Zmniejszona masa

W fizyce masa zredukowana jest „efektywną” masą bezwładności pojawiającą się w problemie dwóch ciał mechaniki Newtona . Jest to wielkość, która pozwala rozwiązać problem dwóch ciał tak, jakby był to problem jednego ciała . Należy jednak pamiętać, że masa determinująca siłę grawitacji nie ulega zmniejszeniu . W obliczeniach jedna masa może zastąpić masą zredukowaną, jeżeli zostanie to skompensowane poprzez zastąpienie drugiej masy sumą obu mas. Masa zredukowana jest często oznaczana przez $)$$)$ , chociaż standardowy parametr grawitacyjny jest również oznaczany przez (podobnie jak wiele innych wielkości fizycznych . Ma wymiary masy i jednostki SI kg.

Równanie

Mając dane dwa ciała, jedno o masie m ₁ i drugie o masie m ₂ , równoważnym problemem jednego ciała, w którym położenie jednego ciała względem drugiego jest nieznane, jest zagadnienie pojedynczego ciała o masie

${\ Displaystyle \ mu = {\ cfrac {1} {{\ cfrac {1} {m_ {1}}} + {\ cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},\!\,}$

gdzie siła działająca na tę masę jest określona przez siłę między dwoma ciałami.

Nieruchomości

Masa zredukowana jest zawsze mniejsza lub równa masie każdego ciała:

${\ Displaystyle \ mu \ równoważnik m_ {1}, \ quad \ mu \ równoważnik m_ {2} \! \,}$

i ma właściwość wzajemnego dodawania:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ mu}} = {\ Frac {1} {m_ {1}}} + {\ Frac {1} {m_ {2} }}\,\!}$

co po ponownym rozmieszczeniu jest równe połowie średniej harmonicznej .

W szczególnym przypadku, gdy: ${\ displaystyle m_ {1}= m_ {2}$ }

${\ Displaystyle {\ mu} = {\ Frac {m_ {1}} {2}} = {\ Frac {m_ {2}} {2}} \, \!}$

Jeśli , to m $\ gg$$\ displaystyle$ }

Pochodzenie

Równanie można wyprowadzić w następujący sposób.

Mechanika Newtona

Główny artykuł: mechanika Newtona

Korzystając z drugiego prawa Newtona , siła wywierana przez ciało (cząstka 2) na inne ciało (cząstka 1) wynosi:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = m_ {1} \ mathbf {a} _ {1}}$

Siła wywierana przez cząstkę 1 na cząstkę 2 wynosi:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {21} = m_ {2} \ mathbf {a} _ {2}}$

Zgodnie z trzecim prawem Newtona siła, jaką cząstka 2 wywiera na cząstkę 1, jest równa i przeciwna sile, jaką cząstka 1 wywiera na cząstkę 2:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = - \ mathbf {F} _ {21}}$

Dlatego:

${\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {a} _ {1} = -m_ {2} \ mathbf {a} _ { 2}\;\;\Rightarrow \;\;\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}}$

Przyspieszenie względne a _rel pomiędzy dwoma ciałami wyraża się wzorem:

${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {\ rm {rel}}: = \ mathbf {a} _ {1} - \ mathbf {a} _ {2} = \ lewo (1 + {\ Frac {m_ {1} }}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1 }\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}}$

$\mathbf {x} _{\rm {rel}}}$ pochodna jest operatorem liniowym) przyspieszenie względne $równe$ przyspieszeniu separacji. $rel}}}$ pomiędzy dwiema cząstkami.

${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {\ rm {rel}} = \ mathbf {a} _ {1} - \ mathbf {a} _ {2} = {\ Frac {d ^ {2} \ mathbf {x } _{1}}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{ 2}}{dt^{2}}}(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2})={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\ rm {rel}}}{dt^{2}}}}$

$to$ opis układu do jednej siły $\ rm {rel}}}$ współrzędnej i jedną masę ${\ displaystyle \ mu} {\ displaystyle \ mathbf {x} _$ { W ten sposób sprowadziliśmy nasz problem do jednego stopnia swobody i możemy stwierdzić, że cząstka 1 porusza się względem położenia cząstki 2 jako pojedyncza cząstka o masie równej masie $.$ .

Mechanika Lagrange'a

Główny artykuł: mechanika Lagrangianu

Alternatywnie, lagrangiański opis problemu dwóch ciał daje Lagrangianu

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {1 \ ponad 2} m_ {1 }\mathbf {\kropka {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\kropka {r}} _{2}^{2}-V(| \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)\!\,}$

gdzie $_$ wektorem $.$$)$ _ _ Energia potencjalna V jest funkcją, ponieważ zależy tylko od bezwzględnej odległości między cząstkami. Jeśli zdefiniujemy

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}}$

i niech środek masy pokrywa się z naszym początkiem w tym układzie odniesienia, tj

${\ Displaystyle m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {r} _ {2} = 0$ }

Następnie

${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = {\ Frac {m_ {2} \ mathbf {r}} {m_ {1} + m_ {2}}}, \; \ mathbf {r} _ {2 }=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}$

Następnie podstawienie powyżej daje nowy Lagrangian

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {1 \ ponad 2} \ mu \ mathbf {\ kropka {r}} ^ {2} -V (r ),}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ mu = {\ Frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

jest masą zredukowaną. W ten sposób zredukowaliśmy problem dwóch ciał do problemu jednego ciała.

Aplikacje

Zredukowaną masę można zastosować w wielu problemach z dwoma ciałami, gdzie ma zastosowanie mechanika klasyczna.

Moment bezwładności dwóch mas punktowych w linii

Dwie masy punktowe obracające się wokół środka masy.

W układzie z dwoma masami punktowymi $takimi$ , że są współliniowe, dwie odległości i $m_$${1}}$ do osi obrotu można $znaleźć$

$${\ Displaystyle r_ {1} = R {\ Frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$$

$${\ Displaystyle r_ {2} = R {\ Frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$$

gdzie jest sumą obu odległości. $R$$\ displaystyle R = r_ {1} + r_ {2}$ }

Dotyczy to obrotu wokół środka masy. Moment bezwładności wokół tej osi można następnie uprościć do postaci

$${\ Displaystyle I = m_ {1} r_ {1} ^ {2} + m_ {2} r_ {2} ^ {2} = R ^ {2} {\ Frac {m_ {1} m_ {2} ^ { 2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}+R^{2}{\frac {m_{1}^{2}m_{2}}{(m_{1} +m_{2})^{2}}}=\mu R^{2}.}$$

Zderzenia cząstek

W zderzeniu ze współczynnikiem restytucji e zmianę energii kinetycznej można zapisać jako

${\ Displaystyle \ Delta K = {\ Frac {1} {2}} \ mu v _ {\ rm {rel}} ^ {2} (e ^{2}-1)}$ ,

gdzie _vrel jest względną prędkością ciał przed zderzeniem .

W typowych zastosowaniach w fizyce jądrowej, gdzie masa jednej cząstki jest znacznie większa od drugiej, masę zredukowaną można w przybliżeniu określić jako mniejszą masę układu. Granicą wzoru na masę zredukowaną, gdy jedna masa zmierza do nieskończoności, jest mniejsza masa, dlatego to przybliżenie jest stosowane w celu ułatwienia obliczeń, zwłaszcza gdy nie jest znana dokładna masa większej cząstki.

Ruch dwóch masywnych ciał pod wpływem ich przyciągania grawitacyjnego

W przypadku energii potencjalnej grawitacji

${\ Displaystyle V (|\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2} |) = - {\ Frac {Gm_ {1} m_ {2}} {|\ mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\,,}$

stwierdzamy, że położenie pierwszego ciała względem drugiego reguluje to samo równanie różniczkowe, co położenie ciała o zredukowanej masie krążącego wokół ciała o masie równej sumie obu mas, ponieważ

${\ Displaystyle m_ {1} m_ {2} = (m_ {1} + m_ {2}) \ mu \! \,}$

Nierelatywistyczna mechanika kwantowa

Rozważmy elektron (masa m _e ) i proton (masa m _p ) w atomie wodoru . Okrążają się wokół wspólnego środka masy, czyli problemu dwóch ciał. Aby przeanalizować ruch elektronu, problem jednego ciała, masa zredukowana zastępuje masę elektronu

${\ Displaystyle m_ {e} \rightarrow {\ Frac {m_ {e} m_ {p}} {m_ {e} + m_ {p}}}}$

a masa protonu staje się sumą dwóch mas

${\ displaystyle m_ {p} \rightarrow m_ {e} + m_ {p}}$

Pomysł ten służy do ustalenia równania Schrödingera dla atomu wodoru.

Inne zastosowania

„Masa zredukowana” może również odnosić się bardziej ogólnie do terminu algebraicznego w postaci

${\ Displaystyle x ^ {*} = {1 \ ponad {1 \ ponad x_ {1}} + {1 \ ponad x_ { 2}}}={x_{1}x_{2} \over x_{1}+x_{2}}\!\,}$

to upraszcza równanie postaci

${\ Displaystyle \ {1 \ ponad x ^ {*}} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {1 \ ponad x_ {i}} = {1 \ ponad x_ {1}} + {1 \ ponad x_{2}}+\cdots +{1 \ponad x_{n}}.\!\,}$

Zredukowaną masę zazwyczaj wykorzystuje się jako relację pomiędzy dwoma elementami układu połączonymi równolegle, takimi jak rezystory ; niezależnie od tego, czy dotyczą one dziedzin elektrycznych, termicznych, hydraulicznych czy mechanicznych. Podobne wyrażenie pojawia się w drganiach poprzecznych belek dla modułów sprężystości. Zależność tę wyznaczają właściwości fizyczne elementów oraz równanie ciągłości .

Zobacz też

• Rama środka pędu
• Zachowanie pędu
• Równanie definiujące (fizyka)
• Oscylator harmoniczny
• Masa Chirpa , relatywistyczny odpowiednik stosowany w ekspansji ponewtonowskiej

Linki zewnętrzne

• Zmniejszona masa w HyperPhysics