Model AKLT

Model AKLT jest rozszerzeniem jednowymiarowego kwantowego modelu spinowego Heisenberga . Propozycja i dokładne rozwiązanie tego modelu przez Iana Afflecka , Elliotta H. Lieba , Toma Kennedy'ego i Hala Tasaki dostarczyły kluczowego wglądu w fizykę łańcucha Heisenberga o spinie 1. Służył również jako użyteczny przykład dla takich koncepcji, jak stały porządek wiązań walencyjnych, porządek topologiczny chroniony symetrią i macierzowe funkcje falowe stanu iloczynu.

Tło

Główną motywacją dla modelu AKLT był łańcuch Majumdar – Ghosh . Ponieważ dwa z każdego zestawu trzech sąsiednich spinów w stanie podstawowym Majumdara-Ghosha są sparowane w singlet lub wiązanie walencyjne, nigdy nie można znaleźć trzech spinów razem w stanie spinu 3/2. W rzeczywistości hamiltonian Majumdara-Ghosha jest niczym innym jak sumą wszystkich rzutników trzech sąsiednich spinów na stan 3/2.

Głównym spostrzeżeniem artykułu AKLT było to, że tę konstrukcję można uogólnić, aby uzyskać dokładnie rozwiązywalne modele dla rozmiarów spinu innych niż 1/2. Tak jak jeden koniec wiązania walencyjnego ma spin 1/2, końce dwóch wiązań walencyjnych można połączyć w spin 1, trzy w spin 3/2 itd.

Definicja

Afflecka i in. byli zainteresowani skonstruowaniem jednowymiarowego stanu z wiązaniem walencyjnym między każdą parą miejsc. Ponieważ prowadzi to do dwóch spinów 1/2 dla każdego miejsca, wynikiem musi być funkcja falowa systemu o spinie 1.

Dla każdej sąsiedniej pary spinów 1, dwie z czterech składowych spinów 1/2 utknęły w całkowitym stanie spinu zerowego. Dlatego każda para spinów 1 nie może znajdować się w połączonym stanie spinu 2. Zapisując ten warunek jako sumę rzutników, które faworyzują stan spin 2 par spinów 1, AKLT doszedł do następującego hamiltonianu

${\ Displaystyle {\ kapelusz { H}}=\sum _{\langle ij\rangle }{\textit {P}}_{\langle ij\rangle }^{(2)}\sim \sum _{j}{\vec {S}} _{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}+{\frac {1}{3}}({\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S} }_{j+1})^{2}}$

aż do stałej, gdzie ${\ textstyle {\ vec {S_ {i}}}}$ są operatorami spin-1 i ${\ textstyle {\ textit {P}} _ {\langle ij\rangle }^{(2)}}$ lokalny rzutnik 2-punktowy, który faworyzuje stan spinu 2 sąsiedniej pary spinów.

Ten hamiltonian jest podobny do jednowymiarowego kwantowego modelu spinu Heisenberga o spinie 1, ale ma dodatkowy „dwukwadratowy” termin interakcji spinowej.

Stan podstawowy

Z konstrukcji, stanem podstawowym hamiltonianu AKLT jest ciało stałe z wiązaniem walencyjnym z pojedynczym wiązaniem walencyjnym łączącym każdą sąsiednią parę miejsc. Obrazowo można to przedstawić jako

Tutaj stałe punkty reprezentują spin 1/2s, które są wprowadzane w stany singletowe. Linie łączące spin 1/2s to wiązania walencyjne wskazujące na wzór singletów. Owale to operatory projekcji, które „wiążą” razem dwa spiny 1/2 w jeden spin 1, rzutując spin 0 lub podprzestrzeń singletową i zachowując tylko spin 1 lub podprzestrzeń trypletową. Symbole „+”, „0” i „-” oznaczają standardowe stany bazowe spinu 1 (stany $operatora$ .

Zakręć 1/2 stanów krawędzi

W przypadku spinów ułożonych w pierścieniu (okresowe warunki brzegowe) konstrukcja AKLT daje unikalny stan podstawowy. Ale w przypadku otwartego łańcucha pierwszy i ostatni spin 1 mają tylko jednego sąsiada, pozostawiając jeden z ich składowych spinów 1/2 niesparowanych. W rezultacie końce łańcucha zachowują się jak momenty 1/2 swobodnego spinu, mimo że system składa się tylko z 1 spinów.

Stany krawędziowe o spinie 1/2 łańcucha AKLT można zaobserwować na kilka różnych sposobów. W przypadku krótkich łańcuchów stany brzegowe mieszają się w singlet lub triplet, dając albo unikalny stan podstawowy, albo trzykrotny wielokrotność stanów podstawowych. W przypadku dłuższych łańcuchów stany krawędzi rozprzęgają się wykładniczo szybko w funkcji długości łańcucha, co prowadzi do rozmaitości stanu podstawowego, która jest czterokrotnie zdegenerowana. Używając metody numerycznej, takiej jak DMRG , do pomiaru lokalnego namagnesowania wzdłuż łańcucha, można również bezpośrednio zobaczyć stany krawędzi i pokazać, że można je usunąć, umieszczając rzeczywisty spin 1/2 s na końcach. Okazało się nawet, że możliwe jest wykrycie stanów krawędzi spinu 1/2 w pomiarach związku magnetycznego quasi-1D zawierającego niewielką ilość zanieczyszczeń, których rolą jest rozbijanie łańcuchów na skończone segmenty. W 2021 roku znaleziono bezpośrednią sygnaturę spektroskopową stanów krawędziowych o spinie 1/2 w izolowanych kwantowych łańcuchach spinowych zbudowanych z triangulenu , policyklicznego węglowodoru aromatycznego o spinie 1 .

Macierzowa reprezentacja stanu produktu

Prostota stanu podstawowego AKLT pozwala na przedstawienie go w zwartej formie jako macierzowego stanu iloczynu . To jest funkcja falowa postaci

${\ Displaystyle | \ Psi \ rangle = \ suma _ {\ {s \}} \ nazwa operatora {Tr} [A ^ {s_ {1}} A ^ {s_ {2}} \ ldots A ^ {s_ {N} }]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle .}$

Tutaj As to zbiór trzech macierzy oznaczonych przez ${\ displaystyle s_ {j}},$ a ślad pochodzi z założenia okresowych warunków brzegowych.

Funkcja falowa stanu podstawowego AKLT odpowiada wyborowi:

${\ Displaystyle A ^ {+} = + {\ sqrt {\ tfrac {2} {3}}} \ \ sigma ^ {+}} ZA =$

$Displaystyle ZA ^ {0} = - {\ sqrt {\ tfrac {1} {3}}} \ \ sigma ^ {z}}$

${\ Displaystyle A ^ {-} = - {\ sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}}$

gdzie jest $Pauliego$ . _

Uogólnienia i rozszerzenia

Model AKLT został rozwiązany na sieciach o większych wymiarach, nawet w kwazikryształach . Model został również skonstruowany dla algebr wyższych Liego, w tym SU( n ) , SO( n ) , Sp(n) i rozszerzony na grupy kwantowe SUq( n ).