Nierówność sumy Czebyszewa

W matematyce nierówność sumy Czebyszewa , nazwana na cześć Pafnutija Czebyszewa , stwierdza, że jeśli

{\ Displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {n} \ quad}

i

{\ styl wyświetlania \quad b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}

Następnie

{\ Displaystyle {1 \ ponad n} \ suma _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} \ geq \ lewo ({1 \ ponad n} \ suma _ {k = 1} ^ { n}a_{k}\right)\!\!\left({1 \ponad n}\suma _{k=1}^{n}b_{k}\right)\!.}

Podobnie, jeśli

{\ Displaystyle a_ {1} \ równoważnik a_ {2} \ równoważnik \ cdots \ równoważnik a_ {n} \ quad}

i

{\ styl wyświetlania \quad b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}

Następnie

{\ Displaystyle {1 \ nad n} \ suma _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} \ równoważnik \ lewo ({1 \ nad n} \ suma _ {k = 1} ^ { n}a_{k}\right)\!\!\left({1 \ponad n}\suma _{k=1}^{n}b_{k}\right)\!.}

Dowód

Rozważ sumę

{\ Displaystyle S = \ suma _ {j = 1} ^ {n} \ suma _ {k = 1} ^ {n} (a_ {j} -a_ {k}) (b_ {j} -b_ {k} ).}

Te dwa ciągi są nierosnące , zatem $a j - a k$ i $b j - b k$ mają ten sam znak dla dowolnego $j, k$ . Stąd $S \geq 0$ .

Otwierając nawiasy wnioskujemy:

0 \ równoważnik 2n \ suma _ {j = 1} ^ {n} a_

stąd

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} b_ {j} \ geq \ lewo ({\ Frac {1} {n}} \ suma _{j=1}^{n}a_{j}\right)\!\!\left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}b_{j} \Prawidłowy)\!.}

Alternatywny dowód uzyskuje się po prostu za pomocą nierówności przegrupowania , pisząc to

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} \ suma _ {j = 0} ^ {n-1} b_ {j} = \ suma _ {i = 0} ^ { n-1}\suma _{j=0}^{n-1}a_{i}b_{j}=\suma _{i=0}^{n-1}\suma _{k=0}^ {n-1}a_{i}b_{i+k~{\text{mod}}~n}=\suma _{k=0}^{n-1}\suma _{i=0}^{ n-1}a_{i}b_{i+k~{\text{mod}}~n}\równoważnik \sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{ n-1}a_{i}b_{i}=n\suma _{i}a_{i}b_{i}.}

Istnieje również ciągła wersja nierówności sumy Czebyszewa:

Jeśli f i g są funkcjami całkowalnymi o wartościach rzeczywistych po [ a , b ], obie nierosnące lub obie niemalejące, to

\ displaystyle {\frac {1}{ba}}\int _ {a}^{b}f(x)g(x)\,dx\geq \!\left({\frac {1}{ba}}\ int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\!\!\left({\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}g(x) \,dx\prawo)}

z odwróconą nierównością , jeśli jedna nie rośnie, a druga nie maleje.