Hierarchia BBGKY

W fizyce statystycznej hierarchia BBGKY ( hierarchia Bogoliubowa – Borna – Greena – Kirkwooda – Yvona , czasami nazywana hierarchią Bogoliubowa ) jest zbiorem równań opisujących dynamikę układu dużej liczby oddziałujących cząstek. Równanie funkcji rozkładu cząstek s (funkcja gęstości prawdopodobieństwa) w hierarchii BBGKY obejmuje funkcję rozkładu cząstek ( s + 1), tworząc w ten sposób sprzężony łańcuch równań. Ten formalny wynik teoretyczny został nazwany na cześć Nikolaya Bogolyubova , Maxa Borna , Herberta S. Greena , Johna Gamble'a Kirkwooda i Jacques'a Yvona .

Sformułowanie

Ewolucja układu N -cząstek przy braku fluktuacji kwantowych jest dana równaniem Liouville'a dla funkcji gęstości prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle f_ {N }=f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t )}$ w 6 N -wymiarowej przestrzeni fazowej (3 współrzędne przestrzeni i 3 współrzędne pędu na cząstkę)

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f_ {N}} {\częściowe t}}+\sum _{i=1}^{N}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\częściowe f_{N}}{\ częściowe \mathbf {q} _{i}}}+\sumy _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}{\frac {\częściowe f_{N}}{\częściowe \mathbf {p} _{i}}}=0,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {i}, \ mathbf {p} _ {i}}$ to współrzędne i pęd dla $i}$ cząstki o masie $m}$${\ displaystyle$ , a wypadkowa siła działająca na -tą cząstkę wynosi ${\ displaystyle i}$

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {i} = - \ suma _ {j = 1 \ neq i}^{N}{\frac {\częściowe \Phi _{ij}}{\częściowe \mathbf {q} _{i}}}-{\frac {\częściowe \Phi _{i}^{\text {ext}}}{\częściowo \mathbf {q} _{i}}},}$

gdzie ${\ Displaystyle \ Phi _ {ij} (\ mathbf {q} _ {i}, \ mathbf {q} _ {j})} jest$ parą potencjałów interakcji między cząstkami Φ ${\ Displaystyle \ Phi ^ {\ tekst {ext}} (\ mathbf {q} _ {i})}$ potencjał pola zewnętrznego. Całkując po części zmiennych, równanie Liouville'a można przekształcić w łańcuch równań, w którym pierwsze równanie łączy ewolucję funkcji gęstości prawdopodobieństwa jednej cząstki z funkcją gęstości prawdopodobieństwa dwóch cząstek, drugie równanie łączy prawdopodobieństwo dwóch cząstek funkcja gęstości z trzycząstkową funkcją gęstości prawdopodobieństwa i ogólnie s -te równanie łączy funkcję gęstości prawdopodobieństwa s -cząstek

${\ Displaystyle f_ {s} (\ mathbf {q} _ {1} \ kropki \ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {p} _ {1} \ kropki \ mathbf {p} _ {s},t)=\int f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p } _{N},t)\,d\mathbf {q} _{s+1}\kropki d\mathbf {q} _{N}\,d\mathbf {p} _{s+1}\kropki d\mathbf {p} _ {N}}$

z funkcją gęstości prawdopodobieństwa cząstek ( s + 1):

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f_ {s}} {\ częściowe t}} + \ suma _ {i = 1} ^ {s} {\ Frac {\ mathbf {p} _ {i}} {m} }{\frac {\częściowe f_{s}}{\częściowe \mathbf {q} _{i}}}-\sum _{i=1}^{s}\left(\sum _{j=1\ neq i}^{s}{\frac {\częściowy \Phi _{ij}}{\częściowy \mathbf {q} _{i}}}+{\frac {\częściowy \Phi _{i}^{ext }}{\częściowe \mathbf {q} _{i}}}\right){\frac {\częściowe f_{s}}{\częściowe \mathbf {p} _{i}}}=(Ns)\sum _{i=1}^{s}\int {\frac {\częściowe \Phi _{i\,s+1}}{\częściowe \mathbf {q} _{i}}}{\frac {\częściowe f_{s+1}}{\częściowo \mathbf {p} _{i}}}\,d\mathbf {q} _{s+1}\,d\mathbf {p} _{s+1}. }$

Powyższe równanie dla funkcji rozkładu cząstek s uzyskuje się przez całkowanie równania Liouville'a po zmiennych ${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {s + 1} \ kropki \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{s+1}\dots \mathbf {p} _{N}}$ . Problem z powyższym równaniem polega na tym, że nie jest on zamknięty. fa ${\ displaystyle f_ {s}}$ , trzeba wiedzieć , $2 }}$$2 {$ kolei wymaga rozwiązania i aż do pełnego równania Liouville'a. Można $_$$by$ jeśli _ Jednym z takich przypadków jest równanie Boltzmanna dla ${\ Displaystyle f_ {1} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {p} _ {1}, t)}$ fa ${\ Displaystyle f_ {2} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {q} _ {2}, \ mathbf$ jest modelowane w oparciu o hipotezę chaosu molekularnego ( Stosszahlansatz ). W rzeczywistości w równaniu Boltzmanna ${\ Displaystyle f_ {2} = f_ {2} (\ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {p_ {2} }} ,t)}$ jest całką kolizyjną. Ten ograniczający proces uzyskiwania równania Boltzmanna z równania Liouville'a jest znany jako granica Boltzmanna-Grada.

Fizyczna interpretacja i zastosowania

$-systemu$ ewolucję w czasie dla całego $postaci$ , która wyraża nieściśliwy przepływ gęstości prawdopodobieństwa w przestrzeń fazowa. Następnie stopniowo definiujemy zredukowane funkcje rozkładu, całkując stopnie swobody innej cząstki ${\textstyle f_ {s} \ sim \int f_ {s+1}}$ . Równanie w hierarchii BBGKY mówi nam, że ewolucja czasu dla takiego $Liouville'a$ , ale ze składnikiem korygującym, który reprezentuje wpływ siły ${\ Displaystyle Ns}$ stłumione cząstki

${\ Displaystyle Df_ {s} \ propto {\ tekst {div}} _ {\ mathbf {p}} \ langle {\ text {grad}} _ {\ mathbf {q}} \ Phi _ {i, s + 1 }\rangle _{f_{s+1}}.}$

Problem rozwiązania hierarchii równań BBGKY jest tak samo trudny, jak rozwiązanie oryginalnego równania Liouville'a, ale można łatwo dokonać przybliżeń hierarchii BBGKY (które pozwalają na skrócenie łańcucha do skończonego układu równań). Zaletą $dystrybucji$$\displaystyle f_{s}}$$funkcje$ fa tylko pośrednio przez ${\ Displaystyle f_ {s + 1}.}$ Skrócenie łańcucha BBGKY jest powszechnym punktem wyjścia dla wielu zastosowań teorii kinetyki, które można wykorzystać do wyprowadzenia klasycznych lub kwantowych równań kinetycznych. W szczególności obcięcie pierwszego równania lub pierwszych dwóch równań może być użyte do wyprowadzenia klasycznych i kwantowych równań Boltzmanna oraz poprawek pierwszego rzędu do równań Boltzmanna. Inne przybliżenia, takie jak założenie, że funkcja prawdopodobieństwa gęstości zależy tylko od względnej odległości między cząstkami lub założenie o reżimie hydrodynamicznym, również mogą sprawić, że łańcuch BBGKY będzie dostępny do rozwiązania.

Bibliografia

s zostały wprowadzone do klasycznej mechaniki statystycznej przez J. Yvona w 1935 r. Hierarchię równań BBGKY dla funkcji rozkładu cząstek s wypisał i zastosował do wyprowadzenia równań kinetycznych Bogoliubow w artykule otrzymanym w lipcu 1945 r. i opublikowana w 1946 r. w języku rosyjskim i angielskim. Teorię transportu kinetycznego rozważał Kirkwood w artykule otrzymanym w październiku 1945 i opublikowanym w marcu 1946 oraz w kolejnych artykułach. Pierwszy artykuł Borna i Greena dotyczył ogólnej kinetycznej teorii cieczy i został otrzymany w lutym 1946 r. I opublikowany 31 grudnia 1946 r.

Zobacz też

• Równanie Fokkera-Plancka
• Równanie Własowa
• Podejście klastrowe