Ekspansja klastra

W mechanice statystycznej ekspansja klastrów ( zwana także ekspansją wysokotemperaturową lub ekspansją przeskokową ) jest rozwinięciem szeregów potęgowych funkcji podziału statystycznej teorii pola wokół modelu, który jest połączeniem nieoddziałujących 0-wymiarowych teorii pola. Ekspansja klastrów wywodzi się z prac Mayera i Montrolla (1941) . W przeciwieństwie do zwykłej ekspansji perturbacji , która zwykle prowadzi do rozbieżnych szeregów asymptotycznych , ekspansja klastra może zbiegać się w nietrywialnym regionie, w szczególności, gdy interakcja jest mała i ma krótki zasięg.

Klasyczny przypadek

Teoria ogólna

W mechanice statystycznej właściwości układu nieoddziałujących cząstek opisuje się za pomocą funkcji podziału. Dla N nieoddziałujących cząstek system jest opisany hamiltonianem

${\ Displaystyle {\ duży.} H_ {0} = \ suma _ {i} ^ {N} {\ Frac {p_ {i} ^ {2}} {2m}} }$ ,

a funkcję podziału można obliczyć (dla klasycznego przypadku) jako

${\ Displaystyle {\ duży.} Z_ {0} = {\ Frac {1} {N! H ^ {3N}}} \ int \ prod _ {i} d {\ vec {p}} _ {i} \ ;d{\vec {r}}_{i}\exp \left\{-\beta H_{0}(\{r_{i},p_{i}\})\right\}={\frac { V^{N}}{N!h^{3N}}}\left({\frac {2\pi m}{\beta}}\right)^{\frac {3N}{2}}.}$

$_$ można energię _ że wszystkie właściwości termodynamiczne układu, takie jak entropia , energia wewnętrzna, potencjał chemiczny itp.

Kiedy cząstki układu oddziałują, dokładne obliczenie funkcji podziału zwykle nie jest możliwe. Dla małej gęstości interakcje można przybliżyć sumą potencjałów dwóch cząstek:

${\ Displaystyle {\ duży.} U \ lewo (\ {r_ {i} \} \ prawo) = \ suma _ {i = 1, i <j} ^ {N} u_ {2} (| {\ vec { r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|)=\suma _{i=1,i<j}^{N}u_{2}(r_{ij}).}$

Dla tego potencjału interakcji funkcję podziału można zapisać jako

${\ Displaystyle {\ duży.} Z = Z_ {0} \ Q}$ ,

a energia swobodna jest

${\ Displaystyle F = F_ {0} -k_ {B} T \! \ ln \ lewo (Q \ prawo)}$ ,

gdzie Q jest całką konfiguracyjną :

${\ Displaystyle Q = {\ Frac {1} {V ^ {N}}} \ int \ prod _ {i} d {\ vec {r}} _ {i} \ exp \ lewo \ {- \ beta \ suma _{i=1,i<j}^{N}u_{2}(r_{ij})\prawo\}.}$

Obliczanie całki konfiguracyjnej

${$ konfiguracyjnej nie można obliczyć analitycznie dla ogólnego potencjału pary $\ displaystyle u_ {2} (r)}$ . Jednym ze sposobów przybliżonego obliczenia potencjału jest użycie rozszerzenia klastra Mayera. To rozwinięcie opiera się na obserwacji, że wykładniczy w równaniu na można zapisać jako iloczyn postaci ${\ displaystyle Q}$

${\ Displaystyle \ exp \ lewo \{-\beta \sum _{1\równoważnik i<j\równoważnik N}u_{2}(r_{ij})\right\}=\prod _{1\równoważnik i<j\równoważnik N}\exp \left\{-\beta u_{2}(r_{ij})\right\}}$ .

Następnie zdefiniuj funkcję Mayera przez $\ beta u_ {2}(r_{ij})\right\}=1+f_{ij}}$${$ . Po podstawieniu równanie całki konfiguracyjnej przyjmuje postać:

$\ Displaystyle {\ duży.} Q = {\ Frac {1} {V ^ {N}} }\int \prod _{i}d{\vec {r}}_{i}\prod _{1\leq i<j\leq N}\left(1+f_{ij}\right)}$

Obliczenie iloczynu w powyższym równaniu prowadzi do szeregu wyrazów; pierwszy jest równy jeden, drugi $wyraz jest równy sumie$ wyrazów , a proces trwa do momentu obliczenia wszystkich wyrazów wyższego rzędu.

$\ Displaystyle \ prod _ {1 \ równoważnik i <j \ równoważnik N} \ lewo (1 + f_ {ij} \ prawo$

Każdy termin musi wystąpić tylko raz. Dzięki temu rozszerzeniu możliwe jest znalezienie terminów o różnym porządku pod względem liczby zaangażowanych cząstek. Pierwszy człon to brak interakcji (odpowiadający brakowi interakcji między cząstkami), drugi człon odpowiada interakcjom między dwiema cząstkami, trzeci człon to interakcje dwóch cząstek między 4 (niekoniecznie odrębnymi) cząstkami i tak dalej. Ta fizyczna interpretacja jest powodem, dla którego ta ekspansja nazywana jest ekspansją klastrów: sumę można zmienić tak, aby każdy termin reprezentował interakcje w klastrach określonej liczby cząstek.

Zastąpienie rozwinięcia iloczynu z powrotem w wyrażeniu dla całki konfiguracyjnej skutkuje rozwinięciem szeregu dla ${\ displaystyle Q}: Q {\ displaystyle Q$ }

${\ Displaystyle {\ duży.} Q = 1 + {\ Frac {N} {V}} \ alfa _ {1} + {\ Frac {N \; (N-1)}} {2 \; V ^ {2 }}}\alpha _{2}+\cdots .}$

Podstawiając w równaniu energię swobodną, ​​można wyprowadzić równanie stanu dla układu oddziałujących cząstek. Równanie będzie miało postać

${\ Displaystyle PV = Nk_ {B} T \left(1+{\frac {N}{V}}B_{2}(T)+{\frac {N^{2}}{V^{2}}}B_{3}(T)+{ \frac {N^{3}}{V^{3}}}B_{4}(T)+\cdots \right)}$ ,

$jest$ jako równanie wirialne , a składniki są $B_ {3} (T)}$ jednemu członowi z rozwinięcia klastra ( dwucząstkowej, $Displaystyle$ jest terminem interakcji trzech cząstek i tak dalej). Zachowując tylko termin interakcji dwóch cząstek, można wykazać, że ekspansja klastra, z pewnymi przybliżeniami, daje równanie Van der Waalsa .

Można to dalej zastosować do mieszanin gazów i roztworów ciekłych.

•    Glim, James ; Jaffe, Arthur (1987), Fizyka kwantowa (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96476-8 , MR 0887102
•    Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), Statystyczna teoria pola. Tom. 1 , Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-34058-8 , MR 1175176
•    Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), Statystyczna teoria pola. Tom. 2 , Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-37012-7 , MR 1175177
• Mayer, Joseph E .; Montroll, Elliott (1941), „Rozkłady molekularne”, J. Chem. fizyka , 9 (1): 2–16, Bibcode : 1941JChPh...9....2M , doi : 10.1063/1.1750822
•   Pathria, RK (1996), Statistical Mechanics (wyd. Drugie), Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-7506-2469-5 , rozdział 9.
•   Landau, Lev Davidovich (1984), Mechanika statystyczna , Kurs fizyki teoretycznej , tom. 5 (wyd. Trzecie), Butterworth-Heinemann , ISBN 978-0-7506-3372-7
•   Hansen, J.-P.; McDonald, IR (2005), Theory of Simple Liquids (wyd. 3), Elsevier , ISBN 978-0-12-370535-8
•   Friedli S.; Velenik, Y. (2017). Mechanika statystyczna systemów kratowych: konkretne wprowadzenie matematyczne . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 9781107184824 .