Odwrotna transformata rozpraszania

W matematyce odwrotna transformata rozpraszania jest metodą rozwiązywania niektórych nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych . Metoda jest nieliniowym analogiem iw pewnym sensie uogólnieniem transformaty Fouriera , który sam jest stosowany do rozwiązywania wielu liniowych równań różniczkowych cząstkowych. Nazwa „metoda rozpraszania odwrotnego” pochodzi od kluczowej idei odzyskiwania ewolucji potencjału w czasie z ewolucji danych jego rozpraszania w czasie: rozpraszanie odwrotne odnosi się do problemu odzyskiwania potencjału z jego macierzy rozpraszania, w przeciwieństwie do rozpraszania bezpośredniego problem znalezienia macierzy rozpraszania z potencjału.

Odwrotna transformata rozpraszania może być zastosowana do wielu tak zwanych modeli dokładnie rozwiązywalnych , to znaczy całkowicie całkowalnych systemów nieskończenie wymiarowych.

Przegląd

Odwrotna transformata rozpraszania została po raz pierwszy wprowadzona przez Clifforda S. Gardnera, Johna M. Greene'a i Martina D. Kruskala i in. ( 1967 , 1974 ) dla równania Kortewega – de Vriesa , a wkrótce rozszerzył się na nieliniowe równanie Schrödingera , równanie sinus-Gordona i równanie sieci Toda . Został później użyty do rozwiązania wielu innych równań, takich jak równanie Kadomcewa-Petwiaszwilego , równanie Ishimoriego , równanie Dym , i tak dalej. Dalszą rodzinę przykładów dostarczają równania Bogomolnego (dla danej grupy cechowania i zorientowanej 3-krotnie Riemanna), $których$ monopole magnetyczne .

Cechą charakterystyczną rozwiązań otrzymanych metodą odwrotnego rozpraszania jest istnienie solitonów , rozwiązań przypominających zarówno cząstki, jak i fale, które nie mają odpowiednika dla liniowych równań różniczkowych cząstkowych. Termin „soliton” wywodzi się z optyki nieliniowej.

Problem rozpraszania odwrotnego można zapisać jako problem faktoryzacji Riemanna-Hilberta , przynajmniej w przypadku równań o jednym wymiarze przestrzennym. To sformułowanie można uogólnić na operatory różniczkowe rzędu większego niż 2, a także na potencjały okresowe. W wyższych wymiarach przestrzeni zamiast tego występuje „nielokalny” problem faktoryzacji Riemanna – Hilberta (ze splotem zamiast mnożenia) lub problem d-bar.

Przykład: równanie Kortewega – de Vriesa

Równanie Kortewega – de Vriesa jest nieliniowym, dyspersyjnym równaniem różniczkowym cząstkowym ewolucji dla funkcji u ; dwóch rzeczywistych , jednej zmiennej przestrzennej x i jednej zmiennej czasowej t :

{\ Displaystyle u_ {t} -6uu_ {x} + u_ {xxx} = 0}

gdzie ${\ displaystyle u_ {t}}$ i ${\ displaystyle u_ {x}}$ oznaczające pochodne cząstkowe odpowiednio względem t i x .

$jest$ problem wartości początkowej dla tego równania, gdzie funkcją x łączy się z tym równaniem równanie wartości

{\ Displaystyle \ psi _ {xx} -u \ psi = \ lambda \ psi.}

gdzie jest $x,$ funkcją t i a u jest rozwiązaniem równania Kortewega – de Vriesa, które jest nieznane, z wyjątkiem t $\ displaystyle t = 0}$ . Stała $.$ wartością własną

Z równania Schrödingera otrzymujemy

{\ Displaystyle u = {\ Frac {1} {\ psi}} \ psi _ {xx} - \ lambda.}

Podstawiając to do równania Kortewega – de Vriesa i całkując, otrzymujemy równanie

{\ Displaystyle \ psi _ {t} + \ psi _ {xxx} -3 (u - \ lambda )\psi _{x}=C\psi +D\psi \int {\frac {1}{\psi ^{2}}}dx}

gdzie C i D są stałymi.

Metoda rozwiązania

Krok 1. Wyznacz nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe. Zwykle osiąga się to poprzez analizę fizyki badanej sytuacji.

Krok 2. Zastosuj rozpraszanie do przodu . Polega to na znalezieniu pary Lax . Para Lax składa się z dwóch operatorów liniowych $i$ v { \ Displaystyle $lambda$ $}$ t $v_ { t}=Mv}$ . Niezwykle ważne jest, aby wartość własna ${\ displaystyle \ lambda}$ być niezależnym od czasu; tj. ${\ Displaystyle \ lambda _ {t} = 0.}$ Warunki konieczne i wystarczające, aby to zaszło, określa się w następujący sposób: weź pochodną czasową ${\ Displaystyle Lv = \ lambda v }$ uzyskać

{\ Displaystyle L_ {t} v + Lv_ {t} = \ lambda _ {t} v + \ lambda v_ {t}.}

Podłączanie w celu $\ displaystyle$ $Mv}$ {

{\ Displaystyle L_ {t} v + LMv = \ lambda _ {t} v + \ lambda Mv.}

Przegrupowanie skrajnie prawego terminu daje nam

{\ Displaystyle L_ {t} v + LMv = \ lambda _ {t} v + MLv.}

Zatem,

{\ Displaystyle L_ {t} v + LMv-MLv = \ lambda _ {t} v.}

Ponieważ implikuje to, że ${\ Displaystyle v \ not = 0}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {t} = 0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

{\ Displaystyle L_ {t} + LM-ML = 0. \,}

To jest równanie Laxa . W równaniu Laxa jest to, że $displaystyle t$ pochodną czasową dokładnie tam $,$ gdzie wyraźnie zależy od $}$ . Powodem zdefiniowania zróżnicowania w ten sposób jest motywacja najprostszym przypadkiem, którym jest operator Schrödingera (patrz równanie Schrödingera ): ${\ displaystyle L}$

{\ Displaystyle L = \ częściowe _ {xx} + u,}

gdzie u jest „potencjałem”. $L_ {t} v + Lv_ {t}}$ Displaystyle z $}$ ${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} \ lewo (v_ {xx$ $} +$ pokazuje nam, że ten sposób pierwszy termin

Po sporządzeniu odpowiedniej pary Laxa powinno być tak, że równanie Laxa odzyskuje oryginalne nieliniowe PDE.

Krok 3. Określ ewolucję w czasie funkcji własnych związanych z każdą wartością własną $stałymi$ normującymi i współczynnikiem odbicia, z których wszystkie trzy składają się na tak zwane dane rozpraszania. Tym razem ewolucja jest dana przez układ liniowych równań różniczkowych zwyczajnych , które można rozwiązać.

Krok 4. Wykonaj procedurę rozpraszania odwrotnego , rozwiązując równanie całkowe Gelfanda-Lewitana-Marczenki ( Israel Moiseevich Gelfand i Boris Moiseevich Levitan ; Vladimir Aleksandrovich Marchenko ), liniowe równanie całkowe , aby otrzymać końcowe rozwiązanie pierwotnego nieliniowego PDE. Aby to zrobić, potrzebne są wszystkie dane dotyczące rozpraszania. Jeśli współczynnik odbicia wynosi zero, proces staje się znacznie prostszy. Ten krok działa, jeśli ${\ displaystyle L}$ jest operatorem różniczkowym lub różnicowym drugiego rzędu, ale niekoniecznie dla wyższych rzędów. Jednak we wszystkich przypadkach rozpraszania odwrotnego można zredukować do problemu faktoryzacji Riemanna-Hilberta . (Patrz Ablowitz-Clarkson (1991) dla obu podejść. Zobacz Marchenko (1986) dla matematycznego rygorystycznego traktowania.)

Przykłady równań całkowalnych

Dalsze przykłady równań całkowalnych można znaleźć w artykule Układ całkowalny .

M. Ablowitz, H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform , SIAM, Filadelfia, 1981.
N. Asano, Y. Kato, Algebraic and Spectral Methods for Nonlinear Wave Equations , Longman Scientific & Technical, Essex, Anglia, 1990.
M. Ablowitz, P. Clarkson, Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering , Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
Gardner, Clifford S .; Greene, John M .; Kruskal, Martin D .; Miura, Robert M. (1967), „Metoda rozwiązywania równania Kortewega-deVriesa” , Physical Review Letters , 19 (19): 1095–1097, Bibcode : 1967PhRvL..19.1095G , doi : 10.1103/PhysRevLett.19.1095
Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1974), „Równanie i uogólnienie Kortewega-deVriesa. VI. Metody dokładnego rozwiązania.”, Comm. czysta aplikacja Matematyka , 27 : 97–133, doi : 10.1002/cpa.3160270108 , MR 0336122
VA Marchenko, „Operatory i aplikacje Sturm-Liouville”, Birkhäuser, Bazylea, 1986.
J. Shaw, Matematyczne zasady komunikacji światłowodowej , SIAM, Filadelfia, 2004.
Redaktorzy: RK Bullough, PJ Caudrey. „Solitony” Tematy w aktualnej fizyce 17. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-Nowy Jork, 1980.

Linki zewnętrzne