Półprzewodnikowe równania Blocha

Półprzewodnikowe równania Blocha klasyczne (w skrócie SBE) opisują odpowiedź optyczną półprzewodników wzbudzonych przez spójne źródła światła, takie jak lasery . Opierają się one na pełnej teorii kwantowej i tworzą zamknięty zestaw równań różniczkowo-całkowych dla dynamiki kwantowej mikroskopowej polaryzacji i rozkładu nośników ładunku . Nazwy SBE pochodzą od strukturalnej analogii do optycznych równań Blocha które opisują dynamikę wzbudzenia w dwupoziomowym atomie oddziałującym z klasycznym polem elektromagnetycznym . Jako główną komplikację wykraczającą poza podejście atomowe, SBE muszą zająć się wielu ciał wynikającymi z siły Coulomba między ładunkami i sprzężeniem między wibracjami sieci i elektronami.

Tło

$jako$ półprzewodnika następuje, jeśli można określić jego makroskopową polaryzację $pola$ elektrycznego , które go pobudza. Związek między $mikroskopową polaryzacją$ a mikroskopową polaryzacją jest określony przez ${\ mathbf {k}}}$

$\ Displaystyle \ mathbf {P} = \ mathbf {d} \, \ suma _ {\ mathbf {k}} P _ {\ mathbf {k}} + \ operatorname {cc} \;,}$

$gdzie$ suma obejmuje moment kryształu stanów elektronowych. W optyce półprzewodnikowej zwykle wzbudza się przejścia między pasmem walencyjnym a pasmem przewodnictwa . W związku z tym jest elementem macierzy dipolowej między przewodnictwem a pasmem walencyjnym $odpowiednią$ $.$ amplitudę

Wyprowadzenie SBE zaczyna się od hamiltonianu systemu , który w pełni obejmuje cząstki swobodne , interakcję Coulomba , interakcję dipolową między klasycznym światłem i stanami elektronowymi, a także udział fononów . $}}$ zawsze w $fizyce$ wielu ciał najwygodniej jest zastosować po odpowiednim jest zidentyfikowany. Następnie można wyprowadzić dynamikę kwantową odpowiednich obserwabli , używając równania ruchu Heisenberga ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathcal {O}}}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {i} \ hbar {\ Frac {\ operatorname {d}}} {\ operatorname {d} t}} \ langle {\ kapelusz {\ mathcal {O}}} \ rangle = \ langle [{\ kapelusz {\mathcal {O}}},{\kapelusz {H}}_{\mathrm {System}}]_{-}\rangle \;.}$

$\mathcal {O}}}}$ wielu ciał w $System}}}$ O $Displaystyle {\$ łączy się z nowymi obserwowalnymi i struktury równania nie można zamknąć. Jest to dobrze znany hierarchii BBGKY , który można systematycznie obcinać za pomocą różnych metod, takich jak podejście polegające na rozszerzaniu klastrów .

Na poziomie operatora mikroskopowa polaryzacja jest definiowana przez wartość oczekiwaną dla pojedynczego przejścia elektronicznego między pasmem walencyjnym a pasmem przewodnictwa. W drugiej kwantyzacji elektrony w paśmie przewodnictwa są definiowane przez fermionowe operatory tworzenia i anihilacji ${\ Displaystyle {\ kapelusz {a}} _ {c, {\ mathbf {k}}} ^ {\ sztylet}}$ i odpowiednio ${\ Displaystyle {\ hat {a}} _ {c, {\ mathbf {k}}}}$ . Analogiczna identyfikacja, tj. ${\ Displaystyle {\ kapelusz {a}} _ {v, {\ mathbf {k}}} ^ {\ sztylet}} i za ^ v ,$ k ${a}} _ {v ,{\mathbf {k} }}}$ , jest tworzony dla elektronów pasma walencyjnego. Następnie staje się odpowiednie elektroniczne przejście międzypasmowe

${\ Displaystyle P _ {\ mathbf {k}} ^ {\ gwiazda} = \ langle {\ kapelusz {a}} _ {c, \ mathbf {k}} ^ {\ sztylet} {\ kapelusz {a}} _ { v,\mathbf {k}}\rangle \,,\qquad P_{\mathbf {k}}=\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k}}^{\sztylet}}{\ kapelusz {a}}_{c,\mathbf {k}}\rangle \,,}$

$} k} }}$ z pasma przewodnictwa do pasma walencyjnego ( termin) lub odwrotnie ( $_ {\ mathbf {k}} ^ {\ gwiazda}}$ termin). Jednocześnie wynika z tego rozkład elektronów

${\ Displaystyle f _ {\ mathbf {k}} ^ {e} = \ langle {\ kapelusz {a}} _ {c, \ mathbf {k}} ^ {\ sztylet} {\ kapelusz {a}} _ {c ,\mathbf {k}}\rangle \;.}$

Wygodne jest również śledzenie rozkładu wakatów elektronicznych, tj .

${\ Displaystyle f _ {\ mathbf {k}} ^ {h} = 1 -\langle {\kapelusz {a}}_{v,\mathbf {k}}^{\sztylet}}{\kapelusz {a}}_{v,\mathbf {k}}\rangle =\langle {\kapelusz {a}}_{v,\mathbf {k} }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k}}^{\sztylet}\rangle}$

które pozostają w paśmie walencyjnym w wyniku procesów wzbudzenia optycznego.

Główna struktura SBE

Dynamika kwantowa wzbudzeń optycznych daje równania całkowo-różnicowe , które składają się na SBE

Półprzewodnikowe równania Blocha

${\ Displaystyle \ operatorname {i} \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} P _ {\ mathbf {k}} = {\ tylda {\ varepsilon}} _ {\ mathbf {k}} P_ { \mathbf {k}}-\left[1-f_{\mathbf {k}}^{e}(t)-f_{\mathbf {k}}^{h}(t)\right]\Omega _{ \mathbf {k} }+\mathrm {i} \hbar \left.{\frac {\częściowy }{\częściowy t}}P_{\mathbf {k}}\right|_{\mathrm {rozproszenie} }\ ,,}$

${\ Displaystyle \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} f _ {\ mathbf {k}} ^ {e} = 2 \ nazwa operatora {Im} \ lewo [\ Omega _ {\ mathbf {k}} ^{\star }P_{\mathbf {k}}\right]+\hbar \left.{\frac {\częściowy }{\częściowy t}}f_{\mathbf {k}}^{e}\right| _{\mathrm {rozproszenie}}\,,}$

${\ Displaystyle \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} f _ {\ mathbf {k}} ^ {h} = 2 \ operatorname {im} \ lewo [\ Omega _ {\ mathbf {k}} ^{\star }P_{\mathbf {k}}\right]+\hbar \left.{\frac {\częściowy }{\częściowy t}}f_{\mathbf {k}}^{h}\right| _{\mathrm {rozproszenie}}\;.}$

Zawierają one zrenormalizowaną energię Rabi

${\ Displaystyle \ Omega _ {\ mathbf {k}} = \ mathbf {d} \ cdot \ mathbf {E} + \ suma _ {\mathbf {k} '\neq \mathbf {k} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}P_{\mathbf {k} '}}$

jak również zrenormalizowaną energię nośnika

${\ Displaystyle {\ tylda {\ varepsilon}} _ {\ mathbf {k}} = \ varepsilon _{\mathbf {k}}-\sum _{\mathbf {k} '\neq \mathbf {k} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}\left[f_{\mathbf {k} '}^{e}+f_{\mathbf {k} '}^{h}\right]\,,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ mathbf {k}}}$ odpowiada energii wolnych par elektron-dziura $jest$ podanym elementem macierzy Coulomba pod względem wektora fali nośnej ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$ .

Symbolicznie oznaczony ${\ displaystyle \ lewo. \ cdots \ prawo | _ {\ operatorname {rozproszenie}}}$ wynikają z hierarchicznego sprzężenia spowodowanego interakcjami wielu ciał. Koncepcyjnie ${\ Displaystyle P _ {\ mathbf {k}}}$ , ${\ Displaystyle f _ {\ mathbf {k}} ^ {e}}$ i ${\ Displaystyle f _ {\ mathbf {k} } }^{h}}$ są wartościami oczekiwanymi dla pojedynczych cząstek, podczas gdy sprzężenie hierarchiczne pochodzi z korelacji dwucząstkowych, takich jak korelacje polaryzacja-gęstość lub korelacje polaryzacja-fonon. Fizycznie te dwucząstkowe korelacje wprowadzają kilka nietrywialnych efektów, takich jak $badanie$ przesiewowe interakcji $_ {\ mathbf {k}} ^ {e}}$ , rozpraszanie typu Boltzmanna fa ${\ mathbf {k}} ^ {h}}$ w kierunku rozkładu Fermiego – Diraca , defazowania wywołanego wzbudzeniem i dalej renormalizacja energii w wyniku korelacji.

Wszystkie te efekty korelacji można systematycznie uwzględnić, rozwiązując również dynamikę korelacji dwucząstkowych. Na tym poziomie zaawansowania można użyć SBE do przewidywania odpowiedzi optycznej półprzewodników bez fenomenologicznych , co daje SBE bardzo wysoki stopień przewidywalności. Rzeczywiście, można użyć SBE do przewidywania odpowiednich projektów laserów dzięki dokładnej wiedzy, którą wytwarzają na temat widma wzmocnienia półprzewodnika . Można nawet użyć SBE do wywnioskowania istnienia korelacji, takich jak związane ekscytony, z pomiarów ilościowych.

Przedstawione SBE są sformułowane w przestrzeni pędu, ponieważ pęd kryształu $wynika$ . Równoważny zestaw równań można również sformułować w przestrzeni pozycyjnej. Jednak zwłaszcza obliczenia korelacji są znacznie prostsze do wykonania w przestrzeni pędu.

Interpretacja i konsekwencje

Charakterystyczne widmo absorpcji liniowej

masowych

SBE Zanik polaryzacji jest aproksymowany stałą zaniku

{\ Displaystyle \ hbar \ gamma = 0,13 \, \ operatorname {

}

jest obliczany

{\ Displaystyle E}

pola pompy mi . Energia

przesunięta

względem energii a Ze względu na małą stosowaną stałą odfazowania, kilka rezonansów ekscytonowych pojawia się znacznie poniżej energii pasma wzbronionego. Wielkość rezonansów o wysokiej energii jest mnożona przez 5, aby uzyskać widoczność.

P ${k}}}$ $polaryzacjami$ dynamika pokazuje strukturę, w której pojedyncza ze wszystkimi innymi mikroskopijnymi w wyniku interakcji Coulomba ${\ Displaystyle V _ {\ mathbf {k}}}$ . Dlatego amplituda przejścia $.$ zbiorczo modyfikowana przez obecność innych amplitud Tylko jeśli ustawi się ${\ displaystyle V _ {\ mathbf {k}}}$ $przewidują$ można znaleźć izolowane przejścia , które mają dokładnie taką samą dynamikę, jak optyczne równania Blocha . Dlatego już interakcja Coulomba między sobą $.$ efekt ciała stałego w porównaniu z przejściami optycznymi w prostych atomach

Koncepcyjnie jest to po prostu amplituda przejścia dla wzbudzenia elektronu z pasma walencyjnego do $przewodnictwa$ Jednocześnie jednorodna część dynamiki daje problem z wartością własną $uogólnionego$ który można wyrazić za pomocą Wanniera . Stany własne równania Wanniera są analogiczne do związanych rozwiązań problemu wodoru w mechanice kwantowej. Są one często określane jako ekscytony rozwiązań i formalnie opisują wiązanie kulombowskie przez przeciwnie naładowane elektrony i dziury.

Jednak prawdziwy ekscyton jest prawdziwą korelacją dwucząstkową, ponieważ trzeba wtedy mieć korelację między jednym elektronem a drugą dziurą. Dlatego pojawienie $.$ rezonansów ekscytonów w polaryzacji nie oznacza obecności ekscytonów, ponieważ jest amplitudą pojedynczej cząstki Rezonanse ekscytonowe są bezpośrednią konsekwencją sprzężenia kulombowskiego wśród wszystkich przejść możliwych w układzie. Innymi słowy, na same przejścia pojedynczych cząstek wpływa interakcja Coulomba, co umożliwia wykrycie rezonansu ekscytonów w odpowiedzi optycznej, nawet jeśli prawdziwe ekscytony nie są obecne.

Dlatego często zwyczajowo określa się rezonanse optyczne jako rezonanse ekscytonowe zamiast rezonansów ekscytonowych. Rzeczywistą rolę ekscytonów w odpowiedzi optycznej można wywnioskować jedynie na podstawie zmian ilościowych indukujących szerokość linii i przesunięcie energii rezonansów ekscytonowych.

Rozwiązania równania Wanniera dają cenny wgląd w podstawowe właściwości odpowiedzi optycznej półprzewodnika. W szczególności można rozwiązać rozwiązania SBE w stanie ustalonym, aby analitycznie przewidzieć widmo absorpcji optycznej za pomocą tak zwanego wzoru Elliotta . W tej postaci można zweryfikować, że niewzbudzony półprzewodnik wykazuje kilka rezonansów absorpcji ekscytonowej znacznie poniżej podstawowej energii pasma wzbronionego. Oczywiście ta sytuacja nie może dotyczyć sondowania ekscytonów, ponieważ początkowy układ wielociałowy nie zawiera od początku elektronów i dziur. Co więcej, sondowanie można w zasadzie przeprowadzić tak delikatnie, że zasadniczo nie wzbudza się par elektron-dziura. Ten Gedanken dobrze ilustruje, dlaczego można wykryć rezonanse ekscytonowe bez ekscytonów w systemie, a wszystko to dzięki sprzężeniu kulombowskiemu między amplitudami przejściowymi.

Rozszerzenia

SBE są szczególnie przydatne przy rozwiązywaniu problemu propagacji światła przez strukturę półprzewodnikową. W tym przypadku należy rozwiązać SBE razem z równaniami Maxwella opartymi na polaryzacji optycznej. Ten spójny zestaw nosi nazwę Maxwell-SBE i jest często stosowany do analizy współczesnych eksperymentów i symulacji projektów urządzeń.

Na tym poziomie SBE zapewniają niezwykle wszechstronną metodę, która opisuje zarówno zjawiska liniowe, jak i nieliniowe, takie jak efekty ekscytonowe , efekty propagacji, efekty mikrownęk półprzewodnikowych , mieszanie czterofalowe , polarytony w mikrownękach półprzewodnikowych, spektroskopia wzmocnienia i tak dalej. Można również uogólnić SBE, włączając wzbudzenie polami terahercowymi (THz), które zwykle rezonują z przejściami wewnątrzpasmowymi. Można również kwantyzować pole świetlne i badać optykę kwantową efekty, które wynikają. W tej sytuacji SBE zostają sprzężone z równaniami luminescencji półprzewodników .

Zobacz też

Dalsza lektura

Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Fizyka ciała stałego . Holta, Rineharta i Winstona . ISBN 978-0-03-083993-1 .
Szach, J. (1999). Ultraszybka spektroskopia półprzewodników i nanostruktur półprzewodnikowych (wyd. 2). Skoczek. ISBN 978-3-540-64226-8 .
Kittel, C. (2004). Wprowadzenie do fizyki ciała stałego (wyd. 8). Świat naukowy. ISBN 978-0471415268 .
Haug, H.; Kocha, SW (2009). Teoria kwantowa właściwości optycznych i elektronicznych półprzewodników (wyd. 5). Świat naukowy. ISBN 978-9812838841 .
Klingshirn, CF (2006). Optyka półprzewodnikowa . Skoczek. ISBN 978-3540383451 .
Kira, M.; Kocha, SW (2011). Półprzewodnikowa optyka kwantowa . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0521875097 .

^ ^a ^b Lindberg, M .; Kocha, SW (1988). „Efektywne równania Blocha dla półprzewodników”. Przegląd fizyczny B 38 (5): 3342–3350. doi: 10,1103% 2FPhysRevB.38.3342
Bibliografia _ Wegener, M. (2002). Optyka półprzewodnikowa i zjawiska transportowe . Skoczek. ISBN 3540616144 .
^ ^abc ^{Haug ,}^H .; Kocha, SW (2009). Teoria kwantowa właściwości optycznych i elektronicznych półprzewodników (wyd. 5). Świat naukowy. P. 216. ISBN 9812838848 .
^ ^a ^b Kira, M .; Kocha, SW (2011). Półprzewodnikowa optyka kwantowa . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0521875097 .
^ ^a ^b Kira, M .; Kocha, SW (2006). „Korelacje wielu ciał i efekty ekscytonowe w spektroskopii półprzewodników”. Postęp w elektronice kwantowej 30 (5): 155–296. doi: 10.1016/j.pquantelec.2006.12.002
^ ^a ^b Smith, RP; Wahlstrand, JK; funk, AC; Mirin, RP; Cundiff, ST; Steiner, JT; Schafer, M.; Kira, M. i in. (2010). „Ekstrakcja konfiguracji wielu ciał z nieliniowej absorpcji w półprzewodnikowych studniach kwantowych”. Listy przeglądu fizycznego 104 (24). doi: 10.1103/PhysRevLett.104.247401
^ Stahl, A. (1984). „Elektrodynamika krawędzi pasma w półprzewodniku z bezpośrednią przerwą”. Komunikacja półprzewodnikowa 49 (1): 91–93. doi: 10.1016/0038-1098(84)90569-6
^ ^ab ^Koch , SW; Kira, M.; Khitrova, G. ; Gibbs, HM (2006). „Ekscytony półprzewodnikowe w nowym świetle”. Materiały przyrodnicze 5 (7): 523–531. doi: 10.1038/nmat1658
^ Klingshirn CF (2006). Optyka półprzewodnikowa . Skoczek. ISBN 978-3540383451 .

[Lindberg88-1] Lindberg, M .; Kocha, SW (1988). „Efektywne równania Blocha dla półprzewodników”. Przegląd fizyczny B 38 (5): 3342–3350. doi: 10,1103% 2FPhysRevB.38.3342

[Schafer2002-2] Bibliografia _ Wegener, M. (2002). Optyka półprzewodnikowa i zjawiska transportowe . Skoczek. ISBN 3540616144 .

[Haug2009-3] {Haug ,}^H .; Kocha, SW (2009). Teoria kwantowa właściwości optycznych i elektronicznych półprzewodników (wyd. 5). Świat naukowy. P. 216. ISBN 9812838848 .

[Kira2011-4] Kira, M .; Kocha, SW (2011). Półprzewodnikowa optyka kwantowa . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0521875097 .

[Kira2006-5] Kira, M .; Kocha, SW (2006). „Korelacje wielu ciał i efekty ekscytonowe w spektroskopii półprzewodników”. Postęp w elektronice kwantowej 30 (5): 155–296. doi: 10.1016/j.pquantelec.2006.12.002

[Smith2010-6] Smith, RP; Wahlstrand, JK; funk, AC; Mirin, RP; Cundiff, ST; Steiner, JT; Schafer, M.; Kira, M. i in. (2010). „Ekstrakcja konfiguracji wielu ciał z nieliniowej absorpcji w półprzewodnikowych studniach kwantowych”. Listy przeglądu fizycznego 104 (24). doi: 10.1103/PhysRevLett.104.247401

[Stahl1984-7] Stahl, A. (1984). „Elektrodynamika krawędzi pasma w półprzewodniku z bezpośrednią przerwą”. Komunikacja półprzewodnikowa 49 (1): 91–93. doi: 10.1016/0038-1098(84)90569-6

[Koch2006-8] Koch , SW; Kira, M.; Khitrova, G. ; Gibbs, HM (2006). „Ekscytony półprzewodnikowe w nowym świetle”. Materiały przyrodnicze 5 (7): 523–531. doi: 10.1038/nmat1658

[Klingshirn2006-9] Klingshirn CF (2006). Optyka półprzewodnikowa . Skoczek. ISBN 978-3540383451 .