Grupa renormalizacji macierzy gęstości

Grupa renormalizacji macierzy gęstości ( DMRG ) to numeryczna technika wariacyjna opracowana w celu uzyskiwania fizyki niskoenergetycznej kwantowych układów wielociałowych z dużą dokładnością. Jako metoda wariacyjna DMRG jest wydajnym algorytmem, który próbuje znaleźć funkcję falową stanu iloczynu macierzy o najniższej energii hamiltonianu. Została wynaleziona w 1992 roku przez Stevena R. White'a i jest obecnie najbardziej wydajną metodą dla układów 1-wymiarowych.

Idea stojąca za DMRG

Głównym problemem kwantowej fizyki wielu ciał jest fakt, że przestrzeń Hilberta rośnie wykładniczo wraz z rozmiarem. Innymi słowy, jeśli weźmie się $N$ uwagę siatkę z pewną przestrzenią Hilberta o wymiarze ${\ displaystyle N}$ $miejscu$ sieci, wówczas całkowita przestrzeń Hilberta miałaby wymiar gdzie to liczba miejsc w siatce. Na przykład o spinie 1/2 o długości L ma 2 ^L stopni swobody. DMRG jest iteracyjną , wariacyjną metodą, która redukuje efektywne stopnie swobody do tych najważniejszych dla stanu docelowego. Stanem, który najczęściej nas interesuje, jest stan podstawowy .

Po cyklu rozgrzewania ^{[ wymagana definicja ]} metoda dzieli system na dwa podsystemy lub bloki, które nie muszą mieć jednakowych rozmiarów, oraz dwie lokalizacje pomiędzy nimi. Dla bloku podczas rozgrzewki wybrano zbiór stanów reprezentatywnych . Ten zestaw lewy blok + dwa miejsca + prawy blok jest znany jako superblok . Teraz można znaleźć kandydata na stan podstawowy superbloku, który jest zredukowaną wersją pełnego systemu. Może mieć raczej słabą dokładność, ale metoda jest iteracyjna i poprawia się wraz z poniższymi krokami.

Dekompozycja systemu na lewy i prawy blok według DMRG.

Kandydujący stan podstawowy, który został znaleziony, jest rzutowany na podprzestrzeń Hilberta dla każdego bloku przy użyciu macierzy gęstości , stąd nazwa. W ten sposób odpowiednie stany dla każdego bloku. ^{[ potrzebne dalsze wyjaśnienia ]}

Teraz jeden z bloków rośnie kosztem drugiego i procedura się powtarza. Kiedy rosnący blok osiągnie maksymalny rozmiar, drugi zaczyna rosnąć na jego miejscu. Za każdym razem, gdy wracamy do pierwotnej sytuacji (równe rozmiary), mówimy, że wymiatanie zostało zakończone. Zwykle wystarczy kilka przeciągnięć, aby uzyskać precyzję części w 10 ¹⁰ dla sieci 1D.

Zamiatanie DMRG.

Pierwszym zastosowaniem DMRG, autorstwa Stevena White'a i Reinharda Noacka, był model zabawkowy : znalezienie widma cząstki o spinie 0 w pudełku 1D. Model ten został zaproponowany przez Kennetha G. Wilsona jako test dla każdej nowej metody grupowej renormalizacji , ponieważ wszystkie one zawiodły z tym prostym problemem. DMRG przezwyciężył problemy poprzednich grupowych metod renormalizacji , łącząc dwa bloki z dwoma miejscami w środku, zamiast po prostu dodawać jedno miejsce do bloku na każdym etapie, a także używając macierzy gęstości do identyfikacji najważniejszych stanów, które mają być przechowywane na końcu każdego kroku. Po sukcesie z modelem zabawkowym , metoda DMRG została z powodzeniem wypróbowana na modelu Heisenberga (kwantowym) .

Przewodnik wdrażania

Praktyczna implementacja algorytmu DMRG to długa praca ^{[ opinia ]} . Oto kilka głównych sztuczek obliczeniowych:

Stan podstawowy superbloku uzyskuje się za pomocą algorytmu diagonalizacji macierzy Lanczosa . Innym wyborem jest metoda Arnoldiego , zwłaszcza w przypadku macierzy niehermitowskich.
Algorytm Lanczosa zwykle rozpoczyna się od najlepszego odgadnięcia rozwiązania. Jeśli nie ma możliwości odgadnięcia, wybierany jest losowy wektor. W DMRG stan podstawowy uzyskany w pewnym kroku DMRG, odpowiednio przekształcony, jest rozsądnym przypuszczeniem, a zatem działa znacznie lepiej niż losowy wektor początkowy w następnym kroku DMRG.
W systemach z symetriami możemy mieć zachowane liczby kwantowe, takie jak całkowity spin w modelu Heisenberga (kwant) . Wygodnie jest znaleźć stan podstawowy w każdym z sektorów, na które podzielona jest przestrzeń Hilberta.
Przykład: dmrg modelu Heisenberga

Aplikacje

DMRG został z powodzeniem zastosowany do uzyskania niskoenergetycznych właściwości łańcuchów spinowych: model Isinga w polu poprzecznym, model Heisenberga itp., układy fermionowe, takie jak model Hubbarda , problemy z zanieczyszczeniami, takie jak efekt Kondo , układy bozonowe , oraz fizyka kropek kwantowych połączonych przewodami kwantowymi . Został on również rozszerzony do pracy na grafach drzewiastych i znalazł zastosowanie w badaniu dendrymerów . W przypadku systemów 2D, w których jeden z wymiarów jest znacznie większy niż drugi, DMRG jest również dokładny i okazał się przydatny w badaniu drabin.

Metoda została rozszerzona o badanie fizyki statystycznej równowagi w 2D oraz analizę zjawisk nierównowagowych w 1D.

DMRG został również zastosowany w dziedzinie chemii kwantowej do badania silnie skorelowanych systemów.

Produkt macierzowy ansatz

Sukces DMRG dla układów 1D związany jest z faktem, że jest to metoda wariacyjna w przestrzeni macierzowych stanów iloczynu . Są to stany formy

{\ Displaystyle \ suma _ {s_ {1} \ cdots s_ {N}} \ operatorname {Tr} (A ^ {s_ {1}} \ cdots A ^ {s_ {N}}) | s_{1}\cdots s_{N}\rangle }

gdzie $s_ {1} \ cdots s_ {N}}$ ^{są _Displaystyle} są wartościami np. składnika z spinu w łańcuchu spinowym, a A si macierzami o dowolnym wymiarze m . Gdy m → ∞, reprezentacja staje się dokładna. Teoria ta została ujawniona przez S. Rommera i S. Ostlunda w [1] .

Rozszerzenia DMRG

W 2004 roku opracowano metodę decymacji bloków ewoluujących w czasie w celu wdrożenia ewolucji stanów produktów macierzy w czasie rzeczywistym. Pomysł opiera się na klasycznej symulacji komputera kwantowego . Następnie opracowano nową metodę obliczania ewolucji w czasie rzeczywistym w formalizmie DMRG — patrz artykuł A. Feiguina i SR White'a [2] .

W ostatnich latach wysunięto pewne propozycje rozszerzenia metody na 2D i 3D, rozszerzając definicję Matrix Product States. Zobacz ten artykuł F. Verstraete i I. Cirac, [3] .

Dalsza lektura

Oryginalny artykuł autorstwa SR White, [4] lub [5]
Podręcznik o DMRG i jego pochodzeniu: https://www.springer.com/gp/book/9783540661290
Szeroki przegląd autorstwa Karen Hallberg , [6] .
Dwie recenzje autorstwa Ulricha Schollwöcka, jedna omawiająca oryginalną formułę [7] , a druga pod względem stanów produktu matrycy [8]
Doktorat teza Javiera Rodrígueza Laguna [9] .
Wprowadzenie do DMRG i jego zależnego od czasu rozszerzenia [10] .
Lista e-druków DMRG na arxiv.org [11] .
Artykuł przeglądowy na temat DMRG dla chemii kwantowej ab initio [12] .
Film wprowadzający na temat DMRG dla chemii kwantowej ab initio [13] .

Powiązane oprogramowanie

The Matrix Product Toolkit : Darmowy zestaw narzędzi GPL do manipulowania skończonymi i nieskończonymi stanami iloczynów macierzy napisany w C++ [14]
Uni10 : biblioteka implementująca liczne algorytmy sieci tensorowych (DMRG, TEBD, MERA, PEPS…) w C++
Powder with Power: bezpłatna dystrybucja zależnego od czasu kodu DMRG napisanego w języku Fortran [15] Zarchiwizowane 2017-12-04 w Wayback Machine
Projekt ALPS: bezpłatna dystrybucja niezależnego od czasu kodu DMRG i kodów Quantum Monte Carlo napisanych w C++ [16]
DMRG++ : darmowa implementacja DMRG napisana w C++ [17]
ITensor (Intelligent Tensor): bezpłatna biblioteka do wykonywania obliczeń DMRG opartych na tensorach i macierzach, napisana w C ++ [18]
OpenMPS : implementacja DMRG typu open source oparta na Matrix Product States napisana w Pythonie/Fortran2003. [19]
Program Snake DMRG: otwarty program DMRG, tDMRG i skończonej temperatury DMRG napisany w C++ [20]
CheMPS2 : open source (GPL) kod DMRG dostosowany do spinu dla chemii kwantowej ab initio napisany w C++ [21]
Blok : platforma DMRG typu open source dla chemii kwantowej i hamiltonianów modelowych. Obsługuje SU(2) i ogólne symetrie nieabelowe. Napisany w C++.
Block2 : Wydajna równoległa implementacja DMRG, dynamicznego DMRG, tdDMRG i skończonej temperatury DMRG dla chemii kwantowej i modeli. Napisany w Pythonie / C++ .

Zobacz też