Transformacja Backlunda

W matematyce transformacje Bäcklunda lub transformacje Bäcklunda (nazwane na cześć szwedzkiego matematyka Alberta Victora Bäcklunda ) odnoszą się do równań różniczkowych cząstkowych i ich rozwiązań. Są ważnym narzędziem w teorii solitonów i układach całkowalnych . Transformata Bäcklunda jest zazwyczaj układem równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu odnoszących się do dwóch funkcji i często zależnych od dodatkowego parametru. Oznacza to, że dwie funkcje oddzielnie spełniają równania różniczkowe cząstkowe, a następnie mówi się, że każda z tych dwóch funkcji jest transformacją Bäcklunda drugiej.

Transformata Bäcklunda, która dotyczy rozwiązań tego samego równania, nazywana jest niezmienną transformacją Bäcklunda lub transformacją auto-Bäcklunda . Jeśli można znaleźć taką transformatę, można wiele wywnioskować o rozwiązaniach równania, zwłaszcza jeśli transformata Bäcklunda zawiera parametr. Jednak nie jest znany żaden systematyczny sposób znajdowania transformat Bäcklunda.

Historia

Transformacje Bäcklund powstały jako transformacje pseudosfer w latach osiemdziesiątych XIX wieku.

Transformacje Bäcklunda mają swoje korzenie w geometrii różniczkowej : pierwszym nietrywialnym przykładem jest transformacja powierzchni pseudosferycznych wprowadzona przez L. Bianchiego i AV Bäcklunda w latach osiemdziesiątych XIX wieku. Jest to konstrukcja geometryczna nowej powierzchni pseudosferycznej z początkowej takiej powierzchni za pomocą rozwiązania liniowego równania różniczkowego . Powierzchnie pseudosferyczne można opisać jako rozwiązania równania sinus-Gordona , a zatem transformację powierzchni Bäcklunda można postrzegać jako transformację rozwiązań równania sinus-Gordona.

Równania Cauchy'ego-Riemanna

Prototypowym przykładem transformaty Bäcklunda jest system Cauchy'ego – Riemanna

{\ Displaystyle u_ {x} = v_ {y}, \ quad u_ {y} = - v_ {x}, \,}

do $części$ i urojonych i $holomorficznej$ funkcji . Ten układ równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu ma następujące właściwości.

Jeśli ${\ displaystyle$ $v} są$ $rozwiązaniami$ równań Cauchy'ego-Riemanna, to jest równania Laplace'a ${\ displaystyle u_ { xx} + u_ {yy} = 0}$ (tj. funkcja harmoniczna ), podobnie jak ${\ displaystyle v}$ . Wynika to bezpośrednio ${\ Displaystyle u_ {xy} = u_ {yx}, \ quad v_ {xy} = v_ {yx}. \,}$ różniczkowania równań względem i ${$ $\ displaystyle y}$ i wykorzystania faktu, że
I odwrotnie, jeśli $równania$ Laplace'a, to istnieją funkcje , $Riemanna$ razem z ${\ displaystyle u}$ .

Zatem w tym przypadku transformacja Bäcklunda funkcji harmonicznej jest po prostu sprzężoną funkcją harmoniczną . Powyższe właściwości oznaczają $są$ , że równanie Laplace'a dla $rozwiązania$ równanie Laplace'a dla warunkami całkowalności dla równań Cauchy'ego-Riemanna.

Są to charakterystyczne cechy transformaty Bäcklunda. Jeśli mamy równanie różniczkowe cząstkowe w $}$ transformację Bäcklunda z do ${\$ $displaystyle v}$ , możemy wydedukować równanie różniczkowe cząstkowe spełnione przez $\ displaystyle v$ .

Ten przykład jest raczej trywialny, ponieważ wszystkie trzy równania (równanie dla $nich$ równanie dla $.$ transformacja Bäcklunda) są liniowe Transformaty Bäcklunda są najbardziej interesujące, gdy tylko jedno z trzech równań jest liniowe.

Równanie sinus-Gordona

Załóżmy, że u jest rozwiązaniem równania sinus-Gordona

{\ displaystyle u_ {xy} = \ grzech u. \,}

Potem system

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} v_ {x} i = u_ { x}+2a\sin {\Bigl (}{\frac {v+u}{2}}{\Bigr )}\\v_{y}&=-u_{y}+{\frac {2}{a }}\sin {\Bigl (}{\frac {vu}{2}}{\Bigr )}\end{wyrównane}}\,\!}

gdzie a jest dowolnym parametrem, jest rozwiązywalny dla funkcji v , która również spełni równanie sinus-Gordona. To jest przykład transformacji auto-Bäcklund.

Korzystając z systemu macierzowego, możliwe jest również znalezienie liniowej transformaty Bäcklunda dla rozwiązań równania sinus-Gordona.

Równanie Liouville'a

Transformata Bäcklunda może przekształcić nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe w prostsze, liniowe równanie różniczkowe cząstkowe.

Na przykład, jeśli u i v są powiązane przez transformatę Bäcklunda

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} v_ {x} i = u_ { x}+2a\exp {\Bigl (}{\frac {u+v}{2}}{\Bigr )}\\v_{y}&=-u_{y}-{\frac {1}{a }}\exp {\Bigl (}{\frac {uv}{2}}{\Bigr )}\end{wyrównane}}\,\!}

gdzie a jest dowolnym parametrem, a u jest rozwiązaniem równania Liouville'a

${\ Displaystyle u_ {xy} = \ exp u \, \!}$

wtedy v $odwrotnie$ rozwiązaniem znacznie i

Następnie możemy rozwiązać (nieliniowe) równanie Liouville'a, pracując ze znacznie prostszym równaniem liniowym.

Zobacz też

Hermann, Robert (1976). Geometria nieliniowych równań różniczkowych, transformacje Bäcklunda i solitony . Prasa matematyczna. ISBN 978-0-915692-16-3 .
Rogers, C.; Shadwick, WF (1982-05-12), transformacje Bäcklunda i ich zastosowania (wyd. 1), Academic Press, ISBN 0-12-592850-5
Rogers, C.; Schief, Wolfgang Karl (2002), Bäcklund i Darboux transformacje , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-01288-1 , fragment
AD Polyanin i VF Zajcew, Podręcznik nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych , Chapman & Hall/CRC Press, 2004.

Linki zewnętrzne

„Transformacja Backlunda” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. „Transformacja tła” . MathWorld .