Model Landaua-Lifshitza

Aby zapoznać się z innym równaniem Landaua-Lifshitza opisującym magnetyzm, zobacz Równanie Landaua-Lifshitza-Gilberta .

W fizyce ciała stałego równanie Landaua-Lifshitza ( LLE ), nazwane na cześć Lwa Landaua i Evgeny'ego Lifshitza , jest równaniem różniczkowym cząstkowym opisującym ewolucję magnetyzmu w ciałach stałych w czasie w zależności od 1 zmiennej czasowej i 1, 2 lub 3 zmienne przestrzenne .

Równanie Landaua-Lifshitza

LLE opisuje magnes anizotropowy . Równanie jest opisane w ( Faddeev & Takhtajan 2007 , rozdział 8) w następujący sposób: Jest to równanie pola wektorowego S , innymi słowy funkcja na R ^{1+ n} przyjmująca wartości w R ³ . Równanie zależy od ustalonej symetrycznej macierzy J 3 na 3 , zwykle przyjmowanej jako przekątna ; to znaczy, ${\ Displaystyle J = \ operatorname {diag} (J_ {1}, J_ {2}, J_ {3})$ . Daje to równanie ruchu Hamiltona dla hamiltonianu

${\ Displaystyle H = {\ Frac {1} {2}} \ int \ lewo [\ suma _ {i}\left({\frac {\częściowy \mathbf {S}}}{\częściowy x_{i}}}\right)^{2}-J(\mathbf {S} )\right]\,dx\ czwórka (1)}$

(gdzie J ( S ) jest kwadratową formą J zastosowaną do wektora S ), który jest

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {S}} {\ częściowe t}} = \ mathbf {S} \ klin \ suma _ {i} {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ mathbf {S} }{\częściowe x_{i}^{2}}}+\mathbf {S} \klin J\mathbf {S} .\qquad (2)}$

W wymiarach 1+1 to równanie jest

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {S}} {\ częściowe t}} = \ mathbf {S} \ klin {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ mathbf {S}} {\ częściowe x^{2}}}+\mathbf {S} \klin J\mathbf {S} .\qquad (3)}$

W wymiarach 2+1 równanie to przyjmuje postać

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {S}} {\ częściowe t} }=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\częściowe ^{2}\mathbf {S}}}{\częściowe x^{2}}}+{\frac {\częściowe ^{2}\ mathbf {S} }{\częściowe y^{2}}}\right)+\mathbf {S} \klin J\mathbf {S} \qquad (4)}$

czyli (2+1)-wymiarowy LLE. Dla przypadku (3+1)-wymiarowego wygląda LLE

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {S}} {\ częściowy t}} = \ mathbf {S} \ klin \ lewo ({\ Frac {\ częściowy ^ {2} \ mathbf {S}}} {\ częściowe x^{2}}}+{\frac {\częściowe ^{2}\mathbf {S}}}{\częściowe y^{2}}}+{\frac {\częściowe ^{2}\mathbf {S } }{\częściowe z^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (5)}$

Całkowalne redukcje

W ogólnym przypadku LLE (2) jest niecałkowalne. Ale dopuszcza dwie całkowalne redukcje:

a) w wymiarach 1+1, czyli równanie (3), jest całkowalny

b), gdy ${\ Displaystyle J = 0}$ . W tym przypadku (1+1)-wymiarowy LLE (3) zamienia się w ciągłe klasyczne równanie ferromagnesu Heisenberga (patrz np. model Heisenberga (klasyczny) ), które jest już całkowalne.

Zobacz też

• Nieliniowe równanie Schrödingera
• Model Heisenberga (klasyczny)
• Fala wirowania
• Mikromagnetyzm
• Równanie Ishimoriego
• Magnes
• Ferromagnetyzm

•    Faddeev, Ludwig D.; Takhtajan, Leon A. (2007), hamiltonowskie metody w teorii solitonów , Classics in Mathematics , Berlin: Springer, s. x + 592, doi : 10.1007/978-3-540-69969-9 , ISBN 978-3- 540-69843-2 , MR 2348643
•   Guo, Boling; Ding, Shijin (2008), Równania Landaua-Lifshitza , Frontiers of Research with the Chinese Academy of Sciences , World Scientific Publishing Company, ISBN 978-981-277-875-8
• Kosevich AM , Iwanow BA, Kowaliow AS Nieliniowe fale magnetyzacji. Solitony dynamiczne i topologiczne. – Kijów: Naukova Dumka , 1988. – 192 s.