Preferencje dychotomiczne

W ekonomii preferencje dychotomiczne (DP) to relacje preferencji , które dzielą zbiór alternatyw na dwa podzbiory: „Dobry” kontra „Zły” .

Z punktu widzenia użyteczności porządkowej DP oznacza, że ​​dla każdych dwóch alternatyw ${\ displaystyle X, Y}$ :

${\ Displaystyle X \ preceq Y \ iff X \ w złym {\ tekst {lub}} Y \ w dobrym}$

${\ Displaystyle X \ prec Y \ iff X \ w złym {\ tekst {i}} Y \ w dobrym}$

Z perspektywy użyteczności kardynalnej DP oznacza, że ​​dla każdego agenta istnieją dwa poziomy użyteczności: niski i wysoki oraz dla każdej alternatywy: X $\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle u (X) = u_ {niski} \ iff X \ in Bad}$

${\ Displaystyle u (X) = u_ {wysoki} \ iff X \ w dobrym}$

Powszechnym sposobem wyrażania dychotomicznych preferencji jest stosowanie kart do głosowania , w których każdy głosujący może „zatwierdzić” lub „odrzucić” każdą alternatywę.

W sprawiedliwym przydziale pozycji

W kontekście sprawiedliwego przydziału pozycji DP można przedstawić za pomocą matematycznej formuły logicznej : dla każdego agenta istnieje formuła opisująca jego pożądane pakiety. Agent jest usatysfakcjonowany wtedy i tylko wtedy, gdy otrzyma pakiet, który spełnia formułę.

Szczególnym przypadkiem DP jest jednomyślność . Jednomyślny agent chce bardzo konkretnego pakietu; jest szczęśliwy wtedy i tylko wtedy, gdy otrzyma ten pakiet lub jakikolwiek pakiet, który go zawiera. Takie preferencje pojawiają się w rzeczywistości, na przykład w problemie przydzielania klas do szkół: każda szkoła i potrzebuje pewnej liczby d _i klas; szkoła ma użyteczność 1, jeśli ma wszystkie d _i w tym samym miejscu i 0 w przeciwnym razie.

Zbiorowy wybór w ramach DP

Bez pieniędzy

Załóżmy, że mechanizm wybiera loterię spośród wyników. Użyteczność każdego agenta w ramach tego mechanizmu to prawdopodobieństwo, że wybrany zostanie jeden z jego Dobrych wyników.

Mechanizm utylitarny uśrednia wyniki z największą „aprobatą”. Jest skuteczny w sensie Pareto , odporny na strategie , anonimowy i neutralny.

Niemożliwe jest osiągnięcie tych właściwości oprócz proporcjonalności – dając każdemu agentowi użyteczność co najmniej 1/ n ; lub przynajmniej ułamek dobrych do wykonalnych wyników. przypuśćmy, że żaden skuteczny i odporny na strategię mechanizm ex ante nie gwarantuje ściśle pozytywnej użyteczności wszystkim agentom, i udowodnij słabsze stwierdzenie.

Z pieniędzmi

Załóżmy, że wszyscy agenci mają kardynalną użyteczność DP , gdzie każdy agent charakteryzuje się pojedynczą liczbą - ${\ displaystyle u_ {high}}$ (tak, że ${\ displaystyle u_ {low} = 0}$ ) .

zidentyfikować nowy warunek, monotoniczność generowania , która jest konieczna i wystarczająca do wdrożenia przez prawdziwe mechanizmy w dowolnej dziedzinie dychotomicznej (patrz Monotoniczność (projektowanie mechanizmu) ).

Jeśli taka domena spełnia warunek bogactwa, to słabsza wersja monotoniczności generacji, monotoniczność 2-generacyjna (odpowiednik monotoniczności 3-cyklowej ), jest konieczna i wystarczająca do implementacji.

Wynik ten można wykorzystać do wyprowadzenia optymalnego mechanizmu w jednostronnym problemie z dopasowaniem z agentami, którzy mają typy dychotomiczne