nierówność FKG

W matematyce nierówność Fortuina-Kasteleyna-Ginibre'a (FKG) jest nierównością korelacji , podstawowym narzędziem mechaniki statystycznej i kombinatoryki probabilistycznej (zwłaszcza grafów losowych i metody probabilistycznej ), dzięki Ceesowi M. Fortuinowi, Pieterowi W. Kasteleynowi i Jean Ginibre ( 1971 ). Nieoficjalnie mówi się, że w wielu systemach losowych zdarzenia zwiększające się są dodatnio skorelowane, podczas gdy zdarzenia rosnące i malejące są skorelowane ujemnie. Uzyskano go badając model losowych klastrów .

Wcześniejsza wersja, dotycząca szczególnego przypadku zmiennych iid , zwana nierównością Harrisa , pochodzi od Theodore'a Edwarda Harrisa ( 1960 ), patrz poniżej . Jednym z uogólnień nierówności FKG jest nierówność Holleya (1974) poniżej, a jeszcze dalszym uogólnieniem jest twierdzenie Ahlswede-Daykina o „czterech funkcjach” (1978) . Co więcej, ma ten sam wniosek, co nierówności Griffithsa , ale hipotezy są inne.

Nierówność

Niech ${\ displaystyle X}$ będzie skończoną siatką rozdzielczą , a μ nieujemną funkcją na niej, o której zakłada się, że spełnia warunek sieci ( FKG ) (czasami funkcja spełniająca ten warunek nazywana jest logiem nadmodularnym ), tj.

{\ Displaystyle \ mu (x \ klin y) \ mu (x \ vee y) \ geq \ mu (x) \ mu ( y)}

dla wszystkich x , y w sieci ${\ displaystyle X}$ .

Nierówność FKG mówi następnie, że dla dowolnych dwóch monotonicznie rosnących funkcji ƒ i g na zachodzi następująca dodatnia nierówność korelacji: ${\ displaystyle X}$

{\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {x \ w X} f (x) g (x) \ mu (x) \ prawo) \ lewo (\ suma _ {x \ w X} \ mu (x) \ prawo )\geq \left(\sum _{x\in X}f(x)\mu (x)\right)\left(\sum _{x\in X}g(x)\mu (x)\right ).}

Ta sama nierówność (dodatnia korelacja) jest prawdziwa, gdy zarówno ƒ , jak i g maleją. Jeśli jeden rośnie, a drugi maleje, to są ujemnie skorelowane i powyższa nierówność jest odwrócona.

Podobne stwierdzenia obowiązują bardziej ogólnie, gdy $skończony$ , a nawet policzalny. W takim przypadku μ musi być miarą skończoną, a stan sieci musi być zdefiniowany za pomocą zdarzeń cylindrycznych ; patrz np. Sekcja 2.2 Grimmett (1999) .

Aby uzyskać dowody, zobacz Fortuin, Kasteleyn i Ginibre (1971) lub nierówność Ahlswede-Daykin (1978) . Poniżej podano również zgrubny szkic, dzięki Holleyowi (1974) , używając argumentu sprzężenia łańcuchowego Markowa .

Wariacje dotyczące terminologii

Warunek kratowy dla μ jest również nazywany wielowymiarową całkowitą dodatniością , a czasami silnym warunkiem FKG ; termin ( multiplikatywny ) warunek FKG jest również używany w starszej literaturze.

Właściwość μ polegająca na dodatniej korelacji funkcji rosnących jest również nazywana posiadaniem dodatnich asocjacji lub słabym warunkiem FKG .

Zatem twierdzenie FKG można przeformułować jako „silny warunek FKG implikuje słaby warunek FKG”.

Przypadek szczególny: nierówność Harrisa

Jeśli krata jest całkowicie uporządkowana $,$ to warunek kraty jest trywialnie spełniony dla dowolnej μ . W przypadku, gdy miara μ jest jednolita, nierówność FKG jest sumą nierówności Czebyszewa : jeśli dwie rosnące funkcje przyjmują wartości ${\ Displaystyle a_ {1} \ równoważnik a_ {2} \ równoważnik \ cdots \ równoważnik a_ {n}}$ i ${\ Displaystyle b_ {1} \ równoważnik b_ {2} \ równoważnik \ cdots \ równoważnik b_ {n}}$ , a następnie

{\ Displaystyle {\ Frac {a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n}} {n}} \ geq {\ Frac {a_ {1} + \ cdots + a_ {n} }{n}}\;{\frac {b_{1}+\cdots +b_{n}}{n}}.}

Bardziej ogólnie, dla dowolnej miary prawdopodobieństwa μ na i rosnących funkcji ƒ i g , ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R } }f(x)g(x)\,d\mu (x)\geq \int _{\mathbb {R} }f(x)\,d\mu (x)\,\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\mu (x),}

co bezpośrednio wynika z

{\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R } }\int _{\mathbb {R}}[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]\,d\mu (x)\,d\mu (y) \geq 0.}

$, gdy$ iloczynem całkowicie uporządkowanych krat ${\ Displaystyle \ mu = \ mu _ {1} \ otimes \ cdots \ otimes \ mu _ {n}}$ i jest miarą iloczynu. Często wszystkie czynniki (zarówno siatki, jak i miary) są identyczne, tj. μ jest rozkładem prawdopodobieństwa iid zmiennych losowych.

Nierówność FKG dla przypadku miary iloczynu znana jest również jako nierówność Harrisa od nazwiska Harrisa ( Harris 1960 ), który ją znalazł i wykorzystał w swoich badaniach perkolacji w płaszczyźnie. Dowód nierówności Harrisa, który wykorzystuje powyższą sztuczkę z podwójną całką $można$ znaleźć np. W sekcji 2.2 Grimmett (1999) .

Proste przykłady

Typowy przykład jest następujący. Pokoloruj każdy sześciokąt nieskończonej sieci o strukturze plastra miodu na czarno z prawdopodobieństwem $niezależnie$ na biało z prawdopodobieństwem ${\ displaystyle 1-p}$ od siebie. Niech a, b, c, d będą czterema sześciokątami, niekoniecznie odrębnymi. Niech $c$ $odpowiednio$ zdarzeniami, że istnieje czarna ścieżka do czarna ścieżka od do d . $_ d)\geq \Pr(a\strzałka w lewo b)\Pr(c\strzałka w prawo d)}$ nierówność . Innymi słowy, założenie obecności jednej ścieżki może tylko zwiększyć prawdopodobieństwo drugiej.

$w kształcie rombu , wówczas zdarzenia, w$ jeśli losowo pokolorujemy sześciokąty wewnątrz sześciokątnej planszy planszy na prawą, są dodatnio skorelowane z z czarnym przejściem od góry do dołu. Z drugiej strony, posiadanie czarnego skrzyżowania od lewej do prawej jest ujemnie skorelowane z posiadaniem białego skrzyżowania od góry do dołu, ponieważ pierwsze jest zdarzeniem rosnącym (w ilości czerni), podczas gdy drugie maleje. W rzeczywistości, w dowolnym kolorze heksadecymalnej planszy ma miejsce dokładnie jedno z tych dwóch wydarzeń — dlatego heks jest dobrze zdefiniowaną grą.

Na losowym wykresie Erdősa-Rényiego istnienie cyklu Hamiltona jest ujemnie skorelowane z 3-kolorowalnością wykresu , ponieważ pierwsze jest zdarzeniem rosnącym, podczas gdy drugie maleje.

Przykłady z mechaniki statystycznej

W mechanice statystycznej zwykłym źródłem miar spełniających warunek sieci (a tym samym nierówność FKG) jest:

Jeśli $jest zbiorem uporządkowanym$ ( takim jak $S$ , a $skończonym$ lub , to zbiór konfiguracji o wartościach S $^ {\ Gamma}} jest$ $displaystyle$ posetem , który jest siatką rozdzielczą.

Teraz, jeśli jest potencjałem submodularnym (tj. rodziną funkcji ${\ displaystyle \ Phi}$

{\ Displaystyle \ Phi _ {\ Lambda}: S ^ {\ Lambda} \ longrightarrow \ mathbb {R} \ puchar \ {\ infty \},}

po jednym dla każdego skończonego , tak że każdy ${\ Displaystyle \ Lambda \ podzbiór$ submodularny ) , a następnie definiuje się odpowiednie hamiltoniany jako $Gamma}$

{\ Displaystyle H _ {\ Lambda} (\ varphi): = \ suma _ {\ Delta \ cap \ Lambda \ nie = \ pusty zbiór} \ Phi _ {\ Delta} (\ varphi).}

Jeśli μ jest ekstremalną miarą Gibbsa dla tego $,$ na zbiorze konfiguracji to łatwo jest pokazać, że μ spełnia warunek sieci, patrz Sheffield (2005) .

Kluczowym przykładem jest $model$ Isinga wykresie . Niech ${\ Displaystyle S = \ {- 1, + 1 \}}$ , zwane spinami i ${\ Displaystyle \ beta \ w [0, \ infty]}$ . Weź następujący potencjał:

{\ Displaystyle \ Phi _ {\ Lambda} (\ varphi) = {\ rozpocząć {przypadki} \ beta 1 _ {\ {\ varphi (x) \ not = \ varphi (y) \}} i {\ tekst {jeśli} }\Lambda =\{x,y\}{\text{ jest parą sąsiednich wierzchołków }}\Gamma ;\\0&{\text{inaczej.}}\end{przypadki}}}

Submodularność jest łatwa do sprawdzenia; intuicyjnie biorąc minimum lub maksimum z dwóch konfiguracji, zmniejsza się liczba niezgodnych obrotów. Następnie, w zależności od wykresu $Häggström$ wartości , może istnieć jedna lub więcej ekstremalnych miar Gibbsa, patrz np. $,$ & Maes (2001) i Lyons ( 2000) .

Uogólnienie: nierówność Holleya

Nierówność Holleya , ze względu na Richarda Holleya ( 1974 ), stwierdza, że oczekiwania

{\ Displaystyle \ langle f \ rangle _ {i} = {\ Frac {\ suma _ {x \ w X}f(x)\mu _{i}(x)}{\suma _{x\in X}\mu _{i}(x)}}}

monotonicznie rosnącej funkcji ƒ na skończonej siatce rozdzielczej w odniesieniu do dwóch dodatnich funkcji μ 1 , μ 2 $\ displaystyle X}$ _siatce spełnia warunek _X {

{\ Displaystyle \ langle f \ rangle _ {1} \ geq \ langle f \ rangle _ {2},}

pod warunkiem, że funkcje spełniają warunek Holleya ( kryterium )

{\ Displaystyle \ mu _ {2} (x \ klin y) \ mu _ {1} (x \ vee y)\geq \mu _{1}(x)\mu _{2}(y)}

dla wszystkich x , y w sieci.

Aby odzyskać nierówność FKG : Jeśli μ spełnia warunek kraty, a $1$ i g rosną funkcje na , to μ ( x ) = sol ( x ) μ ( x ) i μ ₂ ( x ₎ = μ ( x ) spełni warunek kratowy nierówności Holleya. Wtedy nierówność Holleya to stwierdza

{\ Displaystyle {\ Frac {\ langle fg \ rangle _ {\ mu}} {\ langle g \ rangle _ {\mu}}}=\langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2}=\langle f\rangle _{\mu},}

czyli po prostu nierówność FKG.

Jeśli chodzi o FKG, nierówność Holleya wynika z nierówności Ahlswede-Daykin .

Osłabienie stanu sieci: monotoniczność

$iloczynem$ $.$ przypadek bycia $jakiegoś$ skończonego _ Łatwo zauważyć, że warunek sieci na μ implikuje następującą monotoniczność , co ma tę zaletę, że często łatwiej jest sprawdzić niż warunek sieci:

Ilekroć ktoś ustala wierzchołek $v$ dwie konfiguracje ^{[ wymagane wyjaśnienie ]} φ i ψ na zewnątrz tak, że $w)}$ ( $w) \ geq$ ( dla wszystkich , μ -warunkowy rozkład $φ$ ( v dany $):w \ not = v \}}$ $\ Displaystyle \ {\ varphi ($ stochastycznie dominuje w μ -warunkowym rozkładzie ψ ( v ) danym ${\ Displaystyle \ {\ psi (w): w \ nie = v \ }}$ .

Teraz, jeśli μ spełnia tę właściwość monotoniczności, to już wystarczy, aby nierówność FKG (skojarzenia dodatnie) była zachowana.

Oto zgrubny szkic dowodu, na podstawie Holleya (1974) : zaczynając od dowolnej konfiguracji początkowej $[$ ^{wymagane wyjaśnienie ]} na , można uruchomić prosty łańcuch Markowa ( algorytm Metropolisa ), który używa niezależnego Uniform 0,1] zmienne losowe, aby zaktualizować konfigurację w każdym kroku, tak aby łańcuch miał unikalną miarę stacjonarną, daną μ . Monotoniczność μ implikuje, że konfiguracja na każdym kroku jest monotoniczną funkcją zmiennych niezależnych, stąd wersja Harrisa mierząca iloczyn implikuje, że ma pozytywne skojarzenia. Dlatego graniczna miara stacjonarna μ ma również tę właściwość.

Właściwość monotoniczności ma naturalną wersję dla dwóch miar, mówiącą, że μ ₁ warunkowo punktowo dominuje μ ₂ . Ponownie łatwo zauważyć, że jeśli μ ₁ i μ ₂ spełniają warunek kratowy nierówności Holleya , to μ ₁ warunkowo punktowo dominuje μ ₂ . Z drugiej strony sprzężenia łańcuchów Markowa podobny do powyższego, ale teraz bez odwoływania się do nierówności Harrisa, pokazuje, że warunkowa dominacja punktowa w rzeczywistości implikuje dominację stochastyczną . $wszystkich$ równoznaczna stwierdzeniem, że rosnących otrzymujemy nierówności Holleya. (A więc także dowód nierówności FKG, bez użycia nierówności Harrisa.)

Patrz Holley (1974) i Georgii, Häggström & Maes (2001), aby uzyskać szczegółowe informacje.

Zobacz też

Eaton, Morris L. (1987), „Nierówność i stowarzyszenie FKG”, Wykłady na tematy nierówności prawdopodobieństwa , Amsterdam, s. 111–151, ISBN 90-6196-316-8
Fishburn, PC (2001) [1994], „nierówność FKG” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Fortuin, CM; Kasteleyn, PW; Ginibre, J. (1971), „Nierówności korelacyjne na niektórych częściowo uporządkowanych zbiorach” , Communications in Mathematical Physics , 22 (2): 89–103, Bibcode : 1971CMaPh..22...89F , doi : 10.1007/BF01651330 , MR 0309498 , S2CID 1011815
Friedli S.; Velenik, Y. (2017). Mechanika statystyczna systemów kratowych: konkretne wprowadzenie matematyczne . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824 .
Georgii, HO.; Häggström, O.; Maes, C. (2001), „Losowa geometria faz równowagi”, Przejścia fazowe i zjawiska krytyczne , tom. 18, Academic Press, San Diego, Kalifornia, s. 1–142, arXiv : math/9905031 , doi : 10.1016/S1062-7901(01)80008-2 , ISBN 9780122203183 , MR 2014387 , S2CID 119137791
Grimmett, GR (1999), Perkolacja. Wydanie drugie , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, tom. 321, Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-03981-6 , ISBN 3-540-64902-6 , MR 1707339
Harris, TE (1960), „Dolna granica prawdopodobieństwa krytycznego w pewnym procesie perkolacji”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 56 (1): 13–20, Bibcode : 1960PCPS… 56… 13H , doi : 10.1017/S0305004100034241 , MR 0115221 , S2CID 122724783
Holley, R. (1974), „Uwagi na temat nierówności FKG” , Communications in Mathematical Physics , 36 (3): 227–231, Bibcode : 1974CMaPh..36..227H , doi : 10.1007/BF01645980 , MR 0341552 , S2CID 73649690
Lyons, R. (2000), „Przejścia fazowe na grafach nienazywalnych”, J. Math. fizyka . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Sheffield, S. (2005), „Losowe powierzchnie”, Astérisque , 304 , arXiv : math/0304049 , Bibcode : 2003math......4049S , MR 2251117