\left[\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}\right]^{L-1}=(2\pi )^{L}(I_{0}(\beta J))^{L-1}\end{wyrównane}}}$$

gdzie $zmodyfikowaną$ funkcją Bessela pierwszego rodzaju. Funkcji podziału można użyć do znalezienia kilku ważnych wielkości termodynamicznych. Na przykład w granicy termodynamicznej ( ) energia swobodna na spin wynosi ${\ Displaystyle L \ do \ infty}$

$${\ Displaystyle f (\ beta, h = 0) = - \ lim _{L\to \infty}{\frac {1}{\beta L}}\ln Z=-{\frac {1}{\beta}}\ln[2\pi I_{0}(\beta J )]}$$

Korzystając z właściwości zmodyfikowanych funkcji Bessela, ciepło właściwe (na spin) można wyrazić jako

$${\ Displaystyle {\ Frac {c} {k_ { \rm {B}}}}=\lim _{L\to \infty}{\frac {1}{L(k_{\rm {B}}T)^{2}}}{\frac {\częściowe ^{2}}{\częściowa \beta ^{2}}}(\ln Z)=K^{2}\left(1-{\frac {\mu}{K}}-\mu ^{2} \Prawidłowy)}$$

gdzie i jest funkcją korelacji krótkiego zasięgu, $Displaystyle$ = $K = J / k _ {\ rm {B}} T}$

Dokładne ciepło właściwe na spin w jednowymiarowym modelu XY

$${\ Displaystyle \ mu (K) = \ langle \ cos (\ teta - \ teta ') \ rangle = { \frac {I_{1}(K)}{I_{0}(K)}}}$$

Nawet w granicy termodynamicznej nie ma rozbieżności w cieple właściwym. Rzeczywiście, podobnie jak jednowymiarowy model Isinga, jednowymiarowy model XY nie ma przejść fazowych w skończonej temperaturze.

To samo obliczenie dla okresowego warunku brzegowego (i nadal h = 0 ) wymaga formalizmu macierzy przenoszenia , chociaż wynik jest taki sam.

(Kliknij „pokaż” po prawej stronie, aby zobaczyć szczegóły formalizmu macierzy transferu.)

Funkcję podziału można ocenić jako

$${\ Displaystyle Z = {\ tekst {tr}} \ lewo \ {\ prod _ {i$$

co można traktować jako ślad macierzy, czyli iloczyn macierzy (w tym przypadku skalarów). Ślad macierzy jest po prostu sumą jej wartości własnych, aw granicy termodynamicznej przetrwa tylko największa wartość własna, więc funkcję podziału można zapisać jako powtarzalny iloczyn tego ${\ Displaystyle L \ do \ infty}$ maksymalna wartość własna. Wymaga to rozwiązania problemu wartości własnej

$${\ Displaystyle \ punkt d \ theta '\ exp \ {\ beta J \ cos (\ theta '-\theta )\}\psi (\theta ')=z_{i}\psi (\theta)}$$

Uwaga na rozszerzenie

$${\ Displaystyle \ exp \ {\ beta J \ cos (\ teta - \ teta ') \} = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} I_ {n} ( \beta J)e^{in(\theta -\theta ')}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\omega _{n}\psi _{n}^{*}( \theta ')\psi _{n}(\theta)}$$

${\ Displaystyle \ psi = \ exp (in \ theta)$ } . Wartości własne macierzy to po prostu zmodyfikowane funkcje Bessela oceniane w ${n} = 2 \ pi I_ { n}(\beta J)}$ a mianowicie $jot$ . Dla dowolnej określonej wartości , te zmodyfikowane funkcje Bessela spełniają ${1}> ja_ {2}> \ cdots$$I_$ i ${\ Displaystyle I_ {- n} (\ beta J) = I_ {n} (\ beta J)}$ . Dlatego w granicy termodynamicznej wartość własna $[$ ślad, więc $2 \ pi I_ {0} (\ beta J)]^{L}}$ .

$z macierzą$ swobodne warunki brzegowe, ale z zastosowanym polem . Jeśli zastosowane pole $jest$ na tyle małe, że można je traktować jako zaburzenie układu w polu zerowym, to podatność magnetyczna ${\ Displaystyle \ chi \ równoważnik \ częściowy M /\częściowe h}$ można oszacować. Odbywa się to za pomocą stanów własnych obliczonych za pomocą macierzy przenoszenia i obliczenia przesunięcia energii za pomocą teorii zaburzeń drugiego rzędu , a następnie porównania z ekspansją energii swobodnej ${\ Displaystyle F = F_ {0 }-{\frac {1}{2}}\chi h^{2}}$ . Jeden znajduje

$${\ Displaystyle \ chi (h \ do 0) = {\ Frac {C} {T}} {\ Frac {1 + \ mu} {1-\ mu }}}$$

gdzie jest stałą Curie $($ wartość zwykle kojarzona z podatnością materiałów magnetycznych) To wyrażenie jest również prawdziwe dla jednowymiarowego modelu Isinga, z zamianą ${\ Displaystyle \ mu = \ tanh K}$ .

Dwa wymiary

Mganetyzacja średniokwadratowa dla sieci 25x25 (Ota: 30x30), co sugeruje wzrost momentu magnetycznego, który nie występuje w granicy termodynamicznej

Dwuwymiarowy model XY z interakcjami z najbliższymi sąsiadami jest przykładem dwuwymiarowego systemu o ciągłej symetrii, który nie ma uporządkowania dalekiego zasięgu, zgodnie z wymogami twierdzenia Mermina – Wagnera . Podobnie nie ma konwencjonalnego przejścia fazowego, które wiązałoby się z łamaniem symetrii . Jednak, jak zostanie omówione później, system wykazuje oznaki przejścia z nieuporządkowanego stanu o wysokiej temperaturze do stanu quasi-uporządkowanego poniżej pewnej temperatury krytycznej, zwanego przejściem Kosterlitza- Thoulessa . W przypadku dyskretnej sieci spinów dwuwymiarowy model XY można ocenić przy użyciu podejścia macierzy przenoszenia, redukując model do problemu wartości własnej i wykorzystując największą wartość własną z macierzy przenoszenia. $, aby$ szacunki temperatury krytycznej, występuje w niskich temperaturach. Na przykład Mattis (1984) wykorzystał przybliżenie tego modelu do oszacowania temperatury krytycznej układu jako

$${\ Displaystyle (2k _ {\ rm {B}} T_ {c} / J) \ ln (2k_ {\ rm {B }}T_{c}/J)=1}$$

$${\ Displaystyle k _ {\ rm {B}} T_ {c} / J \ około 0,8816}$$

Model 2D XY został również szczegółowo zbadany przy użyciu symulacji Monte Carlo , na przykład algorytmu Metropolis . Można ich używać do obliczania wielkości termodynamicznych, takich jak energia układu, ciepło właściwe, namagnesowanie itp., W zakresie temperatur i skal czasowych. W symulacji Monte Carlo każdy spin jest powiązany ze stale zmieniającym się kątem ${\ displaystyle \ theta _ {i}}$ zdyskretyzować na skończenie wiele kątów, jak w powiązanym modelu Pottsa , dla ułatwienia θ $\ Displaystyle \ Delta \ theta _ {i}\w (-\Delta,\Delta)}$ ja . Ta zmiana $.$ powoduje zmianę energii która może być dodatnia lub ujemna Jeśli jest ujemna, algorytm akceptuje zmianę kąta; jeśli $jest$ dodatnia, konfiguracja jest akceptowana z współczynnikiem Boltzmanna Metoda Monte Carlo została wykorzystana do zweryfikowania różnymi metodami krytycznej temperatury systemu i szacuje się, że wynosi ona ${\ Displaystyle k _ {\ rm {B}} T_ { c}/J=0,8935(1)}$ . Metoda Monte Carlo może również obliczać wartości średnie, które są używane do obliczania wielkości termodynamicznych, takich jak namagnesowanie, korelacja spin-spin, długości korelacji i ciepło właściwe. Są to ważne sposoby scharakteryzowania zachowania systemu w pobliżu temperatury krytycznej. Namagnesowanie i namagnesowanie do kwadratu można na przykład obliczyć jako

Ciepło właściwe dwuwymiarowego modelu XY, obliczone za pomocą symulacji Monte Carlo na sieciach kwadratowych o wymiarach do 4096 x 4096 (Nguyen :)), przedstawiające cechę w k $\ Displaystyle k _ {\ rm {B }}T/J\około 1,167}$ , nad przejściem KT . Wstawka pokazuje położenie piku jako funkcję rozmiaru sieci.

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ langle M \ rangle} {N}} = {\ Frac {1} {N}} | \ langle \ mathbf {s} \ rangle | = {\ Frac {1} {N}} \left|\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i},\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i }\right)\right\rangle \right|}$$

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ langle M ^ {2} \ rangle} {N ^ {2}}} = {\ Frac {1} {N ^ {2}}} \ lewo \ langle s_ {x} ^ { 2}+s_{y}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle \left(\suma _{i=1}^{N}\ cos \theta _{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)^{2}\right\rangle }$$

gdzie ${\ Displaystyle N = L \ razy L}$ to liczba obrotów. Średnie namagnesowanie charakteryzuje wielkość wypadkowego momentu magnetycznego układu; w wielu układach magnetycznych jest to zero powyżej temperatury krytycznej i samorzutnie staje się niezerowe w niskich temperaturach. Podobnie magnetyzacja średniokwadratowa charakteryzuje średnią kwadratową składowych netto spinów w sieci. Każdy z nich jest powszechnie używany do scharakteryzowania parametru porządku systemu. $, że$ w granicy termodynamicznej wynosi zero , który znika w granicy termodynamicznej. Rzeczywiście, w wysokich temperaturach wielkość ta zbliża się do zera, ponieważ składowe spinów będą miały tendencję do losowości, a zatem sumują się do zera. Jednak w niskich temperaturach dla skończonego systemu namagnesowanie średniokwadratowe wzrasta, co sugeruje, że istnieją obszary przestrzeni spinowej, które są wyrównane, aby przyczynić się do niezerowego wkładu. Przedstawione namagnesowanie (dla sieci 25x25) jest jednym z przykładów tego, co wydaje się sugerować przejście fazowe, podczas gdy takie przejście nie istnieje w granicy termodynamicznej.

Ponadto za pomocą mechaniki statystycznej można powiązać średnie termodynamiczne z wielkościami, takimi jak ciepło właściwe, poprzez obliczenia

$${\ Displaystyle c / k _ {\ rm {B}} = {\ Frac {\ langle E ^ {2} \ rangle - \ kąt E\rangle ^{2}}{N(k_{\rm {B}}T)^{2}}}}$$

Ciepło właściwe jest pokazane w niskich temperaturach bliskich temperaturze krytycznej ${\ Displaystyle k _ {\ rm {B}} T_ {c} / J \ około$ } W tej przewidywanej temperaturze nie ma żadnej cechy ciepła właściwego, która byłaby zgodna z krytycznym zachowaniem (jak rozbieżność). Rzeczywiście, oszacowanie temperatury krytycznej pochodzi z innych metod, takich jak moduł spiralności lub zależność rozbieżności podatności od temperatury. $_$ postaci _ Wykazano, że ta pozycja piku i wysokość nie zależą od rozmiaru systemu dla sieci o rozmiarze liniowym większym niż 256; w rzeczywistości specyficzna anomalia ciepła pozostaje zaokrąglona i skończona przy zwiększaniu rozmiaru sieci, bez rozbieżnego piku.

Naturę krytycznych przejść i tworzenia się wirów można wyjaśnić, rozważając ciągłą wersję modelu XY. $}$ dyskretne spiny są przez pole reprezentujące kąt wirowania w dowolnym punkcie przestrzeni $displaystyle \ theta _ {n}$ . W tym przypadku kąt obrotów $.$ płynnie przy Rozszerzając oryginalny cosinus jako szereg Taylora, hamiltonian można wyrazić w przybliżeniu kontinuum jako

$${\ Displaystyle E = \ int {\ Frac {J} {2}} (\ nabla \ teta) ^ {2} \, d ^ {2} \ mathbf { X} }$$

Mapa kolorów $($ dwuwymiarowego modelu XY Każdy spin jest reprezentowany przez kolor odpowiadający kątowi pomiędzy ${\ Displaystyle (- \ pi, \ pi ]}$

Ciągła wersja modelu XY jest często używana do modelowania układów, które posiadają parametry porządku o tych samych rodzajach symetrii, np. nadciekły hel , heksatyczne ciekłe kryształy. To właśnie odróżnia je od innych przejść fazowych, którym zawsze towarzyszy złamanie symetrii. Defekty topologiczne w modelu XY prowadzą do niewiążącego wiru przejścia z fazy niskotemperaturowej do fazy nieuporządkowanej wysokotemperaturowej . Rzeczywiście, fakt, że w wysokich temperaturach korelacje zanikają wykładniczo szybko, podczas gdy w niskich temperaturach zanikają z prawem potęgowym, mimo że w obu reżimach M ( β ) = 0 , nazywa się przejściem Kosterlitza-Thoulessa . Kosterlitz i Thouless przedstawili prosty argument, dlaczego tak się dzieje: uwzględnia to stan podstawowy składający się ze wszystkich spinów w tej samej orientacji, z dodatkiem następnie pojedynczego wiru. Obecność $_ 2})}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ Delta E = \ pi J \ ln (L / a)}$$π$ długości (na przykład rozmiar sieci dla dyskretnej sieci) Tymczasem energia układu wzrasta z powodu wiru o wartość . Łącząc to razem, energia swobodna układu zmieniłaby się w wyniku spontanicznego powstania wiru o określoną wartość

$${\ Displaystyle \ Delta F = \ Delta ET \ Delta S = (\ pi J-2k_ {\ rm { B}}T)\ln(L/a)}$$

W granicy termodynamicznej system nie sprzyja tworzeniu się wirów w niskich temperaturach, ale sprzyja im w wysokich temperaturach, powyżej temperatury krytycznej. ${\ Displaystyle T_ {c} = \ pi J /2k_{\rm {B}}}$ . Wskazuje to, że w niskich temperaturach wszelkie powstające wiry będą chciały anihilować z antywirami, aby obniżyć energię układu. Rzeczywiście, będzie to miało miejsce jakościowo, jeśli ktoś obejrzy „migawki” systemu wirowania w niskich temperaturach, gdzie wiry i antywiry stopniowo łączą się, aby anihilować. Tak więc stan niskiej temperatury będzie się składał ze związanych par wir-antywir. Tymczasem w wysokich temperaturach pojawi się zbiór niezwiązanych wirów i antywirów, które mogą swobodnie poruszać się po płaszczyźnie.

Aby zwizualizować model Isinga, można użyć strzałki skierowanej w górę lub w dół lub przedstawionej jako punkt w kolorze czarno-białym, aby wskazać jego stan. Aby zwizualizować system spinów XY, obroty można przedstawić jako strzałkę skierowaną w pewnym kierunku lub jako punkt z pewnym kolorem. Tutaj konieczne jest przedstawienie spinu za pomocą widma kolorów ze względu na każdą z możliwych zmiennych ciągłych. Można to zrobić za pomocą, na przykład, ciągłego i okresowego widma czerwono-zielono-niebieskiego. Jak pokazano na rysunku, cyjan odpowiada kątowi zerowemu (skierowanemu w prawo), podczas gdy czerwony odpowiada kątowi 180 stopni (skierowanemu w lewo). Następnie można zbadać migawki konfiguracji spinów w różnych temperaturach, aby wyjaśnić, co dzieje się powyżej i poniżej temperatury krytycznej modelu XY. W wysokich temperaturach spiny nie będą miały preferowanej orientacji i wystąpią nieprzewidywalne zmiany kątów między sąsiednimi spinami, ponieważ nie będzie preferowanej energetycznie korzystnej konfiguracji. W takim przypadku mapa kolorów będzie wyglądać na mocno pikselowaną. Tymczasem w niskich temperaturach jedna z możliwych konfiguracji stanu podstawowego ma wszystkie spiny skierowane w tę samą orientację (ten sam kąt); odpowiadałyby one regionom (domenom) mapy kolorów, w których wszystkie spiny mają mniej więcej ten sam kolor.

Różne formy wirów i antywirów, pokazane w symulacji Monte Carlo przy ${\ Displaystyle k _ {\ rm {B}} T / J = 0,4}$

Aby zidentyfikować wiry (lub antywiry) obecne w wyniku przejścia Kosterlitza – Thoulessa, można określić podpisaną zmianę kąta, przechodząc przez okrąg punktów sieci w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Jeśli całkowita zmiana kąta wynosi zero, odpowiada to brakowi wiru; $)$ kąta odpowiada wirowi (lub antywirowi Te wiry są topologicznie nietrywialnymi obiektami, które występują w parach wir-antywir, które mogą się rozdzielać lub anihilować w parach. Na mapie kolorów defekty te można zidentyfikować w regionach, w których występuje duży gradient kolorów, w którym wszystkie kolory widma spotykają się wokół punktu. Jakościowo, defekty te mogą wyglądać jak źródła przepływu skierowane do wewnątrz lub na zewnątrz lub wiry spinów, które razem obracają się zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, lub hiperboliczne cechy, z niektórymi spinami skierowanymi w stronę defektu, a niektórymi w przeciwnym kierunku. Ponieważ konfiguracja jest badana w długich skalach czasowych iw niskich temperaturach, obserwuje się, że wiele z tych par wir-antywir zbliża się do siebie i ostatecznie unicestwia parę. Dopiero w wysokich temperaturach te wiry i antywiry są uwalniane i odrywają się od siebie.

W ciągłym modelu XY spontaniczne namagnesowanie w wysokiej temperaturze zanika:

$${\ Displaystyle M (\ beta): = | \ langle \ mathbf {s} _ {i} \ rangle | = 0}$$

Poza tym ekspansja klastrów pokazuje, że korelacje spinowe gromadzą się wykładniczo szybko: na przykład

$${\ Displaystyle |\ langle \ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ mathbf {s} _ {j} \ rangle | \ równoważnik C (\ beta) e ^ {-c (\ beta) | ij |}}$$

W niskich temperaturach, tj. β ≫ 1 , spontaniczne namagnesowanie pozostaje zerowe (patrz twierdzenie Mermina-Wagnera ),

$${\ Displaystyle M (\ beta): = | \ langle \ mathbf {s} _ {i} \ rangle | = 0}$$

ale rozpad korelacji jest tylko prawem potęgowym: Fröhlich i Spencer znaleźli dolną granicę

${\ Displaystyle | \ langle \ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ mathbf {s} _ {j} \ rangle | \ geq {\ Frac {C (\ beta)} {1 + | ij |^{\eta (\beta)}}}}$

podczas gdy McBryan i Spencer znaleźli górną granicę dla dowolnego ${\ Displaystyle \ epsilon > 0}$

${\ Displaystyle | \ langle \ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ mathbf {s} _ {j} \ rangle | \ równoważnik {\ Frac {C (\ beta, \ epsilon)} {1+|ij|^{\eta (\beta,\epsilon)}}}}$

Trzy i wyższe wymiary

Niezależnie od zakresu oddziaływania, przy odpowiednio niskiej temperaturze namagnesowanie jest dodatnie.

• W wysokiej temperaturze spontaniczne namagnesowanie zanika: ${\ Displaystyle M (\ beta): = | \ langle \ mathbf {s} _ {i} \ rangle | = 0}$ . Poza tym ekspansja klastrów pokazuje, że korelacje spinowe gromadzą się wykładniczo szybko: na przykład ${\ Displaystyle |\ langle \ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ mathbf {s} _ {j} \ rangle | \ równoważnik C (\ beta) e ^ {-c (\ beta) | ij |}}$ .
• W niskiej temperaturze wiązanie w podczerwieni pokazuje, że spontaniczne namagnesowanie jest ściśle dodatnie: ${\ Displaystyle M (\ beta): = | \ langle \ mathbf {s} _ {i} \ rangle |> 0}$ . Poza $($ istnieje 1-parametrowa rodzina stanów ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {s} _ {i} \ rangle ^ {\ teta} = M (\ beta) (\ cos \ teta, \ sin \ teta)} ale$ , przypuszczalnie , w każdym z tych stanów ekstremalnych okrojone korelacje zanikają algebraicznie.

Przejście fazowe

Jak wspomniano powyżej, w jednym wymiarze model XY nie ma przejścia fazowego, podczas gdy w dwóch wymiarach ma przejście Berezinskiego-Kosterlitza-Thoulessa między fazami z rozkładającymi się wykładniczo i potęgowo funkcjami korelacji.

W trzech i wyższych wymiarach model XY ma przejście fazowe ferromagnes-paramagnes. W niskich temperaturach spontaniczne namagnesowanie jest niezerowe: jest to faza ferromagnetyczna. Wraz ze wzrostem temperatury spontaniczne namagnesowanie stopniowo maleje i zanika w temperaturze krytycznej. Pozostaje zero we wszystkich wyższych temperaturach: to jest faza paramagnetyczna.

W czterech i wyższych wymiarach przejście fazowe ma wykładniki krytyczne teorii pola średniego (z poprawkami logarytmicznymi w czterech wymiarach).

Przypadek trójwymiarowy: wykładniki krytyczne

Przypadek trójwymiarowy jest interesujący, ponieważ krytyczne wykładniki przy przejściu fazowym są nietrywialne. Wiele trójwymiarowych układów fizycznych należy do tej samej klasy uniwersalności, co trójwymiarowy model XY i ma te same krytyczne wykładniki, w szczególności magnesy łatwej płaszczyzny i ciekły hel-4 . Wartości tych krytycznych wykładników są mierzone za pomocą eksperymentów, symulacji Monte Carlo, a także mogą być obliczane za pomocą teoretycznych metod kwantowej teorii pola, takich jak grupa renormalizacji i konforemna metoda ładowania początkowego . Metody grupy renormalizacji mają zastosowanie, ponieważ uważa się, że punkt krytyczny modelu XY jest opisany przez stały punkt grupy renormalizacji. Konformalne metody ładowania początkowego mają zastosowanie, ponieważ uważa się, że jest to również jednolita trójwymiarowa konforemna teoria pola .

Najważniejsze krytyczne wykładniki trójwymiarowego modelu XY to ${\ Displaystyle \ alfa, \ beta, \ gamma, \ delta, \ nu, \ eta}$ . Wszystkie $z$ nich można wyrazić za pomocą zaledwie dwóch liczb: wymiarów skalowania i pola $}}$$\$ { Displaystyle $\ phi}$$i$ wiodącego operatora singletowego $.$ jak w Ginzburga- ) $Innym$ ważnym polem jest $) ,$ samo jak wymiar $}$ \ Displaystyle wykładnik korekty do skalowania ${\ displaystyle \ omega}$ . Zgodnie z konforemnymi obliczeniami bootstrap te trzy wymiary są określone przez:

${\ Displaystyle \ Delta _ {\ fi}}$	0,519088(22)
${\ Displaystyle \ Delta _ {s}}$	1.51136(22)
${\ Displaystyle \ Delta _ {s'}}$	3.794(8)

Daje to następujące wartości wykładników krytycznych:

	wyrażenie ogólne ( ${\ Displaystyle d = 3}$ )	wartość numeryczna
α	${\ Displaystyle 2-d / (d- \ Delta _ {s})}$	-0,01526(30)
β	${\ Displaystyle \ Delta _ {\ phi} / (d- \ Delta _ {s})}$	0,34869(7)
γ	${\ Displaystyle (d-2 \ Delta _ {\ fi}) / (d- \ Delta _ {s})}$	1.3179(2)
δ	${\ Displaystyle (d - \ Delta _ {\ phi}) / \ Delta _ {\ phi}}$	4.77937(25)
η	${\ Displaystyle 2 \ Delta _ {\ fi} -d + 2}$	0,038176(44)
v	${\ Displaystyle 1 / (d- \ Delta _ {s})}$	0,67175(10)
ω	${\ Displaystyle \ Delta _ {s'} -d}$	0,794(8)

Metody Monte Carlo dają zgodne oznaczenia: ${\ Displaystyle \ eta = 0,03810 (8), \ nu = 0,67169 (7), \ omega = 0,789 (4)}$ .

Zobacz też

• Klasyczny model Heisenberga
• Bozon Goldstone'a
• Model Isinga
• modelu Pottsa
• model n -wektorowy
• Przejście Kosterlitza – Thoulessa
• Defekt topologiczny
• Film nadpłynny
• modelu Sigmy

Notatki

• Jewgienij Demidow, Wiry w modelu XY (2004)

Dalsza lektura

• JE Stanley, Wprowadzenie do przemian fazowych i zjawisk krytycznych , (Oxford University Press, Oxford i New York 1971);
•   H. Kleinert , Pola miernika w materii skondensowanej , tom. I, „LINIE NADPŁYWU I WIRÓW”, s. 1–742, tom. II, „OBCIĄŻENIA I WADY”, s. 743–1456, World Scientific (Singapur, 1989) ; Książka w miękkiej okładce ISBN 9971-5-0210-0 (dostępna również w Internecie: tom I i tom II )

Linki zewnętrzne

• symulacja WebGL modelu XY w czasie rzeczywistym
• Interaktywna symulacja Monte Carlo modeli Isinga, XY i Heisenberga z grafiką 3D (wymaga przeglądarki zgodnej z WebGL)