Równanie Dyma

W matematyce , aw szczególności w teorii solitonów , równanie Dym ( HD ) jest równaniem różniczkowym cząstkowym trzeciego rzędu

{\ displaystyle u_ {t} = u ^ {3} u_ {xxx}. \,}

Często jest zapisywany w równoważnej postaci dla jakiejś funkcji v jednej zmiennej przestrzennej i czasu

{\ Displaystyle v_ {t} = (v ^ {-1/2}) _ {xxx}. \,}

Równanie Dyma pojawiło się po raz pierwszy w Kruskalu i jest przypisywane nieopublikowanej pracy Harry'ego Dyma .

Równanie Dym reprezentuje układ, w którym dyspersja i nieliniowość są ze sobą sprzężone. HD jest całkowicie całkowalnym nieliniowym równaniem ewolucji , które można rozwiązać za pomocą odwrotnej transformacji rozpraszania . Przestrzega nieskończonej liczby praw zachowania ; nie posiada własności Painlevé .

Równanie Dym ma silne powiązania z równaniem Kortewega – de Vriesa . CS Gardner, JM Greene, Kruskal i RM Miura zastosowali [równanie Dyma] do rozwiązania odpowiedniego problemu w równaniu Kortewega – de Vriesa . Para Laxa równania Harry'ego Dyma jest powiązana z operatorem Sturma-Liouville'a . Transformacja Liouville'a przekształca ten operator izospektralnie w operator Schrödingera . W ten sposób przez odwrotną transformację Liouville'a rozwiązania równania Kortewega – de Vriesa przekształca się w rozwiązania równania Dyma. Wyraźne rozwiązanie równania Dyma, ważne w skończonym przedziale, znajduje się za pomocą transformacji auto-Bäcklunda

{\ Displaystyle u (t, x) = \ lewo [-3 \ alfa \ lewo (x + 4 \ alfa ^ {2} t \ prawo) \ prawo] ^ {2/3}.}

Notatki

^ Równania fal nieliniowych Martina Kruskala . W Jürgen Moser , redaktor, Dynamical Systems, Theory and Applications, tom 38 Lecture Notes in Physics, strony 310–354. Heidelberg. Skoczek. 1975.
^ ^a ^b Fritz Gesztesy i Karl Unterkofler, deformacje izospektralne dla operatorów typu Sturma-Liouville'a i Diraca oraz powiązane nieliniowe równania ewolucji, Rep. Math. fizyka 31 (1992), 113–137.

Cercignani, Carlo ; David H. Sattinger (1998). Granice skalowania i modele w procesach fizycznych . Bazylea: Birkäuser Verlag. ISBN 0-8176-5985-4 .

Kichenassamy, Satyanad (1996). Nieliniowe równania falowe . Marcela Dekkera. ISBN 0-8247-9328-5 .

Gesztesy, Fritz; Holden, Helge (2003). Równania solitona i ich rozwiązania algebraiczno-geometryczne . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-75307-4 .

Olver, Peter J. (1993). Zastosowania grup Liego do równań różniczkowych, wyd. 2 . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94007-3 .

Vassiliou, PJ (2001) [1994], „Równanie Harry'ego Dyma” , Encyklopedia matematyki , EMS Press

[1] Równania fal nieliniowych Martina Kruskala . W Jürgen Moser , redaktor, Dynamical Systems, Theory and Applications, tom 38 Lecture Notes in Physics, strony 310–354. Heidelberg. Skoczek. 1975.

[Gesztesy_Unterkofler-2] Fritz Gesztesy i Karl Unterkofler, deformacje izospektralne dla operatorów typu Sturma-Liouville'a i Diraca oraz powiązane nieliniowe równania ewolucji, Rep. Math. fizyka 31 (1992), 113–137.