Podejście klastrowe

Podejście rozszerzania klastrów to technika w mechanice kwantowej , która systematycznie obcina problem hierarchii BBGKY , który pojawia się, gdy rozwiązuje się dynamikę kwantową oddziałujących systemów. Ta metoda dobrze nadaje się do tworzenia zamkniętego zestawu numerycznie , które można zastosować do analizy wielu różnych problemów wielociałowych i/lub kwantowo-optycznych . Na przykład jest szeroko stosowany w półprzewodnikowej optyce kwantowej i może być stosowany do uogólniania równań Blocha półprzewodników i równań luminescencji półprzewodników .

Tło

Teoria kwantowa zasadniczo zastępuje klasycznie dokładne wartości rozkładem probabilistycznym , który można sformułować za pomocą np. funkcji falowej , macierzy gęstości lub rozkładu w przestrzeni fazowej . Pod względem koncepcyjnym zawsze istnieje, przynajmniej formalnie, rozkład prawdopodobieństwa za każdą mierzoną obserwowalną wartością . Już w 1889 roku, na długo przed sformułowaniem fizyki kwantowej, Thorvald N. Thiele zaproponował kumulanty , które opisują rozkłady probabilistyczne przy jak najmniejszej liczbie wielkości; nazwał je pół-niezmiennikami . Kumulanty tworzą sekwencję wielkości, takich jak średnia , wariancja , skośność , kurtoza itd., które identyfikują rozkład z coraz większą dokładnością w miarę używania większej liczby kumulantów.

Idea kumulantów została przekształcona w fizykę kwantową przez Fritza Coestera i Hermanna Kümmela z zamiarem zbadania jądrowych zjawisk wielociałowych. Później Jiři Čížek i Josef Paldus rozszerzyli podejście do chemii kwantowej , aby opisać zjawiska wielu ciał w złożonych atomach i cząsteczkach. Ta praca wprowadziła podstawy dla podejścia opartego na sprzężonych klastrach , które działa głównie z funkcjami falowymi wielu ciał. Podejście sprzężonych klastrów jest jedną z najskuteczniejszych metod rozwiązywania stanów kwantowych złożonych cząsteczek.

W ciałach stałych funkcja falowa wielu ciał ma niezwykle skomplikowaną strukturę, tak że techniki bezpośredniego rozwiązania funkcji falowej są trudne. Ekspansja klastra jest wariantem podejścia klastrów sprzężonych i rozwiązuje dynamiczne równania korelacji zamiast próbować rozwiązać kwantową dynamikę przybliżonej funkcji falowej lub macierzy gęstości. Równie dobrze nadaje się do leczenia właściwości układów wielociałowych i korelacji kwantowo-optycznych, co czyni go bardzo odpowiednim podejściem do półprzewodnikowej optyki kwantowej.

Jak prawie zawsze w fizyce wielu ciał lub optyce kwantowej, najwygodniej jest zastosować formalizm drugiej kwantyzacji do opisu fizyki. Na przykład pole światła jest następnie opisywane za pomocą operatorów tworzenia i anihilacji bozonu i ${\ Displaystyle {\ hat {B}} _ {\ mathbf {q}} ^ {\ sztylet}}$ i ${\ displaystyle {\ hat {B}} _ {\ mathbf {q}}}$ odpowiednio, gdzie ${\ Displaystyle \ hbar \ mathbf {q}}$ określa pęd fotonu . „Kapelusz” nad $wielkości$ operatorski charakter . Kiedy stan wielu ciał składa się z elektronicznych wzbudzeń materii, jest w pełni zdefiniowany przez operatory tworzenia i anihilacji Fermiona ${\ Displaystyle {\ kapelusz {a}} _ {\ lambda, \ mathbf {k}} ^ {\ sztylet}}$ i odpowiednio ${\ Displaystyle {\ hat {a}} _ {\ lambda, \ mathbf {k}}}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ hbar \ mathbf {k} } odnosi się do$$jest$ cząstki, podczas gdy pewnym wewnętrznym stopniem swobody , takim jak spin lub indeks pasma .

Klasyfikacja wkładów N -cząstek

Kiedy system wielociałowy jest badany wraz z jego właściwościami kwantowo-optycznymi, wszystkie mierzalne wartości oczekiwane można wyrazić w postaci wartości oczekiwanej N -cząstki

${\ Displaystyle \ langle {\ kapelusz {N}}\rangle \equiv \langle {\kapelusz {B}}_{1}^{\sztylet}\cdots {\kapelusz {B}}_{K}^{\sztylet}\ {\kapelusz { a}}_{1}^{\sztylet}\cdots {\kapelusz {a}}_{N_{\kapelusz {a}}}^{\sztylet}}{\kapelusz {a}}_{N_{\kapelusz {a}}}\cdots {\kapelusz {a}}_{1}\ {\kapelusz {B}}_{J}\cdots {\kapelusz {B}}_{1}\rangle}$

gdzie ${\ Displaystyle N = N _ {\ kapelusz {B}} + N _ {\ kapelusz {a}}}$ i ${\ Displaystyle N _ {\ kapelusz {B }}=J+K}$ , podczas gdy wyraźne indeksy pędu są pomijane ze względu na zwięzłość. Wielkości te są normalnie uporządkowane, co oznacza, że ​​wszystkie operatory kreacji znajdują się po lewej stronie, podczas gdy wszystkie operatory anihilacji są po prawej stronie wartości oczekiwanej. Łatwo jest pokazać, że ta wartość oczekiwana znika, jeśli liczba operatorów tworzenia i anihilacji Fermiona nie jest równa.

$znany jest hamiltonian systemu$ można użyć równania ruchu Heisenberga do wygenerowania dynamiki danego operatora -cząstki. Jednak interakcje wielociałowe, jak również kwantowo-optyczne łączą $z$$.$ wartościami oczekiwanymi cząstek, Bogolyubov Problem hierarchii –Born–Green–Kirkwood–Yvon (BBGKY) . Mówiąc bardziej matematycznie, wszystkie cząstki oddziałują ze sobą, prowadząc do struktury równania

${\ Displaystyle \ operatorname {i} \ hbar {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t} }\langle {\kapelusz {N}}\rangle =\mathrm {T} \left[\langle {\kapelusz {N}}\rangle \right]+\mathrm {Cześć} \left[\langle {\kapelusz { N}}+1\rangle \right]}$

gdzie funkcjonał symbolizuje wkład bez problemu z hierarchią, a funkcjonał dla hierarchicznego (Hi) sprzężenia jest symbolizowany przez $H ja [ ⟨ N ^ + 1 ⟩ ] {\ Displaystyle \ operatorname {Cześć} [$$displaystyle T} N}}+1\szereg ]}$ . Ponieważ wszystkie poziomy wartości oczekiwanych mogą być różne od zera, aż do rzeczywistej liczby cząstek, to równanie nie może być bezpośrednio obcięte bez dalszych rozważań.

Rekurencyjna definicja klastrów

Schematyczne przedstawienie klasyfikacji opartej na rozszerzaniu klastrów. Pełna korelacja składa się z singletów, dubletów, trojaczków i korelacji wyższego rzędu, z których wszystkie są jednoznacznie zdefiniowane przez podejście rozszerzania klastrów. Każda niebieska kula odpowiada jednemu operatorowi cząstek, a żółte kółka/elipsy korelacjom. Liczba sfer w korelacji identyfikuje numer klastra.

Problem hierarchii można systematycznie obcinać po zidentyfikowaniu skorelowanych klastrów. Najprostsze definicje następują po rekurencyjnej identyfikacji klastrów. Na najniższym poziomie znajduje się klasa wartości oczekiwanych pojedynczych cząstek (singletów), które są symbolizowane przez ${\ displaystyle \ langle 1 \ rangle}$ . Dowolną dwucząstkową wartość oczekiwaną $można$ przybliżyć przez faktoryzację $} =\langle 1\rangle \langle 1\rangle }$ , który zawiera formalną sumę wszystkich możliwych iloczynów wartości oczekiwanych dla pojedynczych cząstek. Bardziej ogólnie, $Displaystyle \ langle$$\ rangle}$ definiuje singlety i jest rozkładem singletowym na $N} -$${$ wartość oczekiwana cząstki. Fizycznie faktoryzacja singletowa wśród fermionów daje przybliżenie Hartree-Focka , podczas gdy dla bozonów daje klasyczne przybliżenie , w którym operatory bozonowe są formalnie zastępowane spójną amplitudą, tj. ${\ displaystyle {\ hat {B} }\strzałka w prawo \langle {\kapelusz {B}}\rangle }$ . Rozkład na czynniki singletowe stanowi pierwszy poziom reprezentacji ekspansji klastrów.

Skorelowana część ${\ Displaystyle \ langle 2 \ rangle}$$zakres _ {\ operatorname {S}}}$$zatem$ różnicą rzeczywistej i faktoryzacji singletowej $\ Displaystyle \ langle 2 \$ . Bardziej matematycznie, można znaleźć

${\ Displaystyle \ langle 2 \ rangle = \ langle 2 \ rangle _ {\ operatorname {S}} + \ Delta \ langle 2 \ rangle}$

$Delta$$_ \rangle _{\mathrm {S}}}$ wkład skorelowaną . Kolejne poziomy identyfikacji następują rekurencyjnie przez zastosowanie

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane }\langle 3\rangle &=\langle 3\rangle _{\mathrm {S} }+\langle 1\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\Delta \langle 3\rangle \,,\\\langle N\rangle &=\langle N\rangle _{\mathrm {S} }\\&\quad +\langle N-2\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 2\rangle \\& \quad +\langle N-4\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 2\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\dots \\&\quad +\langle N-3\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 3\rangle \\&\quad +\langle N-5\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 3\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\kropki \\&\quad +\Delta \langle N\rangle \,,\end{wyrównane}}}$

gdzie każdy termin iloczynu symbolicznie reprezentuje jedną faktoryzację i pośrednio obejmuje sumę wszystkich faktoryzacji w obrębie klasy zidentyfikowanych terminów. Czysto skorelowana część jest oznaczona przez ${\ Displaystyle \ Delta \ langle N \ rangle}$ . $Z$ korelacje dwucząstkowe $,$ trójcząstkowe trójkami

Ponieważ ta identyfikacja jest stosowana rekurencyjnie, można bezpośrednio zidentyfikować, które korelacje pojawiają się w problemie hierarchii. Następnie określa się dynamikę kwantową korelacji, uzyskując

${\ Displaystyle \ operatorname {i} \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ Delta \ langle {\ kapelusz {N}} \ rangle = \ operatorname {T} \ lewo [ \Delta \langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {NL} \left[\langle {\hat {1}}\rangle ,\Delta \langle {\hat {2}}\rangle ,\cdots ,\Delta \langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {Cześć} \left[\Delta \langle {\hat {N}}+1\rangle \right]\,, }$

$.$ faktoryzacje dają Oczywiście wprowadzenie klastrów nie może usunąć problemu hierarchii w podejściu bezpośrednim, ponieważ hierarchiczny wkład pozostaje w dynamice. Ta właściwość i pojawienie się terminów nieliniowych wydaje się sugerować komplikacje dla stosowalności podejścia opartego na rozszerzaniu klastrów.

Jednak główną różnicą w porównaniu z podejściem opartym na bezpośredniej wartości oczekiwanej jest to, że zarówno interakcje wielociałowe, jak i kwantowo-optyczne generują korelacje sekwencyjnie. W kilku istotnych problemach rzeczywiście mamy sytuację, w której tylko klastry najniższego rzędu początkowo nie znikają, podczas gdy klastry wyższego rzędu gromadzą się powoli. $_ ]}$ można , na poziomie przekraczającym skupiska cząstek ${\ displaystyle C}$ . W rezultacie równania zostają zamknięte i wystarczy obliczyć dynamikę aż do $-$ korelacji cząstek, aby wyjaśnić odpowiednie właściwości układu Ponieważ jest zwykle znacznie mniejsza niż $całkowita$ liczba cząstek, podejście polegające na rozszerzaniu klastrów daje pragmatyczny i systematyczny schemat rozwiązań dla badań wielu ciał i optyki kwantowej

Rozszerzenia

Oprócz opisywania dynamiki kwantowej, można oczywiście zastosować podejście rozszerzania klastrów do reprezentowania rozkładów kwantowych. Jedną $z$ możliwości jest przedstawienie fluktuacji kwantowych skwantowanego trybu światła pomocą klastrów, uzyskując reprezentację rozszerzenia klastra ⟨ $\ kapelusz {B}} ^ {\ sztylet}] ^ {J} {\ kapelusz {B}}^{K}\rangle }$ . W tym przypadku połączenie z ${\ Displaystyle \ langle [{\ kapelusz {B}} ^ {\ sztylet}] ^ {J} {\ kapelusz {B}} ^ { K}\rangle }$ do macierzy gęstości jest unikalny, ale może skutkować rozbieżnymi numerycznie szeregami. Ten problem można rozwiązać, wprowadzając transformację rozszerzania klastrów (CET), która reprezentuje rozkład w postaci Gaussa , zdefiniowanej przez wkład singlet-dublet, pomnożony przez wielomian, zdefiniowany przez klastry wyższego rzędu. Okazuje się, że to sformułowanie zapewnia ekstremalną zbieżność w przekształceniach z reprezentacji na reprezentację.

Ten całkowicie matematyczny problem ma bezpośrednie zastosowanie fizyczne. Można zastosować transformację rozszerzania klastrów, aby solidnie odwzorować klasyczny pomiar na pomiar kwantowo-optyczny. Ta właściwość jest w dużej mierze oparta na zdolności CET do opisywania dowolnego rozkładu w postaci, w której gaussowski jest mnożony przez współczynnik wielomianu. Ta technika jest już wykorzystywana do uzyskiwania dostępu do spektroskopii kwantowo-optycznej i wyprowadzania jej z zestawu klasycznych pomiarów spektroskopowych, które można wykonać przy użyciu wysokiej jakości laserów .

Zobacz też

• Hierarchia BBGKY
• Spektroskopia kwantowo-optyczna
• Półprzewodnikowe równania Blocha
• Równania luminescencji półprzewodników

Dalsza lektura

•   Kira, M.; Kocha, SW (2011). Półprzewodnikowa optyka kwantowa . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0521875097 .
•   Shavitt, I.; Bartlett, RJ (2009). Metody wielu ciał w chemii i fizyce: MBPT i teoria sprzężonych klastrów . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0521818322 .