Ułamkowy wybór społeczny

Ułamkowy wybór społeczny to gałąź teorii wyboru społecznego , w której zbiorowa decyzja nie jest pojedynczą alternatywą, ale raczej ważoną sumą dwóch lub więcej alternatyw. Przykładowo, jeśli społeczeństwo ma do wyboru trzech kandydatów: AB lub C, to w standardowym wyborze społecznym wybierany jest dokładnie jeden z tych kandydatów, podczas gdy w ułamkowym wyborze społecznym można wybrać (przykładowo) „2/3 A i 1/3 B". Powszechną interpretacją sumy ważonej jest loteria, w której kandydat A jest wybierany z prawdopodobieństwem 2/3, a kandydat B z prawdopodobieństwem 1/3. Ze względu na taką interpretację ułamkowy wybór społeczny jest również nazywany losowym wyborem społecznym , probabilistycznym wyborem społecznym lub stochastycznym wyborem społecznym . Ale można to też interpretować jako przepis na dzielenie się, np.:

  • Podział czasu: kandydat A jest (deterministycznie) wybierany na 2/3 czasu, podczas gdy kandydat B jest wybierany na 1/3 czasu.
  • Podział budżetu: kandydat A otrzymuje 2/3 budżetu, podczas gdy kandydat B otrzymuje 1/3 budżetu.
  • Sprawiedliwy podział z różnymi uprawnieniami może być również wykorzystany do podziału heterogenicznego zasobu między kandydatów A i B, przy czym ich uprawnienia wynoszą 2/3 i 1/3.

Definicje formalne

Istnieje skończony zbiór alternatyw (zwanych także: kandydatami ) i skończony zbiór wyborców (zwanych też: agentami ). Wyborcy mogą mieć różne preferencje co do alternatyw.

  • Dychotomiczne preferencje - każdy wyborca ​​ma zestaw „zatwierdzonych kandydatów”, którzy są w jego oczach równorzędni. Model ten jest rozwinięty na stronie poświęconej ułamkowemu głosowaniu zatwierdzającemu .
  • Relacje preferencji – każdy wyborca ​​ma swój ranking kandydatów. Relacja może być ścisła lub słaba . Ścisły oznacza, że ​​nie ma „powiązań” – agent zawsze preferuje jednego lub drugiego kandydata. Słaby oznacza, że ​​mogą istnieć powiązania - agent może być obojętny między dwoma lub więcej kandydatami.

Funkcja losowego wyboru społecznego (RSCF) przyjmuje jako dane wejściowe zestaw relacji preferencji wyborców. Jako wynik zwraca „ mieszaninę ” - wektor p liczb rzeczywistych w [0,1], po jednej liczbie dla każdego kandydata, tak że suma liczb wynosi 1. Ta mieszanina może być interpretowana jako zmienna losowa (loteria) , którego wartość jest równa każdemu kandydatowi x z prawdopodobieństwem p ( x ). Można to również interpretować jako deterministyczne przypisanie ułamkowego udziału każdemu kandydatowi.

Ponieważ wyborcy wyrażają preferencje tylko w stosunku do pojedynczych kandydatów, w celu oceny RSCF należy „podnieść” te preferencje do preferencji w stosunku do mieszanek. Ten proces podnoszenia jest często nazywany przedłużeniem loterii i skutkuje jednym z kilku uporządkowań stochastycznych .

Nieruchomości

Podstawowe właściwości

Dwie podstawowe pożądane właściwości RSCF to anonimowość – nazwiska wyborców nie mają znaczenia, oraz neutralność – nazwy wyników nie mają znaczenia. Anonimowość i neutralność nie zawsze mogą być spełnione przez deterministyczną funkcję wyboru społecznego. Na przykład, jeśli jest dwóch głosujących i dwie alternatywy A i B, a każdy głosujący chce innej alternatywy, to jedyną anonimową i neutralną mieszanką jest 1/2*A+1/2*B. Dlatego stosowanie mieszanek jest niezbędne do zagwarantowania podstawowych właściwości czystości.

Właściwości spójności

Następujące właściwości obejmują zmiany w zbiorze wyborców lub zbiorze alternatyw.

Spójność Condorceta - jeśli istnieje zwycięzca Condorceta, to funkcja zwraca zdegenerowaną mieszaninę, w której ten zwycięzca otrzymuje 1, a pozostałe alternatywy otrzymują 0 (czyli zwycięzca Condorceta jest wybierany z prawdopodobieństwem 1).

Spójność agendy - niech p będzie mieszanką i niech A, B będą zbiorami alternatyw, które zawierają poparcie dla p . Następnie funkcja zwraca p dla związku A B, jeśli zwraca p dla A i dla B. Właściwość ta została nazwana przez Sen.

Spójność populacji - jeśli funkcja zwraca mieszaninę p dla dwóch rozłącznych zestawów wyborców, to zwraca to samo p dla ich związku.

Niezależność klonów (zwana również spójnością klonowania ) - jeśli alternatywa jest „sklonowana”, tak że wszyscy wyborcy klasyfikują wszystkie jej klony jeden obok drugiego, wówczas waga (= prawdopodobieństwo) wszystkich innych alternatyw w zwróconej mieszance nie ulega zmianie .

  • Silniejszym wariantem jest spójność składu - wymaga ona również, aby w każdym składniku waga każdej alternatywy była proporcjonalna do jej wagi, gdy składnik jest rozpatrywany osobno.

Te właściwości gwarantują, że centralny planista nie może wykonywać prostych manipulacji, takich jak dzielenie alternatyw, klonowanie alternatyw lub dzielenie populacji.

Należy zauważyć, że właściwości konsystencji zależą tylko od rankingów poszczególnych alternatyw – nie wymagają one rankingu mieszanin.

Właściwości porównawcze mieszanin

Następujące właściwości obejmują porównania mieszanin. Aby je dokładnie zdefiniować, potrzebne jest założenie, jak wyborcy oceniają mieszanki. Wymaga to stochastycznego uporządkowania loterii. Istnieje kilka takich zamówień; najpowszechniejsze w teorii wyboru społecznego, w kolejności siły, to DD (dominacja deterministyczna), BD (dominacja dwuliniowa), SD (dominacja stochastyczna) i PC (dominacja porównań parami). Zobacz porządek stochastyczny , aby zapoznać się z definicjami i przykładami.

Wydajność - żadna mieszanka nie jest lepsza dla co najmniej jednego wyborcy i co najmniej tak dobra dla wszystkich wyborców. Można zdefiniować efektywność DD, efektywność BD, efektywność SD, efektywność PC i efektywność ex post (ostateczny wynik jest zawsze efektywny).

Odporność na strategię - zgłaszanie fałszywych preferencji nie prowadzi do mieszanki, która jest lepsza dla wyborcy. Ponownie, można zdefiniować odporność na strategię DD, odporność na strategię BD, odporność na strategię SD i odporność na strategię PC.

Partycypacja - powstrzymanie się od partycypacji nie prowadzi do mieszanki, która jest lepsza dla wyborcy. Ponownie można zdefiniować partycypację DD, partycypację BD, partycypację SD i partycypację PC.

Wspólne funkcje

Niektóre powszechnie stosowane zasady losowego wyboru społecznego to:

Losowa dyktatura - wyborca ​​jest wybierany losowo i decyduje o wyniku. Jeśli preferencje są ścisłe, daje to mieszaninę, w której waga każdej alternatywy jest dokładnie proporcjonalna do liczby wyborców, którzy stawiają ją na pierwszym miejscu. Jeśli preferencje są słabe, a wybrany wyborca ​​​​jest obojętny między dwiema lub więcej najlepszymi opcjami, wówczas wybierany jest losowo drugi wyborca, który wybiera spośród nich i tak dalej. To rozszerzenie nazywa się losową seryjną dyktaturą . Spełnia wymagania dotyczące wydajności ex post, silnej odporności na strategię SD, bardzo silnego uczestnictwa w SD, spójności programu i spójności klonowania. Zawodzi spójność Condorceta, spójność składu i (przy słabych preferencjach) spójność populacji.

Max Borda - zwraca kombinację, w której wszystkie alternatywy o najwyższej liczbie Borda mają taką samą wagę, a wszystkie inne alternatywy mają wagę 0. Innymi słowy, wybiera losowo jednego ze zwycięzców Borde ( zamiast tego można użyć innych funkcji punktacji z Bordy). Spełnia efektywność SD, silny udział SD i spójność populacji, ale nie spełnia żadnej formy odporności na strategię ani żadnej innej spójności.

Proporcjonalny Borda — zwraca mieszaninę, w której waga każdej alternatywy jest proporcjonalna do jej liczby Borda . Innymi słowy, przeprowadza losowanie między wszystkimi alternatywami, gdzie prawdopodobieństwo każdej alternatywy jest proporcjonalne do jej wyniku ( zamiast Bordy można użyć innych funkcji punktacji ). Spełnia silną odporność na strategię SD, silne uczestnictwo w SD i spójność populacji, ale nie jakąkolwiek formę wydajności lub jakąkolwiek inną spójność.

Loterie maksymalne - reguła oparta na parach porównań alternatyw. Dla dowolnych dwóch alternatyw x,y obliczamy Mxy , ilu wyborców woli x od y i ilu wyborców woli y od x , i niech będzie różnicą. Otrzymana macierz M jest nazywana macierzą marginesu większości . Mieszanka p nazywana jest maksymalną iff . Interpretowana jako loteria, oznacza to, że oczekiwana większość głosujących preferuje p w stosunku do jakiejkolwiek innej loterii (oczekiwana liczba agentów, którzy preferują alternatywę zwróconą przez p od tej zwróconej przez jakąkolwiek inną loterię q , jest co najmniej tak duża jako oczekiwana liczba agentów, którzy wolą alternatywę zwróconą przez q od tej zwróconej przez p ). Maksymalna loteria jest ciągłym odpowiednikiem zwycięzcy Condorceta . Jednak chociaż zwycięzca Condorceta może nie istnieć, zawsze istnieje maksymalna loteria. Wynika to z zastosowania twierdzenia Minimaxa do odpowiedniej symetrycznej dwuosobowej gry o sumie zerowej . Spełnia wymagania dotyczące wydajności PC, odporności na strategie DD, partycypacji PC i wszystkich właściwości spójności - w szczególności spójności Condorcet.

Zobacz też

  1. ^   Aziz, Haris (28.03.2015). „Paradoks Condorceta i twierdzenie o medianie wyborców dla losowego wyboru społecznego” . Biuletyn ekonomiczny . 35 (1): 745–749. ISSN 1545-2921 .
  2. Bibliografia    _ Zeng, Huaxia (2018-05-01). „O losowych funkcjach wyboru społecznego z właściwością tylko na wierzchu” . Gry i zachowania ekonomiczne . 109 : 413–435. doi : 10.1016/j.geb.2017.11.011 . ISSN 0899-8256 . S2CID 49677879 .
  3. ^ a b c   Felix Brandt (2017-10-26). „Rzucanie kostką: ostatnie wyniki probabilistycznego wyboru społecznego” . W Endriss, Ulle (red.). Trendy w obliczeniowym wyborze społecznym . Lulu.com. ISBN 978-1-326-91209-3 .
  4. ^    Pattanaik, Prasanta K.; Peleg, Becalel (1986). „Dystrybucja władzy zgodnie ze stochastycznymi regułami wyboru społecznego”. Ekonometria . 54 (4): 909–921. doi : 10.2307/1912843 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1912843 .
  5. ^    Sen, Amartya K. (1971). „Funkcje wyboru i ujawnione preferencje”. Przegląd Studiów Ekonomicznych . 38 (3): 307–317. doi : 10.2307/2296384 . ISSN 0034-6527 . JSTOR 2296384 .
  6. ^    Sen, Amartya (1977). „Teoria wyboru społecznego: ponowne badanie”. Ekonometria . 45 (1): 53–89. doi : 10.2307/1913287 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1913287 .
  7. ^    Sen, Amartya (1986-01-01). „Rozdział 22 Teoria wyboru społecznego” . Podręcznik ekonomii matematycznej . 3 : 1073–1181. doi : 10.1016/S1573-4382(86)03004-7 . ISBN 9780444861283 . ISSN 1573-4382 .
  8. ^    Smith, John H. (1973). „Agregacja preferencji ze zmiennym elektoratem”. Ekonometria . 41 (6): 1027–1041. doi : 10.2307/1914033 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1914033 .
  9. ^   Młody, HP (1974-09-01). „Aksjomatyzacja reguły Bordy” . Dziennik teorii ekonomii . 9 (1): 43–52. doi : 10.1016/0022-0531(74)90073-8 . ISSN 0022-0531 .
  10. ^ a b    Dobrze, B .; Dobra, K. (1974). „Wybór Społeczny i Ranking Indywidualny I”. Przegląd Studiów Ekonomicznych . 41 (3): 303–322. doi : 10.2307/2296751 . ISSN 0034-6527 . JSTOR 2296751 .
  11. ^ Aziz, Haris (2016-11-08). „Zachęty do uczestnictwa w losowym wyborze społecznym”. arXiv : 1602.02174 [ cs.GT ].
Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fractional_social_choice&oldid=1112396788 ”