Model wierzchołka

Model wierzchołków to rodzaj modelu mechaniki statystycznej , w którym wagi Boltzmanna są powiązane z wierzchołkiem w modelu (reprezentującym atom lub cząstkę). Kontrastuje to z modelem najbliższego sąsiada, takim jak model Isinga , w którym energię, a tym samym wagę Boltzmanna statystycznego mikrostanu przypisuje się wiązaniom łączącym dwie sąsiednie cząstki. Energia związana z wierzchołkiem w sieci cząstek jest zatem zależna od stanu wiązań, które łączą go z sąsiednimi wierzchołkami. Okazuje się, że każde rozwiązanie $iloczynie$ -Baxtera z parametrami widmowymi w tensorowym przestrzeni wektorowych dokładnie rozwiązywalny model wierzchołków.

Dwuwymiarowy model wierzchołków

Chociaż model można zastosować do różnych geometrii w dowolnej liczbie wymiarów, z dowolną liczbą możliwych stanów dla danego wiązania, najbardziej podstawowe przykłady występują w przypadku sieci dwuwymiarowych, z których najprostszym jest siatka kwadratowa, w której każde wiązanie ma dwa możliwe stany. W tym modelu każda cząstka jest połączona z czterema innymi cząstkami, a każde z czterech wiązań sąsiadujących z cząstką ma dwa możliwe stany, wskazane przez kierunek strzałki na wiązaniu. $możliwe$ może przyjąć konfiguracje. Energia _ dla danego wierzchołka można podać przez ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij} ^ {k \ ell}}$ ,

Wierzchołek w modelu wierzchołków kraty kwadratowej

ze stanem sieci jest przypisanie stanu każdego wiązania, przy czym całkowita energia stanu jest sumą energii wierzchołków. Ponieważ energia jest często rozbieżna dla nieskończonej sieci, model jest badany dla skończonej sieci, gdy sieć zbliża się do nieskończonego rozmiaru. Na model mogą być nałożone okresowe lub domenowe warunki brzegowe ściany.

Dyskusja

Dla danego stanu sieci wagę Boltzmanna można zapisać jako iloczyn wierzchołków wag Boltzmanna odpowiednich stanów wierzchołków

{\ Displaystyle \ exp (- \ beta \ varepsilon ({\ mbox {stan}})) = \ prod _ { \mbox{wierzchołki}}\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell})}

gdzie zapisywane są wagi Boltzmanna dla wierzchołków

{\ Displaystyle R_ {ij} ^ {k \ ell} = \ exp (- \ beta \ varepsilon _ {ij} ^ {k \ ell}

,

a i , j , k , l obejmują możliwe stany każdej z czterech krawędzi dołączonych do wierzchołka. Stany wierzchołków sąsiednich wierzchołków muszą spełniać warunki zgodności wzdłuż krawędzi łączących (wiązania), aby stan był dopuszczalny.

Prawdopodobieństwo , że system znajdzie się w dowolnym stanie w określonym czasie, a tym samym właściwości systemu, są określone przez funkcję podziału , dla której pożądana jest postać analityczna.

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} = \ suma _ {\ mbox {stany}} \ exp (- \ beta \ varepsilon ({\ mbox {stan}}) )}

gdzie β= 1/kT , T to temperatura , a k to stała Boltzmanna . Prawdopodobieństwo, że system znajduje się w dowolnym danym stanie ( mikrostanie ), jest określone wzorem

{\ Displaystyle {\ Frac {\ exp (- \ beta \ varepsilon ({\ mbox {stan}})}} {\ mathbb {Z}}}}

tak, że średnia wartość energii układu jest dana przez

{\ Displaystyle \ langle \ varepsilon \ rangle = {\ Frac {\ suma _ {\mbox{stany}}\varepsilon \exp(-\beta \varepsilon )}{\sum _{\mbox{stany}}\exp(-\beta \varepsilon )}}=kT^{2}{\frac {\częściowy }{\częściowy T}}\ln \mathbb {Z}}

Aby ocenić funkcję podziału, najpierw zbadaj stany rzędu wierzchołków.

Rząd wierzchołków w modelu wierzchołków kraty kwadratowej

Zewnętrzne krawędzie są wolnymi zmiennymi, z sumowaniem po wewnętrznych wiązaniach. Dlatego utwórz funkcję podziału wierszy

{\ Displaystyle T_ {i_ {1} k_ {1} \ kropki k_ {N}} ^ {i'_ {1} \ ell _ {1} \ kropki l_ {N}} = \ suma _ {r_{1},\kropki,r_{N-1}}R_{i_{1}k_{1}}^{r_{1}\ell _{1}}R_{r_{1}k_{2} }^{r_{2}\ell_{2}}\cdots R_{r_{N-1}k_{N}}^{i'_{1}\ell_{N}}}

$_$ w postaci n przestrzeni V z podstawą ${\ Displaystyle R \ w końcu (V \ czasami V)}$ jak

{\ Displaystyle R (v_ {i} \ czasami v_ {j}) = \ suma _ {k, \ ell} R_ {ij}^{k\ell}v_{k}\oraz v_{\ell}}

T ${\ Displaystyle T \ w końcu (V \ otimes V ^ {\ otimes N})$ jak

{\ Displaystyle T (v_ {i_ {1}} \ otimes v_ {k_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {k_ {N}}) = \ suma _ {i'_ {1 },\ell _{1},\kropki \ell _{N}}T_{i_{1}k_{1}\dots k_{N}}^{i'_{1}\ell _{1}\ kropki \ell _{N}}v_{i'_{1}}\otimes v_{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes v_{\ell _{N}}}

co sugeruje, że T można zapisać jako

{\ Displaystyle T = R_ {0N} \ cdots R_ {02} R_ {01}}

$na$ współczynniki tensorowego, którym R działa Zsumowanie stanów wiązań w pierwszym rzędzie z okresowymi warunkami brzegowymi daje ${\ Displaystyle i_ {1} = i'_ {1}}$

{\ Displaystyle (\ nazwa operatora {ślad} _ {V} (T)) _ {k_ {1} \ kropki k_ {N}} ^ { \ell _{1}\dots \ell _{N}}}

gdzie $_ {V} (T)$ wierszy

Dwa rzędy wierzchołków w modelu wierzchołków kraty kwadratowej

Sumując udziały w dwóch wierszach, otrzymujemy wynik

{\ Displaystyle (\ operatorname {ślad} _ {V} ( T))_{k_{1}\dots k_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}(\operatorname {trace} _{V}(T))_{j_ {1}\kropki j_{N}}^{k_{1}\kropki k_{N}}}

co po zsumowaniu wiązań pionowych łączących pierwsze dwa rzędy daje: ${\ Displaystyle ((\ operatorname {ślad} _ {V} ( T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}}$

dla M wierszy daje to

{\ Displaystyle ((\ operatorname {ślad} _ {V} (T)) ^ {M}) _ {\ ell '_{1}\dots \ell '_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}}

a następnie stosując okresowe warunki brzegowe do kolumn pionowych, funkcję podziału można wyrazić za pomocą macierzy przenoszenia jako ${\ displaystyle \ tau}$

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} = \ operatorname {ślad} _ {V ^ {\ otimes N}} (\ tau ^ {M}) \ sim \lambda _{max}^{M}}

gdzie $Displaystyle \$ największą wartością własną λ $lambda _ {max}}$ . Przybliżenie wynika z faktu, że wartości własne są wartościami własnymi do potęgi M $rightarrow \infty }$ $M$ ponieważ $∞$ → \ , potęga największej wartości własnej staje się znacznie większa niż pozostałych. jako ślad $własnej$ $się$ wartości własnych, problem obliczania sprowadza do problemu znalezienia maksymalnej wartości . To samo w sobie jest kolejnym kierunkiem studiów. ${\ displaystyle \ tau}$ największej wartości własnej $polega$ na znalezieniu dużej rodziny operatorów, którzy dojeżdżają z . Oznacza to, że przestrzenie własne są wspólne i ograniczają możliwą przestrzeń rozwiązań. Taką rodzinę operatorów komutujących można zwykle znaleźć za pomocą równania Yanga-Baxtera , które w ten sposób wiąże mechanikę statystyczną z badaniem grup kwantowych .

Integrowalność

Definicja : Model wierzchołków jest całkowalny, jeśli taki, że ∀ $\ Displaystyle \ forall \ mu, \ nu, \ istnieje \ lambda}$

{\ Displaystyle R_ {12} (\ lambda) R_ {13} (\ mu) R_{23}(\nu)=R_{23}(\nu)R_{13}(\mu)R_{12}(\lambda)}

Jest to sparametryzowana wersja równania Yanga-Baxtera, odpowiadająca możliwej zależności energii wierzchołków, a zatem wag Boltzmanna R od parametrów zewnętrznych, takich jak temperatura, pola zewnętrzne itp.

Warunek całkowalności implikuje następującą zależność.

Twierdzenie : Dla całkowalnego modelu wierzchołków z zdefiniowanymi jak powyżej i ${\ Displaystyle \ lambda, \$ $}$

{\ Displaystyle R (\ lambda) ( 1\otimes T(\mu ))(T(\nu )\otimes 1)=(T(\nu )\otimes 1)(1\otimes T(\mu ))R(\lambda )}

jako endomorfizmy , gdzie działa na pierwsze dwa wektory ${\ Displaystyle V \ otimes V \ otimes V ^ {\ otimes N}}$ ${\ Displaystyle R (\ lambda)}$ produkt tensorowy.

$równania$ prawej stronie przez i cyklicznej właściwości operatora śladu, który posiada następujący

Wniosek : $)}$ całkowalnego modelu wierzchołków, dla którego jest odwracalny, $∀$ λ \ $}$ $\$ dojeżdża z ${\ Displaystyle \ tau (\ nu), \ \ forall \ mu, \ nu}$ .

Ilustruje to rolę równania Yanga-Baxtera w rozwiązywaniu modeli sieci rozwiązywalnych. Ponieważ macierze transferu $do$ $pracy$ dla wszystkich własne $.$ od parametryzacji Jest to powracający temat, który pojawia się w wielu innych typach statystycznych modeli mechanicznych, aby szukać tych macierzy transferu komutacji.

Z powyższej definicji R wynika, że dla każdego rozwiązania równania Yanga-Baxtera w iloczynie tensorowym dwóch n -wymiarowych przestrzeni wektorowych istnieje odpowiedni dwuwymiarowy rozwiązywalny model wierzchołków, w którym każde z wiązań może być w możliwe $,$ gdzie R przez ${\ Displaystyle \ {| a \ rangle \ czasami | b \ rangle \}, 1 \ równoważnik a, b \ równoważnik n}$ . Motywuje to do klasyfikacji wszystkich skończenie wymiarowych nieredukowalnych reprezentacji danej algebry kwantowej w celu znalezienia odpowiadających jej rozwiązywalnych modeli.

Godne uwagi modele wierzchołków

Model sześciu wierzchołków
Model ośmiu wierzchołków
Model dziewiętnastu wierzchołków (model Izergina-Korepina)