Twierdzenie Mermina-Wagnera

W kwantowej teorii pola i mechanice statystycznej twierdzenie Mermina – Wagnera (znane również jako twierdzenie Mermina – Wagnera – Hohenberga , twierdzenie Mermina – Wagnera – Berezinskiego lub twierdzenie Colemana ) stwierdza, że ​​ciągłe symetrie nie mogą być spontanicznie łamane w skończonej temperaturze w układach o wystarczająco oddziaływania krótkozasięgowe w wymiarach d ≤ 2 . Intuicyjnie oznacza to, że fluktuacje dalekiego zasięgu można wytworzyć przy niewielkich kosztach energii, a ponieważ zwiększają one entropię, są preferowane.

Dzieje się tak, ponieważ gdyby nastąpiło takie spontaniczne złamanie symetrii , to odpowiadające im bozony Goldstone'a , będąc bezmasowymi, miałyby rozbieżną funkcję korelacji w podczerwieni .

Brak spontanicznego łamania symetrii w układach d ≤ 2 wymiarowych został rygorystycznie udowodniony przez Davida Mermina , Herberta Wagnera (1966) i Pierre'a Hohenberga (1967) w mechanice statystycznej oraz przez Sidneya Colemana ( 1973 ) w kwantowej teorii pola. To, że twierdzenie to nie ma zastosowania do dyskretnych symetrii, można zobaczyć w dwuwymiarowym modelu Isinga .

Wstęp

Rozważ swobodne pole skalarne φ o masie m w dwóch wymiarach euklidesowych. Jego propagatorem jest:

${\ Displaystyle G (x) = \ lewo \ langle \ varphi (x) \ varphi (0) \ prawo \ rangle = \ int {\ Frac {d ^ {2} k} {(2 \ pi) ^ {2} }}{\frac {e^{ik\cdot x}}{k^{2}+m^{2}}}.}$

Dla małych m G jest rozwiązaniem równania Laplace'a ze źródłem punktowym:

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} G = \ delta (x).}$

Dzieje się tak, ponieważ propagator jest odwrotnością ∇ ² w przestrzeni k . Aby skorzystać z prawa Gaussa , zdefiniuj analog pola elektrycznego jako E = ∇ G . Dywergencja pola elektrycznego wynosi zero. W dwóch wymiarach, przy użyciu dużego pierścienia Gaussa:

${\ displaystyle E = {1 \ ponad 2 \ pi r}.}$

Tak więc funkcja G ma rozbieżność logarytmiczną zarówno przy małym, jak i dużym r .

${\ Displaystyle G (r) = {1 \ ponad 2 \ pi} \ log (r)}$

Interpretacja rozbieżności polega na tym, że fluktuacje pola nie mogą pozostać wyśrodkowane wokół średniej. Jeśli zaczniesz w punkcie, w którym pole ma wartość 1, rozbieżność mówi ci, że gdy podróżujesz daleko, pole jest arbitralnie oddalone od wartości początkowej. To sprawia, że ​​​​dwuwymiarowe bezmasowe pole skalarne jest nieco trudne do zdefiniowania matematycznego. Jeśli zdefiniujesz pole za pomocą symulacji Monte Carlo, nie pozostaje ono w miejscu, ale z czasem przesuwa się do nieskończenie dużych wartości.

Dzieje się tak również w jednym wymiarze, gdy pole jest jednowymiarowym polem skalarnym, przypadkowym spacerowaniem w czasie. Błądzenie losowe przesuwa się również arbitralnie daleko od punktu początkowego, tak że jednowymiarowy lub dwuwymiarowy skalar nie ma dobrze określonej wartości średniej.

Jeśli pole jest kątem θ , tak jak w modelu meksykańskiego kapelusza , gdzie pole zespolone A = Re ^iθ ma wartość oczekiwaną, ale może się swobodnie przesuwać w kierunku θ , kąt θ będzie losowy na dużych odległościach. To jest twierdzenie Mermina-Wagnera: nie ma spontanicznego złamania ciągłej symetrii w dwóch wymiarach.

Przejście modelu XY

Podczas gdy twierdzenie Mermina – Wagnera zapobiega jakiemukolwiek spontanicznemu złamaniu symetrii w skali globalnej, dopuszczalne mogą być uporządkowane przejścia typu Kosterlitza – Thoulessa . Tak jest w przypadku modelu XY , w którym ciągła (wewnętrzna) symetria O (2) na siatce przestrzennej o wymiarze d ≤ 2 , tj. wartość oczekiwana pola (spinowego), pozostaje zerowa dla dowolnej skończonej temperatury ( kwantowe przejścia fazowe pozostają nieporuszony). Jednak twierdzenie to nie wyklucza istnienia przejścia fazowego w sensie rozbieżności długość korelacji ξ . W tym celu model ma dwie fazy: konwencjonalną fazę nieuporządkowaną w wysokiej temperaturze z dominującym wykładniczym zanikiem funkcji korelacji ${\ Displaystyle G (r) \ sim \ exp ( -r / \ xi )}$ dla ${\ Displaystyle r / \ xi \ gg 1}$ i faza niskotemperaturowa z rzędem quasi-dalekiego zasięgu, gdzie G ( r ) rozpada się zgodnie z pewnym prawem potęgowym dla „wystarczająco dużej”, ale skończonej odległości r ( a ≪ r ≪ ξ z rozstawem sieci ).

modelu Heisenberga

Przedstawimy intuicyjny sposób zrozumienia mechanizmu zapobiegającego łamaniu symetrii w małych wymiarach, poprzez zastosowanie do modelu Heisenberga , czyli układu n -składowych spinów S _i o jednostkowej długości | S _ja | = 1 , zlokalizowane w miejscach d -wymiarowej sieci kwadratowej, ze sprzężeniem najbliższego sąsiada J . Jego hamiltonian jest

${\ Displaystyle H = -J \ suma _ {\ lewo \ langle {i, j} \ prawo \ rangle} \ mathbf {S} _ {i} \ cdot \ mathbf {S} _ {j}.}$

Nazwa tego modelu pochodzi od jego symetrii obrotowej. Rozważ zachowanie tego układu w niskich temperaturach i załóż, że istnieje spontanicznie złamana symetria, czyli faza, w której wszystkie spiny są skierowane w tym samym kierunku, np. wzdłuż osi x . Wtedy O ( n ) układu jest spontanicznie łamana, a raczej sprowadzana do symetrii O ( n − 1) pod wpływem obrotów wokół tego kierunku. Możemy sparametryzować pole pod względem niezależnych fluktuacji σ _α wokół tego kierunku w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ mathbf {S} = {\ kapelusz {x}} \ lewo ({\ sqrt {1-\suma _{\alpha}\sigma _{\alpha}^{2}}},\left\{\sigma _{\alpha}\right\}\right),\qquad \alpha =1 ,\cdots ,n-1.}$

z | σ _α | ≪ 1 , a Taylor rozwiń wynikowy hamiltonian. Mamy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {S} _ {i} \ cdot \ mathbf {S} _ {j} & = {\ sqrt {\ lewo (1- \ suma _ {\ alfa} \ sigma _ {i\alpha}^{2}\right)\left(1-\suma _{\alpha}\sigma _{j\alpha}^{2}\right)}}+\suma _{\alpha}\ sigma _{i\alpha }\sigma _{j\alpha }\\&=1-{\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(\sigma _{i\alpha }^ {2}+\sigma _{j\alpha}^{2}\right)+\suma _{\alpha}\sigma _{i\alpha}\sigma _{j\alpha}+{\mathcal {O} }\left(\sigma ^{4}\right)\\&=1-{\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(\sigma _{i\alpha}-\sigma _{j\alpha }\right)^{2}+\ldots \end{aligned}}}$

skąd

${\ Displaystyle H = H_ {0} + {\ tfrac {1} {2}} J \ suma _{\left\langle i,j\right\rangle }\sum _{\alpha }\left(\sigma _{i\alpha }-\sigma _{j\alpha }\right)^{2}+\ kropki }$

Pomijając nieistotny stały składnik ₀ H = − JNd i przechodząc do granicy kontinuum , biorąc pod uwagę, że interesuje nas faza niskiej temperatury, w której dominują fluktuacje długofalowe, otrzymujemy

${\ Displaystyle H = {\ tfrac {1} {2}} J \ int {\ operatorname {d} ^ {d} x \ suma _ {\ alfa} {(\ nabla \ sigma _ {\ alfa}) ^ { 2}}}+\ldkropki .}$

Fluktuacje pola σ _α nazywane są falami spinowymi i można je rozpoznać jako bozony Goldstone'a. Rzeczywiście, ich liczba jest n -1 i mają one zerową masę, ponieważ w hamiltonianie nie ma składnika masowego.

Aby dowiedzieć się, czy ta hipotetyczna faza naprawdę istnieje, musimy sprawdzić, czy nasze założenie jest samozgodne, to znaczy, czy wartość oczekiwana namagnesowania, obliczona w tym schemacie, jest skończona, jak zakładano. W tym celu musimy obliczyć poprawkę pierwszego rzędu do namagnesowania spowodowaną fluktuacjami. Jest to procedura zastosowana przy wyprowadzaniu dobrze znanego kryterium Ginzburga .

Model jest gaussowski do pierwszego rzędu, więc funkcja korelacji przestrzeni pędu jest proporcjonalna do k ⁻² . Zatem dwupunktowa funkcja korelacji w przestrzeni rzeczywistej dla każdego z tych trybów wynosi

$\ Displaystyle \ lewo \ langle \ sigma _ {\ alfa} (r$

gdzie a jest odstępem między kratami. Średnie namagnesowanie wynosi

${\ Displaystyle \ lewo \ langle S_ {1} \ prawo \ rangle = 1 - {\ tfrac {1} {2}} \ suma _ { \alpha }\left\langle \sigma _{\alpha }^{2}\right\rangle +\ldots }$

a korektę pierwszego rzędu można teraz łatwo obliczyć:

${\ Displaystyle \ suma _ {\ alfa} \ lewo \ langle \ sigma _ {\ alfa} ^ {2} (0) \ prawo \ rangle = (n-1) {\ Frac {1} {\ beta J}} \int ^{\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} ^{d}k}{(2\pi)^{d}}}{\frac {1}{k^{ 2}}}.}$

Powyższa całka jest proporcjonalna do

${\ Displaystyle \ int ^ {\ Frac {1} {a}} k ^ {d-3} \ operatorname {d} k}$

więc jest skończony dla d > 2 , ale wydaje się być rozbieżny dla d ≤ 2 (logarytmicznie dla d = 2 ).

Ta rozbieżność oznacza, że ​​fluktuacje σ _α są tak duże, że rozwinięcie parametru | σ _α | ≪ 1 wykonane powyżej nie jest samospójne. Można więc naturalnie oczekiwać, że poza tym przybliżeniem średnie namagnesowanie wynosi zero.

Wnioskujemy zatem, że dla d ≤ 2 nasze założenie, że istnieje faza spontanicznego namagnesowania, jest błędne dla wszystkich T > 0 , ponieważ fluktuacje są wystarczająco silne, aby zniszczyć spontaniczne złamanie symetrii. To ogólny wynik:

Twierdzenie Mermina-Wagnera-Hohenberga. Nie ma fazy ze spontanicznym łamaniem ciągłej symetrii dla T > 0 , w d ​​≤ 2 wymiarach.

Wynik można również rozszerzyć na inne geometrie, takie jak filmy Heisenberga z dowolną liczbą warstw, a także na inne układy sieciowe (model Hubbarda, model sf).

Uogólnienia

W rzeczywistości można udowodnić znacznie silniejsze wyniki niż brak namagnesowania, a ustawienie może być znacznie bardziej ogólne. W szczególności :

1. Hamiltonian może być niezmienny pod działaniem dowolnej zwartej, połączonej grupy Liego G .
2. Dopuszczalne są interakcje dalekiego zasięgu (pod warunkiem, że zanikają wystarczająco szybko; znane są warunki konieczne i wystarczające).

W tym ogólnym układzie twierdzenie Mermina – Wagnera przyjmuje następującą mocną postać (podaną tutaj w sposób nieformalny):

Wszystkie (o nieskończonej objętości) stany Gibbsa związane z tym hamiltonianem są niezmienne pod działaniem G .

Kiedy odrzuca się założenie, że grupa Liego jest zwarta, zachodzi podobny wynik, ale z wnioskiem, że stany Gibbsa o nieskończonej objętości nie istnieją.

Wreszcie, istnieją inne ważne zastosowania tych pomysłów i metod, w szczególności do udowodnienia, że ​​​​w systemach dwuwymiarowych nie mogą istnieć stany Gibbsa niezmienne dla translacji. Typowym takim przykładem byłby brak stanów krystalicznych w systemie dysków twardych (z ewentualnymi dodatkowymi atrakcyjnymi interakcjami).

Udowodniono jednak, że interakcje typu hard-core mogą generalnie prowadzić do naruszenia twierdzenia Mermina-Wagnera.

Historia

Już w 1930 roku Felix Bloch argumentował, diagonizując wyznacznik Slatera dla fermionów, że magnetyzm w 2D nie powinien istnieć. Kilka łatwych argumentów, które podsumowano poniżej, zostało podanych przez Rudolfa Peierlsa na podstawie rozważań entropicznych i energetycznych. Również Lev Landau pracował nad łamaniem symetrii w dwóch wymiarach.

Energetyczny argument

Szkic przedstawia łańcuch o długości L składający się z momentów magnetycznych, który można przechylić w płaszczyźnie w najniższym stanie wzbudzonym. Kąt między sąsiednimi momentami wynosi ${\ displaystyle \ gamma}$

Jednym z powodów braku łamania globalnej symetrii jest to, że łatwo można wzbudzić fluktuacje o dużej długości fali, które niszczą doskonały porządek. „Łatwo wzbudzony” oznacza, że ​​energia dla tych fluktuacji dąży do zera dla wystarczająco dużych systemów. Rozważmy model magnetyczny (np. model XY w jednym wymiarze). Jest to łańcuch momentów magnetycznych o długości ${\ displaystyle L}$ . Rozważamy przybliżenie harmoniczne, w którym siły (moment obrotowy) między sąsiednimi momentami rosną liniowo wraz z kątem skręcenia ${\ displaystyle \ gamma _ {i}}$ . Oznacza to, że energia spowodowana skręcaniem wzrasta kwadratowo mi ja $\ Displaystyle E_ {i} \ propto \ gamma _ {i} ^ {2}$ . Całkowita energia jest sumą wszystkich skręconych par momentów magnetycznych ${\ Displaystyle E_ {ges} \ propto \ suma _ {i} \ gamma _ {i} ^ {2}$ } Jeśli weźmie się pod uwagę tryb wzbudzony o najniższej energii w jednym wymiarze (patrz rysunek), to momenty na łańcuchu długości ${\ displaystyle L}$ są pochylone o ${\ displaystyle 2 \ pi}$ wzdłuż łańcucha. Względny kąt między sąsiednimi momentami jest taki sam dla wszystkich par momentów w tym trybie i wynosi ${\ Displaystyle \ gamma _ {i} = 2 \ pi / N}$ , jeśli łańcuch składa się z ${ \displaystyle N}$ momenty magnetyczne. Wynika z tego, że całkowita energia tego najniższego modu wynosi ${\ Displaystyle E_ {ges} \ propto N \ cdot \ gamma _ {i} ^ {2} = N {\ Frac {4 \ pi ^ {2}} {N ^ {2}}}\propto L{\frac {4\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ . Zmniejsza się wraz ze wzrostem rozmiaru systemu $,$ do zera w granicy termodynamicznej ${\ Displaystyle L \ do \ infty}$ N $N \ do \ infty }$ , ${\ Displaystyle L / N = stała.$ } Dla dowolnych dużych systemów wynika, że ​​najniższe tryby nie kosztują żadnej energii i będą wzbudzane termicznie. Jednocześnie w łańcuchu niszczony jest rozkaz dalekiego zasięgu. W dwóch wymiarach (lub w płaszczyźnie) liczba momentów magnetycznych jest proporcjonalna do pola powierzchni płaszczyzny. ${\ Displaystyle N \ propto L ^ {2}}$ . Energia dla najniższego stanu wzbudzonego wynosi zatem ${\ Displaystyle E_ {ges} \ propto N ^ {2} \ cdot \ gamma _ {i} ^ {2} = \ propto L ^ {2} {\ frac { 4\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ , które dąży do stałej granicy termodynamicznej. W ten sposób mody będą wzbudzane w wystarczająco dużych temperaturach. $to$ trzech wymiarach liczba momentów magnetycznych jest proporcjonalna do objętości, modu ${\ Displaystyle E_ {ges} \ propto N ^ {3} \ cdot \ gamma _ {i} ^ {2} = \ propto L ^ {3} {\ frac {4\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ . Różni się w zależności od rozmiaru systemu i dlatego nie będzie podekscytowany w przypadku wystarczająco dużych systemów. Ten tryb nie wpływa na porządek dalekiego zasięgu i dozwolone jest globalne łamanie symetrii.

Argument entropiczny

Istnieje tylko jedna droga między sąsiednimi cząstkami w jednym wymiarze, dwie drogi w dwóch wymiarach i sześć różnych dróg w trzech wymiarach.

Entropiczny argument przeciwko doskonałemu uporządkowaniu dalekiego zasięgu w kryształach z $rysunek )$ rozważmy łańcuch atomów / cząstek o średniej odległości między cząsteczkami $\ displaystyle \ langle a\rangle }$ . Wahania termiczne między cząsteczką $a$ cząstką doprowadzą do wahań średniej $\ xi _ {0,1}}$ cząstek rzędu $Displaystyle$ , więc odległość jest dana przez ${\ Displaystyle a = \ langle a \ rangle \ pm \ xi _ {0,1}}$ . Wahania między cząstkami $będą$ cząsteczkami ten sam rozmiar $:$${\ Displaystyle |\ xi _ {-1,0}|=|\ xi _ {0,1}|}$ . Zakładamy, że fluktuacje termiczne są statystycznie niezależne (co jest oczywiste $-1}$ uwagę tylko interakcję najbliższego sąsiada), a fluktuacje między cząstką a ( ${\ displaystyle$ podwójnej odległości) mają - być zsumowane statystycznie niezależne (lub niespójne): ${\ Displaystyle \ xi _ {-1,1} = {\ sqrt {2}} \ cdot \ xi _ {0,1 }}$ . $cząstek$ średniej odległości fluktuacje będą rosły , jeśli sąsiednie fluktuacje są sumowane niezależnie. Chociaż średnia odległość ${\ Displaystyle \ langle a \ rangle}$ jest dobrze zdefiniowany, odchylenia od idealnego łańcucha okresowego rosną wraz z pierwiastkiem kwadratowym rozmiaru systemu. W trzech wymiarach trzeba iść w trzech liniowo niezależnych kierunkach, aby objąć całą przestrzeń; $to$ efektywnie wzdłuż przekątnej przestrzeni, aby przejść od cząstki do cząstki ${\ displaystyle 3}$ . Jak można łatwo zobaczyć na rysunku, istnieje sześć różnych możliwości, aby to zrobić. Oznacza to, że fluktuacje na sześciu różnych ścieżkach nie mogą być statystycznie niezależne, ponieważ przechodzą przez te same cząstki w pozycji ${\ displaystyle 0}$ i ${\ Displaystyle 3}$ . Teraz fluktuacje sześciu $sposobów$ należy zsumować w spójny sposób i będą one rzędu - niezależnie od rozmiaru sześcianu. Fluktuacje pozostają skończone, a miejsca sieciowe są dobrze zdefiniowane. W przypadku dwóch wymiarów Herbert Wagner i David Mermin rygorystycznie udowodnili, że odległości fluktuacji rosną logarytmicznie wraz z rozmiarem systemu. ${\ Displaystyle \ xi \ propto ln (L)}$ . Nazywa się to często logarytmiczną rozbieżnością przemieszczeń.

Kryształy w 2D

2D x-tal z fluktuacjami termicznymi pozycji cząstek. Czerwone linie symbolizują osie sieci, a zielone strzałki symbolizują odchylenia pozycji równowagi.

Obraz przedstawia (quasi-) dwuwymiarowy kryształ cząstek koloidalnych. Są to cząsteczki wielkości mikrometrów rozproszone w wodzie i osadzone na płaskiej powierzchni międzyfazowej, dzięki czemu mogą wykonywać ruchy Browna tylko w płaszczyźnie. Sześciokrotny porządek krystaliczny jest łatwy do wykrycia w skali lokalnej, ponieważ logarytmiczny wzrost przemieszczeń jest raczej powolny. Odchylenia od (czerwonej) osi sieci są również łatwe do wykrycia, tutaj pokazane jako zielone strzałki. Odchylenia są zasadniczo określone przez drgania sieci sprężystej (fonony akustyczne). Bezpośrednim eksperymentalnym dowodem fluktuacji Mermina – Wagnera – Hohenberga byłoby, gdyby przemieszczenia wzrastały logarytmicznie wraz z odległością lokalnie dopasowanego układu współrzędnych (niebieski). Ta logarytmiczna rozbieżność idzie w parze z algebraicznym (powolnym) rozpadem korelacji pozycyjnych. Porządek przestrzenny kryształu 2D nazywany jest quasi-dalekiego zasięgu (zob faza heksatyczna dla zachowania fazowego zespołów 2D). Co ciekawe, znaczących sygnatur fluktuacji Mermina-Wagnera-Hohenberga nie znaleziono w kryształach, ale w nieuporządkowanych układach amorficznych.

Ta praca nie badała logarytmicznych przemieszczeń miejsc sieciowych (które są trudne do oszacowania dla skończonego rozmiaru systemu), ale wielkość średniokwadratowego przemieszczenia cząstek w funkcji czasu. W ten sposób przemieszczenia nie są analizowane w przestrzeni, ale w dziedzinie czasu. Podstawę teoretyczną dają D. Cassi, a także F. Merkl i H. Wagner. Niniejsza praca analizuje prawdopodobieństwo powtórzenia się błądzenia losowego i spontanicznego łamania symetrii w różnych wymiarach. Skończone prawdopodobieństwo rekurencji błądzenia losowego w jednym i dwóch wymiarach pokazuje dualizm braku doskonałego porządku dalekiego zasięgu w jednym i dwóch wymiarach, podczas gdy zanikające prawdopodobieństwo powtórzenia błądzenia losowego w 3D jest dualistyczne względem istnienia doskonałego uporządkowania długo- uporządkowanie zakresów i możliwość złamania symetrii.

Granice

Prawdziwe magnesy zwykle nie mają ciągłej symetrii, ponieważ sprzężenie spin-orbita elektronów narzuca anizotropię. W przypadku układów atomowych, takich jak grafen, można wykazać, że monowarstwy o rozmiarach kosmologicznych (lub przynajmniej kontynentalnych) są niezbędne do pomiaru znacznej wielkości amplitud fluktuacji. Niedawną dyskusję na temat twierdzeń Mermina-Wagnera-Hohenberga i jego ograniczeń przedstawił Bertrand Halperin. Najpoważniejszym ograniczeniem fizycznym są efekty o skończonych rozmiarach w 2D, ponieważ tłumienie spowodowane fluktuacjami w podczerwieni ma rozmiar tylko logarytmiczny. Próbka musiałaby być większa niż obserwowalny wszechświat, aby dwuwymiarowe przejście nadprzewodzące zostało stłumione poniżej ~ 100 K. W przypadku magnetyzmu istnieje tłumienie T z grubsza rzędu wielkości _c , co nadal pozwala na porządek magnetyczny w próbkach 2D przy ~ 10 K. Ponieważ jednak nieład i sprzężenie międzywarstwowe konkurują z efektami o skończonej wielkości przy przywracaniu porządku, nie można a priori powiedzieć, który z nich jest odpowiedzialny za obserwację uporządkowania magnetycznego w daną próbkę 2D.

Uwagi

Rozbieżność między twierdzeniem Mermina – Wagnera – Hohenberga (wykluczającym porządek dalekiego zasięgu w 2D) a pierwszymi symulacjami komputerowymi (Alder & Wainwright), które wskazywały na krystalizację w 2D, kiedyś zmotywowała Michaela Kosterlitza i Davida Thoulessa do pracy nad topologicznymi przejściami fazowymi w 2D . Praca ta jest nagrodzona Nagrodą Nobla w dziedzinie fizyki 2016 (wraz z Duncanem Haldane).

Notatki

• Hohenberg, PC (1967), „Istnienie porządku dalekiego zasięgu w jednym i dwóch wymiarach”, Phys. Rev. , 158 (2): 383, Bibcode : 1967PhRv..158..383H , doi : 10.1103/PhysRev.158.383
• Mermin, Dakota Północna; Wagner, H. (1966), „Brak ferromagnetyzmu lub antyferromagnetyzmu w jedno- lub dwuwymiarowych izotropowych modelach Heisenberga”, Phys. Wielebny Lett. , 17 (22): 1133–1136, Bibcode : 1966PhRvL..17.1133M , doi : 10.1103/PhysRevLett.17.1133
•   Coleman, Sidney (1973), „Nie ma bozonów Goldstone'a w dwóch wymiarach” , Commun. Matematyka fizyka , 31 (4): 259–264, Bibcode : 1973CMaPh..31..259C , doi : 10.1007/BF01646487 , S2CID 120770166
•   Gelfert, Axel; Nolting, Wolfgang (2001), „Brak przejść fazowych o skończonej temperaturze w niskowymiarowych modelach wielu ciał: ankieta i nowe wyniki”, J. Phys .: Condens. Matter , 13 (27): R505–R524, arXiv : cond-mat/0106090 , Bibcode : 2001JPCM...13R.505G , doi : 10.1088/0953-8984/13/27/201 , S2CID 119150988
•   Dobruszyn, RL; Shlosman, SB (1975), „Brak rozkładu ciągłej symetrii w dwuwymiarowych modelach fizyki statystycznej” , Comm. Matematyka fizyka , 42 (1): 31, Bibcode : 1975CMaPh..42...31D , doi : 10.1007/bf01609432 , S2CID 120426435
•   Pfister, C.-E. (1981), „O symetrii stanów Gibbsa w dwuwymiarowych systemach kratowych” , Comm. Matematyka fizyka , 79 (2): 181, Bibcode : 1981CMaPh..79..181P , doi : 10.1007/bf01942060 , S2CID 119794070
•   Fröhlich, J.; Pfister, CE (1981), „O braku spontanicznego łamania symetrii i porządku krystalicznego w układach dwuwymiarowych” , Comm. Matematyka fizyka , 81 (2): 277, Bibcode : 1981CMaPh..81..277F , doi : 10.1007/bf01208901 , S2CID 119956468
•   Klein, A.; Landau, LJ; Shucker, DS (1981), „O braku spontanicznego rozpadu ciągłej symetrii dla stanów równowagi w dwóch wymiarach”, J. Statist. fizyka , 26 (3): 505, Bibcode : 1981JSP....26..505K , doi : 10.1007/bf01011431 , S2CID 122941200
•   Bonato, Kalifornia; Perez, JF; Klein, A. (1982), „Zjawisko Mermina-Wagnera i właściwości klastra systemów jedno- i dwuwymiarowych”, J. Statist. fizyka , 29 (2): 159, Bibcode : 1982JSP....29..159B , doi : 10.1007/bf01020779 , S2CID 121753398
•   Ioffe, D.; Shlosman, SB; Velenik, Y. (2002), „2D modele fizyki statystycznej z ciągłą symetrią: przypadek interakcji osobliwych”, Comm. Matematyka fizyka , 226 (2): 433, arXiv : math/0110127 , Bibcode : 2002CMaPh.226..433I , doi : 10.1007/s002200200627 , S2CID 53514841
•   Cardy, John (2002), Skalowanie i renormalizacja w fizyce statystycznej (przedruk (z poprawioną) red.), [Cambridge]: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49959-0
•   Richthammer, T. (2007), „Niezmienność translacji dwuwymiarowych procesów punktowych Gibbsa”, Commun. Matematyka fizyka , 274 (1): 81, arXiv : 0706.3637 , Bibcode : 2007CMaPh.274...81R , doi : 10.1007/s00220-007-0274-7 , S2CID 14362162
• Herberta Wagnera (red.). „Twierdzenie Mermina-Wagnera” . Scholarpedia .
•   Friedli S.; Velenik, Y. (2017). Mechanika statystyczna systemów kratowych: konkretne wprowadzenie matematyczne . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824 .