Porządkowanie stochastyczne

W teorii prawdopodobieństwa i statystyce porządek stochastyczny kwantyfikuje koncepcję, że jedna zmienna losowa jest „większa” niż inna. Są to zwykle rzędy częściowe , tak że jedna zmienna losowa $nie może być ani stochastycznie większa, ani mniejsza niż$ ani równa innej $losowej$ . Istnieje wiele różnych porządków, które mają różne zastosowania.

Zwykły porządek stochastyczny

Prawdziwa zmienna losowa $mniejsza$ niż zmienna losowa $jeśli$ „zwykłym porządku stochastycznym”,

${\ Displaystyle \ Pr (A> x) \ równoważnik \ Pr (B> x) {\ tekst {dla wszystkich} }x\in (-\infty ,\infty )}$

gdzie ${\ Displaystyle \ Pr (\ cdot)}$ oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia. Jest to czasami oznaczane $ZA$ ≤ $B}$ . Jeśli dodatkowo ${\ Displaystyle \ Pr (A> x) <\ Pr (B> x)}$ dla pewnego ${\ Displaystyle x}$ , to jest stochastycznie ściśle mniejsze niż $,$${\ Displaystyle B}$ czasami oznaczane ${\ Displaystyle A \ prec B$ . W teorii decyzji w tych okolicznościach mówi się, że B jest stochastycznie dominującym pierwszego rzędu nad A .

Charakteryzacje

Poniższe reguły opisują sytuacje, w których jedna zmienna losowa jest stochastycznie mniejsza lub równa innej. Istnieje również ścisła wersja niektórych z tych zasad.

1. ${\ Displaystyle A \ preceq B}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich funkcji nie malejących ${\ Displaystyle u}$ , ${\ Displaystyle {\ rm { E}}[u(A)]\równoważnik {\rm {E}}[u(B)]}$ .
2. Jeśli $Displaystyle$ maleje i ZA $\ preceq B}$ to ${\ Displaystyle u (A) \ preceq u (B)}$
3. U ${\ Displaystyle u: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$ w każdej zmiennej i ${\ Displaystyle A_ {i}}$ i ${\ displaystyle B_ {i}}$ to niezależne zestawy zmiennych losowych z dla każdego $\ Displaystyle A_ {$ a następnie $} \ preceq B_ {i$${\ Displaystyle u (A_ {1} \ kropki A_ {n}) \ preceq u (B_ {1} \ kropki B_ {n})}$ i w szczególności $i}}$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ preceq \ suma _ {i = 1} ^ {n} B_$ Co więcej, $rzędu$ th spełniają A ${\ Displaystyle A_ {(i)} \ preceq B_ {(i)}}$ .
4. Jeśli dwie sekwencje zmiennych losowych ${\ Displaystyle B_ {i}}$ ja $,$ z ${i} \ preceq B_ {i}}$ dla wszystkich ${\ displaystyle i}$ każdy zbiega się w dystrybucji , a następnie ich granice spełniają ${\ displaystyle A \ preceq B}$ .
5. Jeśli $suma _ {c} \ Pr ($ takimi, że $∑$$=$ = $\$ \ i ${\ Displaystyle \ Pr (A> u | C = c) \ równoważnik \ Pr (B> u | C = c)}$ dla wszystkich ${\ displaystyle u}$ i ${\ displaystyle c}$ tak, że ${\ Displaystyle \ Pr (C = c)> 0}$ , a następnie ${\ Displaystyle A \ preceq B}$ .

Inne właściwości

Jeśli ${\ Displaystyle A \ preceq B}$ i ${\ Displaystyle {\ rm {E}} [A] = {\ rm {E}} [B]}$ to ${\ Displaystyle A \ mathrel {\ overset {d} {=}} B}$ (zmienne losowe mają równy rozkład).

Dominacja stochastyczna

Stochastyczne relacje dominacji to rodzina porządków stochastycznych stosowanych w teorii decyzji :

• Dominacja stochastyczna zerowego rzędu: ${\ Displaystyle A \ prec _ {(0)} B}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A \ równoważnik B}$ dla wszystkich realizacji tych zmiennych losowych i ${\ displaystyle A <B}$ dla co najmniej jednej realizacji.
• Dominacja stochastyczna pierwszego rzędu: ${\ Displaystyle A \ prec _ {(1)} B}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x) \ równoważnik \ Pr (B> x)}$${\ Displaystyle \ Pr (A$$dla$ wszystkich istnieje $takie$ , że ${\ Displaystyle \ Pr (A> x) <\ Pr (B> x)}$ .
• Dominacja stochastyczna drugiego rzędu: ${\ Displaystyle A \ prec _ {(2)} B}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {x} [\ Pr (B> t) - \ Pr (A> t)] \, dt \ geq 0} dla wszystkich x {$ \ $x$ } ze ścisłą nierównością w pewnym ${\ displaystyle x}$ .

Istnieją również pojęcia dominacji stochastycznej wyższego rzędu. Z powyższymi definicjami mamy ${\ Displaystyle A \ prec _ {(i)} B \ implikuje A \ prec _ {(i + 1)} B}$ .

Wielowymiarowy porządek stochastyczny

R ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ -wartościowa zmienna losowa ${\ Displaystyle A}$ jest mniejsza niż $\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ -wartościowa zmienna losowa ${\ displaystyle B}$ w „zwykłym porządku stochastycznym”, jeśli

${\ Displaystyle {\ rm {E}} [f (A)] \ równoważnik {\ rm {E} }}[f(B)]{\text{dla wszystkich ograniczonych, rosnących funkcji }}f\colon \mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R} }$

Istnieją inne typy wielowymiarowych porządków stochastycznych. Na przykład górny i dolny porządek orthantowy, które są podobne do zwykłego jednowymiarowego porządku stochastycznego. Mówi się, że jest mniejszy niż $w$${\ Displaystyle B}$ górnym ortograficznym porządku,

${\ Displaystyle \ Pr (A> \ mathbf {x}) \ równoważnik \ Pr (B> \ mathbf {x}) {\ tekst { dla wszystkich }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}$

i jest $ortograficznej$ niż w niższej kolejności $,$

${\ Displaystyle \ Pr (A \ równoważnik \ mathbf {x}) \ równoważnik \ Pr (B \ równoważnik \ mathbf {x}) {\ tekst{ dla wszystkich }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}$

Wszystkie trzy typy zamówień mają również integralne reprezentacje, to znaczy dla określonego rzędu jest mniejsze niż $wtedy$${\ Displaystyle B}$ i tylko wtedy, ${ \ Displaystyle {\ rm {E}} [f (A)] \ równoważnik {\ rm {E}} [f (B)]}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle f \ dwukropek \ mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R}}$ w klasie funkcji ${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$ . jest wtedy nazywany $.$ odpowiedniej kolejności

Inne rozkazy dominacji

Poniższe porządki stochastyczne są przydatne w teorii losowego wyboru społecznego . Służą do porównywania wyników losowych funkcji wyboru społecznego w celu sprawdzenia ich skuteczności lub innych pożądanych kryteriów. Poniższe rzędy dominacji są uporządkowane od najbardziej konserwatywnego do najmniej konserwatywnego. Przykładem są zmienne losowe nad skończonym wsparciem {30,20,10}.

Dominacja deterministyczna , oznaczona $re re$${\ Displaystyle A \$ możliwy wynik jest co najmniej tak dobry, jak każdy możliwy wynik ZA $B}$ : dla wszystkich x < y , ${\ Displaystyle \ Pr [A = x] \ cdot \ Pr [B = y] = 0}$ . Innymi słowy: ${\ Displaystyle \ Pr [A \ geq B] = 1}$ . Na przykład ${\ Displaystyle 0,6 * 30 + 0,4 * 20 \ succeq _ {dd} 0,5 * 20 + 0,5 * 10}$ .

Dominacja dwuliniowa , oznaczona oznacza, że ​​dla każdego możliwego wyniku prawdopodobieństwo, że $\ succeq _ {$ lepszy i $B$${\ Displaystyle A$ daje gorsze jest co najmniej tak duże jak prawdopodobieństwo na odwrót: dla wszystkich x<y, ${\ Displaystyle \ Pr [A = x] \ cdot \ Pr [B = y] \ równoważnik \ Pr [A = y] \ cdot \ Pr [B = x]} Na$ przykład , ${\ Displaystyle 0,5 * 30 + 0,5 * 20 \ succeq _ {bd} 0,33 * 30 + 0,33 * 20 + 0,34 * 1 0}$ .

Dominacja stochastyczna (wspomniana już powyżej), oznaczona , oznacza, że ​​dla każdego możliwego wyniku x prawdopodobieństwo, że co najmniej x wynosi $\ succeq _ {sd} B} co najmniej tak duże$$Displaystyle$ jak prawdopodobieństwo, że co najmniej x : dla wszystkich x, $≥$${\ Displaystyle \ Pr [A \ geq x] \ geq \ Pr [B \ geq x]}$ . Na przykład ${\ Displaystyle 0,5 * 30 + 0,5 * 10 \ succeq _ {sd} 0,5 * 20 + 0,5 * 10}$ .

Dominacja w porównaniu parami , oznaczona , oznacza, że ​​prawdopodobieństwo, że daje lepszy wynik niż jest większe niż ${\ displaystyle$$\ succeq _ {pc}$$}$ na odwrót: ${\ Displaystyle \ Pr [A \ geq B] \ geq \ Pr [B \ geq A]}$ . Na przykład ${\ Displaystyle 0,67 * 30 + 0,33 * 10 \ succeq _ {pc} 1,0 * 20}$ .

$B$ leksykograficzna w dół, $}$ oznacza , że ​​​​ma większe prawdopodobieństwo zwrotu najlepszego wyniku niż ${\ Displaystyle A \ succeq _ {dl}$ zarówno ${\ displaystyle A},$ jak i $}$$A}$ mają takie samo prawdopodobieństwo zwrócenia najlepszego wyniku, ale ma większe prawdopodobieństwo niż $displaystyle$ zwrócenia drugiego najlepszego wyniku itp. Dominacja leksykograficzna w górę jest definiowana analogicznie na podstawie prawdopodobieństwa zwrócenia najgorszych wyników. Zobacz dominację leksykograficzną .

Inne porządki stochastyczne

Kolejność ryzyka

Współczynnik hazardu nieujemnej zmiennej losowej $z$ absolutnie ciągłą funkcją rozkładu funkcją gęstości definiuje się jako ${ \$$F}$

${\ Displaystyle r (t) = {\ Frac {d} {dt}} (- \ log (1-F (t))) = {\ Frac {f (t)} {1-F (t)}} .}$

$G}$ zmienne nieujemne i ${\ Displaystyle$$Y}$ z absolutnie ciągłym rozkładem sol $\$$Displaystyle$ oraz funkcjami współczynnika i $Y$ odpowiednio, mówi się, że jest mniejszy niż $w$$\ Displaystyle Y}$ kolejności współczynnika hazardu (oznaczonej ${\ Displaystyle X \ preceq _ {hr} Y}$ ) jeśli

${\ Displaystyle r (t) \ geq q (t)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle t \ geq 0}$ ,

lub równoważnie jeśli

${\ Displaystyle {\ Frac {1-F (t)} {1-G (t)}}}$ maleje w ${\ displaystyle t}$ .

Kolejność ilorazu wiarygodności

Niech ${\ Displaystyle X}$ i ${\ Displaystyle Y}$$t$ ciągłe (lub dyskretne) zmienne losowe o gęstościach ( ${\ Displaystyle g \ lewo (t \ prawo)}$ i odpowiednio, tak że ${\ Displaystyle {\ Frac {g \ lewo (t \ prawo)}} {f \ lewo (t \ prawo) }}}$ wzrasta w ${\ displaystyle t}$ nad połączeniem podpór ${\ displaystyle X}$ i ${\ displaystyle Y}$ ; $_$ przypadku $jest$$($ niż w kolejności wiarygodności _

Zamówienia zmienności

Jeśli dwie zmienne mają tę samą średnią, nadal można je porównywać na podstawie tego, jak „rozłożone” są ich rozkłady. Jest to uchwycone w ograniczonym stopniu przez wariancję , ale pełniej przez zakres rzędów stochastycznych.

Porządek wypukły

Porządek wypukły jest szczególnym rodzajem porządku zmienności. Zgodnie z uporządkowaniem wypukłym jest mniejsze niż ${\ displaystyle$$B}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich wypukłych $\ displaystyle u}$ , ${ \ Displaystyle {\ rm {E}} [u (A)] \ równoważnik {\ rm {E}} [u (B)]}$ .

Kolejność transformacji Laplace'a

Kolejność transformaty Laplace'a porównuje zarówno wielkość, jak i zmienność dwóch zmiennych losowych. Podobnie jak w przypadku porządku wypukłego, porządek transformaty Laplace'a jest ustalany przez porównanie oczekiwanej funkcji zmiennej losowej, gdzie funkcja pochodzi ze specjalnej klasy: ${\ Displaystyle u (x) =-\wyr(-\alfa x)}$ . To sprawia, że ​​​​porządek transformacji Laplace'a jest integralnym porządkiem stochastycznym z zespołem generatorów określonym przez zestaw funkcji zdefiniowany powyżej z ${\ displaystyle \ alpha}$ dodatnia liczba rzeczywista.

Możliwa monotoniczność

Biorąc pod uwagę rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle ({P} _ {\ alfa}) _ {\ alfa \ w F}}$ na częściowo uporządkowanej przestrzeni ${\ Displaystyle (E, \ preceq )}$ indeksowane za pomocą ${\ Displaystyle \$ gdzie jest inną częściowo uporządkowaną przestrzenią koncepcja całkowitej lub możliwej do zrealizowania monotoniczności może być α $F$ zdefiniowana Oznacza to, że istnieje rodzina zmiennych losowych ${\ Displaystyle (X_ {\ alfa}) _ {\ alfa}}$ na tej samej przestrzeni prawdopodobieństwa, tak że rozkład jest równy ${\ Displaystyle X_ {\ alfa}}$${\ Displaystyle { P} _ {\ alfa}}$ i prawie na pewno, gdy ${\ Displaystyle \ alfa \ preceq \ beta} X$$\ alfa} \ preceq X _ {\ beta}$ } Oznacza to istnienie sprzężenia monotonicznego . Widzieć

Zobacz też

• Dominacja stochastyczna
• Stochastyczny - znaczenie terminu

Bibliografia

• M. Shaked i JG Shanthikumar, Porządki stochastyczne i ich zastosowania , Associated Press, 1994.
• EL Lehmann. Uporządkowane rodziny rozkładów. Roczniki statystyki matematycznej , 26: 399–419, 1955.