Równanie Wanniera

Równanie Wanniera opisuje kwantowo-mechaniczny problem wartości własnej w ciałach stałych , w którym elektron w paśmie przewodnictwa i wakat elektronowy (tj. dziura) w paśmie walencyjnym przyciągają się poprzez oddziaływanie kulombowskie . Dla jednego elektronu i jednej dziury problem ten jest analogiczny do równania Schrödingera atomu wodoru ; a w stanie związanym nazywane są ekscytonami . Kiedy promień ekscytonu rozciąga się na kilka komórek elementarnych , określany jest jako ekscyton Wanniera w przeciwieństwie do ekscytonów Frenkla , których wielkość jest porównywalna z komórką elementarną. Wzbudzone ciało stałe zazwyczaj zawiera wiele elektronów i dziur; to znacznie modyfikuje równanie Wanniera. Otrzymane uogólnione równanie Wanniera można wyznaczyć z jednorodnej części półprzewodnikowych równań Blocha lub równań luminescencji półprzewodników .

Równanie nosi imię Gregory'ego Wanniera .

Tło

Ponieważ elektron i dziura mają przeciwne ładunki , ich wzajemne oddziaływanie kulombowskie jest atrakcyjne. Odpowiednie równanie Schrödingera we współrzędnych względnych ma taką samą postać jak atom wodoru: ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

{\ Displaystyle - \ lewo [{\ Frac {\ hbar ^ {2} \ nabla ^ {2 }}{2\mu }}+V(\mathbf {r} )\right]\phi _{\lambda }(\mathbf {r} )=E_{\lambda }\phi _{\lambda }(\mathbf {R} )\,,}

z potencjałem podanym przez

{\ Displaystyle V (\ mathbf {r}) = {\ Frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {r} \ varepsilon _ {0} | \ mathbf {r} |}} \ ,. }

Tutaj $}$ $,$ $hbar$ jest stałą Plancka , jest operatorem nabla jest zmniejszoną masą , ${\ Displaystyle - | e |}$ ( ${\ Displaystyle + | e |}$ ) to elementarny ładunek związany z elektronem (dziurą), ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ $próżniową$ jest przenikalność względna i jest przenikalnością . Rozwiązania $Displaystyle E _ {\$ wodoru $są$ opisane przez własną i energię własną, mi $\$ $displaystyle \lambda }$ to liczba kwantowa określająca różne stany.

W bryle skalowanie $falowej różnią się o rzędy wielkości od problemu wodoru$ ponieważ względna przenikalność elektryczna $.$ dziesięciu a masa zredukowana w ciele stałym jest znacznie mniejsza niż masa spoczynkowa elektronu , tj. ${\ displaystyle m_ {e}}$ ${\ displaystyle \ mu \ ll m_ {e}}$ . W rezultacie promień ekscytonu może być duży, a energia wiązania ekscytonu jest mały, zwykle od kilku do setek meV , w zależności od materiału, w porównaniu z eV w przypadku problemu z wodorem.

Przekształconą Fouriera wersję przedstawionego hamiltonianu można zapisać jako

{\ Displaystyle E _ {\ mathbf {k}} \ phi _ {\ lambda} ( \mathbf {k} )-\sum _{\mathbf {k'} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k'} }\phi _{\lambda }(\mathbf {k'} )=E_ {\lambda}\phi _{\lambda}(\mathbf {k})\,,}

gdzie jest elektronicznym wektorem falowym , $}}}$ $k$ jest energią kinetyczną i ${\ Displaystyle V _ {\ mathbf {k}}}$ $} (\ mathbf {k})}$ lambda to transformaty Fouriera ${\ Displaystyle V (\ mathbf {r})}$ , odpowiednio ${\ Displaystyle \ phi _ {\ lambda} (\ mathbf {r})}$ Sumy kulombowskie wynikają z twierdzenia o splotach , a reprezentacja $-$ jest przydatna przy wprowadzaniu uogólnionego równania Wanniera

Uogólnione równanie Wanniera

Równanie Wanniera można uogólnić, uwzględniając obecność wielu elektronów i dziur w układzie wzbudzonym. Można zacząć od ogólnej teorii wzbudzeń optycznych lub emisji światła w półprzewodnikach , które można systematycznie opisać za pomocą odpowiednio półprzewodnikowych równań Blocha (SBE) lub równań luminescencji półprzewodników (SLE). Części jednorodne z tych równań daje równanie Wanniera na granicy małej gęstości. Dlatego jednorodne części SBE i SLE zapewniają fizycznie znaczący sposób identyfikacji ekscytonów na dowolnych poziomach wzbudzenia. Otrzymane uogólnione równanie Wanniera to

{\ Displaystyle {\ tylda {\ epsilon}} _ {\ mathbf {k}} \ phi _ {\ lambda} ^ {\ operatorname {R}} (\ mathbf {k}) - \ suma _ {\ mathbf {k '} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k'} }^{\mathrm {eff} }\phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k'} )= \epsilon _{\lambda }\phi _{\lambda }^{\mathrm {R}}(\mathbf {k} )\,,}

gdzie energia kinetyczna ulega renormalizacji

{\ Displaystyle {\ tylda {\ epsilon}} _ {\ mathbf {k}} = E_ {\ mathbf {k} }-\suma _{\mathbf {k} '}V_{{\mathbf {k}}'-{\mathbf {k}}}\left(f_{\mathbf {k} '}^{ e}+f_{\mathbf {k} '}^{h}\right)\,,}

${$ przez zajęcia elektronów i dziur $\ mathbf {k}} ^ {e}}$ \ . Modyfikują one również interakcję kulombowską

{\ Displaystyle V _ {\ mathbf {k} -\ mathbf {k'}} ^ {\ operatorname {eff } }\równ. mathbf {k'} }\,,}

gdzie ${\ Displaystyle (1-f _ {\ mathbf {k}} ^ {\ operatorname {e}} -f _ {\ mathbf {k}} ^ {\ operatorname {h} })}$ osłabia oddziaływanie kulombowskie poprzez tzw. współczynnik wypełnienia przestrzeni fazowej, który wynika z zasady wykluczenia Pauliego zapobiegającej wielokrotnym wzbudzeniom fermionów. Ze względu na współczynnik wypełnienia przestrzeni fazowej przyciąganie kulombowskie staje się odpychające dla poziomów wzbudzeń ${\ Displaystyle f _ {\ mathbf {k}} ^ {\ operatorname {e}} + f _ {\ mathbf {k}} ^ {\ operatorname {h}}> 1}$ . W tym reżimie uogólnione równanie Wanniera daje tylko niezwiązane rozwiązania, które wynikają z ekscytonowego przejścia Motta od związanych do zjonizowanych par elektron-dziura.

Kiedy istnieją gęstości elektron-dziura, uogólnione równanie Wanniera nie jest już hermitowskie . W rezultacie problem wartości własnej ma zarówno ${\ Displaystyle \ fi _ {\ lambda} ^ {\ operatorname {R}} (\ mathbf {k})}$ jak i prawoskrętne stany własne i ${\ Displaystyle \ phi _ {\ lambda} ^ {\ operatorname {L}} (\ mathbf {k})$ } odpowiednio. Są one połączone przez współczynnik wypełnienia przestrzeni fazowej, czyli ${\ Displaystyle \ phi _ {\ lambda} ^ {\ operatorname {L}} (\ mathbf {k}) = \ phi _ { \lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} )/(1-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {e}}-f_{\mathbf {k} }^{\ matematyczna {h} })}$ . Stany własne lewoskrętne i prawoskrętne mają tę samą wartość własną ${\ Displaystyle E _ {\ lambda}}$ (to jest wartość rzeczywista dla pokazanej formy) i od tego czasu tworzą kompletny zestaw rozwiązań ortogonalnych

{\ Displaystyle \ suma _ {\ mathbf { k} }\left[\phi _{\lambda }^{L}(\mathbf {k} )\right]^{\star }\,\phi _{\nu }^{R}(\mathbf {k } )=\sum _{\mathbf {k}}\left[\phi _{\lambda }^{R}(\mathbf {k} )\right]^{\star }\,\phi _{\nu }^{L}(\mathbf {k} )=\delta _{\lambda ,\nu }}

.

Równania Wanniera można również uogólnić, aby uwzględnić efekty rozpraszania i przesiewania, które pojawiają się w wyniku korelacji dwóch cząstek w SBE. To rozszerzenie daje również lewoskrętny i prawoskrętny stan własny, ale ich połączenie jest bardziej skomplikowane niż przedstawiono powyżej. Dodatkowo $}$ Displaystyle $_ {\ lambda}$ $,$ a część urojona definiuje czas życia rezonansu

Fizycznie uogólnione równanie Wanniera opisuje, w jaki sposób obecność innych par elektron-dziura modyfikuje wiązanie jednej efektywnej pary. Jako główne konsekwencje, wzbudzenie ma tendencję do osłabiania oddziaływania kulombowskiego i renormalizacji energii pojedynczej cząstki w najprostszej postaci. Po uwzględnieniu efektów korelacji dodatkowo obserwuje się badanie przesiewowe interakcji kulombowskiej, rozfazowanie wywołane wzbudzeniem i przesunięcia energii wywołane wzbudzeniem. Wszystkie te aspekty są ważne, gdy szczegółowo wyjaśnia się eksperymenty z półprzewodnikami.

Aplikacje

badane są wzbudzenia blisko dna pasm elektronowych . W materiałach nanostrukturalnych , takich jak studnie kwantowe , druty kwantowe i kropki kwantowe $,$ element matrycy Coulomba silnie odbiega od dwu- i trójwymiarowych ze względu na skończony ograniczenie kwantowe stanów elektronicznych. W związku z tym w takich sytuacjach nie można analitycznie rozwiązać równania Wanniera o zerowej gęstości, ale należy skorzystać z numerycznych solwerów wartości własnych. Ogólnie rzecz biorąc, możliwe są tylko rozwiązania numeryczne dla wszystkich przypadków półprzewodników, gdy stany ekscytonów są rozwiązywane w wzbudzonej materii. Dalsze przykłady przedstawiono w kontekście wzoru Elliotta .

Zobacz też