DMRG modelu Heisenberga

W ramach badania kwantowego problemu wielu ciał w fizyce analiza DMRG modelu Heisenberga jest ważnym teoretycznym przykładem zastosowania technik grupy renormalizacji macierzy gęstości (DMRG) do modelu łańcucha spinów Heisenberga . W tym artykule przedstawiono „nieskończony” algorytm DMRG dla $antyferromagnetycznego łańcucha Heisenberga$ przepis można zastosować do każdej niezmiennej translacyjnie jednowymiarowej .

DMRG jest techniką grupy renormalizacji , ponieważ oferuje wydajne obcięcie przestrzeni Hilberta jednowymiarowych układów kwantowych.

Algorytm

Punkt startowy

Aby zasymulować nieskończony łańcuch, zaczynając od czterech miejsc. Pierwsza to strona z blokiem , ostatnia strona z blokiem wszechświata , a pozostałe to dodane witryny , prawy jest dodawany do witryny z blokiem wszechświata, a drugi do witryny z blokiem.

Przestrzeń Hilberta dla pojedynczego miejsca to ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$ z podstawą ${\ Displaystyle \ {| S, S_ {z} \ ranga \} \ równoważnik \ {| 1,1 \ ranga, | 1,0 \ ranga, | 1, -1 \ ranga \}}$ . W przypadku tej podstawy spinu są ${\ displaystyle S_ {x}}$ , ${\ displaystyle S_ {y}}$ i ${\ displaystyle S_ {z}}$ dla pojedynczej witryny. Dla każdego $bloku ,$ bloków i dwóch miejsc, istnieje jego własna przestrzeń Hilberta , jego ${\ Displaystyle \ {| w_ {i} \ rangle \}}$ ( ${\ Displaystyle i: 1 \ kropki \ słaby ({\ mathfrak {H}} _ { b})}$ ) i własnych operatorów

{\ Displaystyle O_ {b}: {\ mathfrak {H}} _ {b} \ rightarrow {\ mathfrak {H}} _ {b}}

Gdzie

blok: ${\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} _ {B}}$ , ${\ Displaystyle \ {| u_ {i} \ rangle \}}$ , ${\ Displaystyle H_ {B}}$ , ${\ Displaystyle S_ {x_ {B}}}$ , ${ \ Displaystyle S_ {y_ {B}}}$ , ${\ Displaystyle S_ {z_ {B}}}$
po lewej stronie: ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}} _ {l}}$ , ${\ Displaystyle \ {| t_ {i} \ rangle \}}$ , ${\ Displaystyle S_ {x_ {l}}}$ , ${\ Displaystyle S_ {y_ {l}}}$ , ${\ Displaystyle S_ {z_ {l}}}$
po prawej stronie: ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}} _ {r}}$ , ${\ Displaystyle \ {| s_ {i} \ rangle \}}$ , ${\ Displaystyle S_ {x_ {r}}}$ , ${\ Displaystyle S_ {y_ {r}}}$ , ${\ Displaystyle S_ {z_ {r}}}$
wszechświat: ${\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} _ {U}}$ , ${\ Displaystyle \ {| r_ {i} \ rangle \}}$ , ${\ Displaystyle H_ {U}}$ , ${\ Displaystyle S_ {x_ {U}}}$ , ${ \ Displaystyle S_ {y_ {U}}}$ , ${\ Displaystyle S_ {z_ {U}}}$

W punkcie początkowym wszystkie cztery przestrzenie Hilberta są równoważne , wszystkie operatory spinu są równoważne $,$ ${\ Displaystyle S_ {x}}$ $\ Displaystyle S_ {y} }$ i ${\ Displaystyle S_ {z}}$ i ${\ Displaystyle H_ {B} = H_ {U} = 0}$ . W kolejnych iteracjach dotyczy to tylko lewej i prawej strony.

Krok 1: Utwórz macierz Hamiltona dla superbloku

$lewej stronie$ cztery operatory bloków i cztery operatory bloków wszechświata, które w pierwszej iteracji są macierzami , i trzej operatorzy spinu po prawej stronie które $_$ . Macierz hamiltonowska superbloku (łańcucha), który w pierwszej iteracji ma tylko cztery miejsca, jest tworzona przez tych operatorów . W antyferromagnetycznym modelu Heisenberga S=1 hamiltonian to:

${\ Displaystyle \ mathbf {H} _ {SB} = - J \ suma _ {\langle i,j\rangle }\mathbf {S} _{x_{i}}\mathbf {S} _{x_{j}}+\mathbf {S} _{y_{i}}\mathbf {S } _{y_{j}}+\mathbf {S} _{z_{i}}\mathbf {S} _{z_{j}}}$

$_ \otimes {\mathfrak {H}}_{l}\otimes {\mathfrak {H}}_{r}\otimes {\mathfrak {H}}_{U}} podstawa$ superbloku to ${\ Displaystyle \ {| f \ rangle = | u \ rangle \ czasami | t \ rangle \ razy | s \ rangle \ razy | r \ rangle \}}$ . Na przykład: (konwencja):

${\ Displaystyle | 1000 \ kropek 0 \ rangle \ równoważnik | f_ {1} \ rangle = | u_ {1}, t_ {1}, s_ {1}, r_ {1} \ rangle \równoważnik |100100100100\rangle }$

${\ Displaystyle | 0100 \ punktów 0 \ ranga \ równoważnik | f_ {2} \ rangle = | u_ {1}, t_ {1}, s_ {1}, r_ {2} \ rangle \równoważnik |100100100010\rangle }$

Hamiltonian w postaci DMRG to (ustawiamy ): ${\ Displaystyle J = -1}$ :

${\ Displaystyle \ mathbf {H} _ {SB} = \ mathbf {H} _{B}+\mathbf {H} _{U}+\suma _{\langle i,j\rangle }\mathbf {S} _{x_{i}}\mathbf {S} _{ x_{j}}+\mathbf {S} _{y_{i}}\mathbf {S} _{y_{j}}+\mathbf {S} _{z_{i}}\mathbf {S} _{ z_{j}}}$

Operatory to ${\ Displaystyle (d * 3 * 3 * d) \ razy (d * 3 * 3 * d)}$ macierze, ${\ Displaystyle d = \ ciemny ({\ mathfrak {H}} _ {B}) \ równoważnik \ ciemny ({\ mathfrak {H}} _ {U}) }$ , na przykład:

${\ Displaystyle \ langle f | \ mathbf {H} _ {B} | f '\ rangle \ równoważnik \ langle u, t, s, r | H_ {B} \ otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} |u',t',s',r'\rangle }$

${\ Displaystyle \ mathbf {S} _ {x_ {B}} \ mathbf {S} _{x_{l}}=S_{x_{B}}\mathbb {I} \otimes \mathbb {I} S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \mathbb {I} =S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} }$

Krok 2: Diagonalizuj hamiltonian superbloku

W tym momencie musisz wybrać stan własny hamiltonianu, dla którego obliczane są niektóre obserwable , jest to stan docelowy . Na początku możesz wybrać stan podstawowy i użyć zaawansowanego algorytmu, aby go znaleźć, jeden z nich jest opisany w:

Iteracyjne obliczanie kilku najniższych wartości własnych i odpowiadających im wektorów własnych dużych macierzy realnie-symetrycznych , Ernest R. Davidson ; Journal of Computational Physics 17, 87-94 (1975)

Ten krok jest najbardziej czasochłonną częścią algorytmu.

Jeśli ${\ Displaystyle | \ Psi \ rangle = \ suma \ Psi _ {i, j, k, w} | u_ {i}, t_ {j}, s_ {k} ,r_{w}\rangle }$ jest stanem docelowym, wartość oczekiwaną różnych operatorów można w tym momencie zmierzyć za pomocą ${\ Displaystyle | \ Psi \ rangle}$ .

Krok 3: Zmniejsz macierz gęstości

Utwórz macierz o zmniejszonej gęstości $systemu$ dwóch bloków, bloku i lewej strony. Z definicji jest to macierz ${\ Displaystyle (d * 3) \ razy (d * 3)}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {i, j; i', j'} \ równoważnik \ suma _{k,w}\Psi _{i,j,k,w}\Psi _{i',j',k,w}^{*}}$

Diagonalizuj i utwórz macierz $,$ której wiersze są związane z wektorami własnymi m $Displaystyle m \ razy (d * 3)}$ $Displaystyle$ $T}$ z największymi wartościami własnymi mi $\$ $displaystyle e_ {\ alfa}}$ $\ displaystyle \ rho}$ . Tak więc $tworzony$ przez najbardziej znaczące stany własne macierzy o zmniejszonej gęstości. Wybierasz patrząc na parametr $}$ $\ Displaystyle P_ {m} \ równoważnik \ suma _ {\ alfa = 1} ^ {m} e_ {\ alfa$ : ${\ Displaystyle 1-P_ {m} \ cong 0}$ .

Krok 4: Nowe operatory bloku i bloku wszechświata

Utwórz macierzową reprezentację operatorów ${\ Displaystyle (d * 3) \ razy (d * 3)} dla układu złożonego z bloku i lewej strony oraz dla układu złożonego$ prawego miejsca i bloku wszechświata, na przykład:

${\ Displaystyle H_ {Bl} = H_ {B} \ czasami \ mathbb { I} +S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}+S_{y_{B}}\otimes S_{y_{l}}+S_{z_{B}}\otimes S_{z_{ l}}}$

${\ Displaystyle S_ {x_ {Bl}} = \ mathbb {I} \ czasami S_ {x_ {l}}}$

${\ Displaystyle H_ {rU} = \ mathbb {I} \ czasami H_ { U}+S_{x_{r}}\otimes S_{x_{U}}+S_{y_{r}}\otimes S_{y_{U}}+S_{z_{r}}\otimes S_{z_{ U}}}$

${\ Displaystyle S_ {x_ {rU}} = S_ {x_ {r}} \ czasami \ mathbb {I}}$

Teraz utwórz $na$ reprezentacje nowego bloku i operatorów bloku wszechświata, utwórz nowy blok, zmieniając podstawę za pomocą transformacji : ${\ displaystyle T}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} i H_ {B} = TH_ {Bl} T ^ {\ sztylet} i S_ {x_ { B}}=TS_{x_{Bl}}T^{\sztylet}\end{macierz}}}

W tym momencie iteracja jest zakończona, a algorytm wraca do kroku 1. Algorytm zatrzymuje się pomyślnie, gdy obserwowalna zbiega się do pewnej wartości.

Dalsza lektura

Biały, Steven R. (1993-10-01). „Algorytmy macierzy gęstości dla grup renormalizacji kwantowej”. Przegląd fizyczny B. Amerykańskie Towarzystwo Fizyczne (APS). 48 (14): 10345–10356. Bibcode : 1993PhRvB..4810345W . doi : 10.1103/physrevb.48.10345 . ISSN 0163-1829 . PMID 10007313 .
Biały, Steven R .; Huse, David A. (1993-08-01). „Numeryczne badanie grupy renormalizacji nisko położonych stanów własnych antyferromagnetycznego łańcucha Heisenberga S = 1”. Przegląd fizyczny B. Amerykańskie Towarzystwo Fizyczne (APS). 48 (6): 3844–3852. Bibcode : 1993PhRvB..48.3844W . doi : 10.1103/physrevb.48.3844 . ISSN 0163-1829 . PMID 10008834 .
Schollwöck, U. (2005-04-26). „Grupa renormalizacji macierzy gęstości”. Recenzje współczesnej fizyki . 77 (1): 259–315. arXiv : cond-mat/0409292 . Bibcode : 2005RvMP...77..259S . doi : 10.1103/revmodphys.77.259 . ISSN 0034-6861 . S2CID 119066197 .

Zobacz też