Nierówność Griffitha

W mechanice statystycznej nierówność Griffithsa , czasami nazywana również nierównością Griffithsa-Kelly'ego-Shermana lub nierównością GKS , nazwana na cześć Roberta B. Griffithsa , jest nierównością korelacji dla ferromagnetycznych układów spinowych. Nieformalnie mówi się, że w ferromagnetycznych systemach spinowych, jeśli „rozkład a priori” spinu jest niezmienny przy odwracaniu spinu, korelacja dowolnego jednomianu spinów jest nieujemna; a dwupunktowa korelacja dwóch jednomianów spinów jest nieujemna.

Nierówność została udowodniona przez Griffithsa dla ferromagnesów Isinga z interakcjami dwóch ciał, następnie uogólniona przez Kelly'ego i Shermana na interakcje obejmujące dowolną liczbę spinów, a następnie przez Griffithsa na układy z dowolnymi spinami. Bardziej ogólne sformułowanie zostało podane przez Ginibre'a i nosi obecnie nazwę nierówności Ginibre'a .

Definicje

Niech ${\ Displaystyle \ textstyle \ sigma = \ {\ sigma _ {j} \} _ {j \ in \ Lambda}} będzie$ konfiguracją (ciągłą lub dyskretną) spinów na siatce Λ . Jeśli A ⊂ Λ $jot {\ Displaystyle \ textstyle \ sigma _ {A} = \ prod _ {j \ w A} \ sigma _ { j}}$ listą miejsc sieciowych, prawdopodobnie z duplikatami, niech będzie iloczynem spinów w A .

Przypisz spinom miarę a priori dμ(σ) ; niech H będzie funkcjonałem energetycznym formy

${\ Displaystyle H (\ sigma) = - \ suma _ {A} J_ {A} \ sigma _ {A} ~,}$

gdzie suma jest nad listami witryn A i niech

${\ Displaystyle Z = \ int d \ mu (\ sigma) e ^ {- H (\ sigma)}}$

być funkcją podziału . Jak zwykle,

${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ rangle = {\ Frac {1} {Z}} \ suma _ {\ sigma} \ cdot (\ sigma )e^{-H(\sigma )}}$

oznacza średnią zespołową .

Układ nazywamy ferromagnetycznym , jeśli dla dowolnej listy miejsc A , J _A ≥ 0 . System nazywamy niezmiennym przy odwróceniu spinu , jeśli dla dowolnego j w Λ miara μ jest zachowana pod mapą odwracania znaku σ → τ , gdzie

${\ Displaystyle \ tau _ {k} = {\ rozpocząć {przypadki} \ sigma _ {k}, & k \ neq j, \\ - \ sigma _ {k}, & k = j. \ koniec {przypadków}}}$

Stwierdzenie nierówności

Pierwsza nierówność Griffitha

W ferromagnetycznym systemie spinowym, który jest niezmienny przy odwracaniu spinu,

${\ Displaystyle \ langle \ sigma _ {A} \ rangle \ geq 0}$

dla dowolnej listy spinów A .

Druga nierówność Griffitha

W ferromagnetycznym systemie spinowym, który jest niezmienny przy odwracaniu spinu,

${\ Displaystyle \ langle \ sigma _ {A} \ sigma _ {B} \ rangle \ geq \ langle \ sigma _ {A} \ rangle \ langle \ sigma _{B}\szereg }$

dla dowolnych list spinów A i B .

Pierwsza nierówność jest przypadkiem szczególnym drugiej, odpowiadającej B = ∅.

Dowód

Zauważ, że funkcja podziału jest z definicji nieujemna.

Dowód pierwszej nierówności : Rozwiń

${\ Displaystyle e ^ {- H (\ sigma)} = \ prod _ {B} \ suma _ {k \ geq 0} {\ Frac {J_ {B} ^ {k} \ sigma _ {B} ^ {k }}{k!}}=\suma _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}\sigma _{ B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}~,}$

Następnie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Z \ langle \ sigma _ {A} \ rangle & = \ int d \ mu (\ sigma) \ sigma _ {A} e ^ {-H (\ sigma)} = \ suma _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}\sigma _{B}^{k_{B}}\\&=\suma _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B} {\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma)\prod _{j\in \Lambda}\sigma _{j}^ {n_{A}(j)+k_{B}n_{B}(j)}~,\end{wyrównane}}}$

gdzie n _A (j) oznacza, ile razy j pojawia się w A . Teraz, przez niezmienniczość przy odwróceniu spinu,

${\ Displaystyle \ int d \ mu (\ sigma) \ prod _ {j} \ sigma _ {j} ^ {n (j)} = 0}$

jeśli co najmniej jeden n(j) jest nieparzysty, a to samo wyrażenie jest oczywiście nieujemne dla parzystych wartości n . Zatem Z < σ _A >≥0, stąd też < σ _A >≥0.

Dowód drugiej nierówności . W przypadku $}$$sigma$ \ displaystyle . Następnie

${\ Displaystyle \ langle \ sigma _ {A} \ sigma _ {B} \ rangle - \ langle \ sigma _ {A} \ rangle \ langle \ sigma _ {B} \ rangle = \ langle \ langle \ sigma _ {A }(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle ~.}$

Wprowadź nowe zmienne

${\ Displaystyle \ sigma _ {j} = \ tau _ {j} + \ tau _ {j} '~, \ qquad \ sigma '_ {j} = \ tau _ {j} - \ tau _ {j}' ~.}$

Podwojony system jest ferromagnetyczny w ${\ Displaystyle \ langle \ langle \; \ cdot \; \ rangle \ rangle}$ jest ferromagnetyczny w ${\ Displaystyle \ tau, \ tau '},$ ponieważ ${\ Displaystyle -H (\ sigma) -H (\ sigma ')}$ jest wielomianem o dodatnich współczynnikach ${\ Displaystyle \ tau, \ tau '}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma _ {A} J_ {A} (\ sigma _ {A} + \ sigma '_ {A}) & = \ suma _ {A} J_ {A} \ suma _ {X\podzbiór A}\left[1+(-1)^{|X|}\right]\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}\end{wyrównane}}}$

$,$ miara na jest niezmienna $\ mu (\ sigma')}$ ponieważ jest. Wreszcie jednomiany są wielomianami w ${\ Displaystyle \ sigma _ {A}}$ σ $\ Displaystyle \ sigma _ {B} - \ sigma '_ {B}}$${\ Displaystyle \ tau \ tau '}$ z dodatnimi współczynnikami

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sigma _ {A} & = \ suma _ {X \ podzbiór A} \ tau _ {A \ setminus X} \ tau '_ {X} ~, \\\ sigma _ { B}-\sigma '_{B}&=\suma _{X\podzbiór B}\left[1-(-1)^{|X|}\right]\tau _{B\setminus X}\tau '_{X}~.\end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle \ langle \ langle \ sigma _ {A} (\ sigma _ {B} - \ sigma '_ {B})$ ZA daje wynik.

Więcej szczegółów znajduje się w i.

Rozszerzenie: nierówność Ginibre'a

Nierówność Ginibre'a jest rozszerzeniem, znalezionym przez Jeana Ginibre'a, nierówności Griffithsa.

Sformułowanie

Niech (Γ, μ ) będzie przestrzenią prawdopodobieństwa . Dla funkcji f , h na Γ oznaczmy

${\ Displaystyle \ langle f \ rangle _ {h} = \ int f (x) e ^ {-h (x)} \ d \ mu (x) {\ duży /} \ int e ^ {-h (x) )}\,d\mu (x).}$

Niech A będzie zbiorem funkcji rzeczywistych na Γ takim, że. dla każdego f ₁ , f ₂ ,..., f _n w A i dla dowolnego wyboru znaków ±,

${\ Displaystyle \ iint d \ mu (x) \ d \ mu (y )\prod _{j=1}^{n}(f_{j}(x)\pm f_{j}(y))\geq 0.}$

Wtedy dla dowolnego f , g ,− h w stożku wypukłym generowanym przez A ,

${\ Displaystyle \ langle fg \ rangle _ {h} - \ langle f \ rangle _ {h} \ langle g \ rangle _ {h} \ geq 0.}$

Dowód

Pozwalać

${\ Displaystyle Z_ {h} = \ int e ^ {-h (x)} \ d \ mu (x).}$

Następnie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i Z_ {h} ^ {2} \ lewo (\ langle fg \ rangle _ {h} - \ langle f \ rangle _ {h} \ langle g \ rangle _ {h} \ prawo )\\&\qquad =\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y))e^{-h(x)-h(y )}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y )){\frac {(-h(x)-h(y))^{k}}{k!}}.\end{wyrównane}}}$

Teraz nierówność wynika z założenia i tożsamości

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1} {2}} (f (x) + f (y)) + {\ Frac {1} {2}} (f (x) -f (y) ).}$

Przykłady

• Aby odzyskać (drugą) nierówność Griffitha, weźmy Γ = {−1, +1} ^Λ , gdzie Λ jest kratą i niech μ będzie miarą na Γ, która jest niezmienna przy odwracaniu znaku. Stożek A wielomianów o dodatnich współczynnikach spełnia założenia nierówności Ginibre'a.
• (Γ, μ ) jest przemienną grupą zwartą z miarą Haara , A jest stożkiem rzeczywistych dodatnio określonych funkcji na Γ.
• Γ jest zbiorem całkowicie uporządkowanym , A jest stożkiem rzeczywistych dodatnich funkcji niemalejących na Γ. Daje to nierówność sumy Czebyszewa . Aby zapoznać się z rozszerzeniem na zbiory częściowo uporządkowane, zobacz nierówność FKG .

Aplikacje

• granica termodynamiczna korelacji ferromagnetycznego modelu Isinga (z nieujemnym polem zewnętrznym h i swobodnymi warunkami brzegowymi).

Dzieje się tak, ponieważ zwiększenie głośności jest równoznaczne z włączeniem nowych sprzężeń J _B dla pewnego podzbioru B . Przez drugą nierówność Griffitha

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy J_ {B}}} \ langle \ sigma _ {A} \ rangle = \ langle \ sigma _ {A} \ sigma _ {B} \ rangle -\ langle \ sigma _ {A} \ rangle \ langle \ sigma _ {B} \ rangle \ geq 0}$

Stąd monotonicznie rośnie wraz z głośnością ${\ Displaystyle \ langle \ sigma _ {A} \ rangle}$ ; wtedy jest zbieżny, ponieważ jest ograniczony przez 1.

• Jednowymiarowy, ferromagnetyczny model Isinga z oddziaływaniami ${\ Displaystyle J_ {x, y} \ sim | xy | ^ {- \ alfa}}$ wyświetla przejście fazowe, jeśli ${\ Displaystyle 1 <\ alpha <2}$ .

Tę właściwość można przedstawić w przybliżeniu hierarchicznym, które różni się od pełnego modelu brakiem niektórych interakcji: argumentując jak wyżej z drugą nierównością Griffithsa, wyniki przenoszą pełny model.

• Nierówność Ginibre'a zapewnia istnienie granicy termodynamicznej dla korelacji energii swobodnej i spinu dla dwuwymiarowego klasycznego modelu XY . Poza tym, poprzez nierówność Ginibre'a, Kunz i Pfister udowodnili obecność przejścia fazowego dla ferromagnetycznego modelu XY z oddziaływaniem ${\ Displaystyle J_ {x, y} \ sim | xy | ^ {- \ alfa}}$ jeśli ${\ Displaystyle 2 <\ alfa <4}$ .
• Aizenman i Simon wykorzystali nierówność Ginibre'a, aby udowodnić, że dwupunktowa korelacja wirowania ferromagnetycznego klasycznego modelu XY w wymiarze $i$ sprzężenie ${\ Displaystyle J> 0}$ odwrotna temperatura ${\ displaystyle \ beta}$ jest zdominowany przez (tj. ma górną granicę przez) dwupunktową korelację ferromagnetycznego modelu Isinga w wymiarze $J$ sprzężenie ${\ Displaystyle J> 0}$ i odwrotna temperatura ${\ Displaystyle \ beta / 2}$

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ mathbf {s} _ {j} \ rangle _ { J, 2 \ beta } \ równoważnik \ langle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rangle _ {J, \ beta}} Stąd$

krytyczny model XY nie może być mniejszy niż ${\ displaystyle \ beta}$ dwukrotność temperatury krytycznej modelu Isinga

${\ Displaystyle \ beta _ {c} ^ {XY} \ geq 2 \ beta _ {c} ^ {\ rm {Is}} ~;}$

w wymiarze D = 2 i sprzężeniu J = 1, daje to

${\ Displaystyle \ beta _ {c} ^ {XY} \ geq \ ln (1 + {\ sqrt {2}}) \ około 0,88 ~.}$

• Istnieje wersja nierówności Ginibre'a dla gazu Coulomba, która implikuje istnienie termodynamicznej granicy korelacji.
• Inne zastosowania (przemiany fazowe w układach spinowych, model XY, łańcuch kwantowy XYZ) są omówione w.