Koniugat harmoniczny

W matematyce funkcja o wartościach rzeczywistych $zdefiniowana$ na połączonym zbiorze otwartym $}$ $Displaystyle \ Omega \ podzbiór \ mathbb {$ mówi się, że ma koniugat (funkcję) $wtedy$ , gdy są odpowiednio częściami funkcji holomorficznej $Displaystyle f (z)}$ ${\ Displaystyle z: = x + iy \ in \ Omega.}$ zmiennej zespolonej z Oznacza to, że ${\$ sprzężony z $displaystyle u}$ , jeśli ${\ Displaystyle f (z): = u (x, y) + iv (x, y)}$ jest holomorficzne na ${\ Displaystyle \ Omega.}$ Pierwszą konsekwencją definicji jest to, że obie są harmonicznymi funkcjami o wartościach rzeczywistych na ${\ displaystyle \ Omega}$ . Co więcej $,$ koniugat jeśli jest unikalny aż do stałej addytywnej. Ponadto ${\ displaystyle u}$ jest sprzężone z ${\ displaystyle v}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle v}$ jest sprzężony z ${\ displaystyle -u}$ .

Opis

Równoważnie, jest sprzężony z ${\$ $displaystyle u}$ w $Omega}$ $\ displaystyle v}$ wtedy i tylko wtedy, gdy v $spełniają$ równania Cauchy'ego-Riemanna w ${\ Displaystyle \ Omega.}$ Jako bezpośrednia konsekwencja tej ostatniej równoważnej definicji, jeśli ${\ displaystyle u}$ jakąkolwiek funkcją harmoniczną na ${\ Displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {2},}$ $},}$ , { $y$ wtedy Równania Cauchy'ego-Riemanna to po prostu $rzędu$ ${\ Displaystyle u_ {xy} = u_ {yx}.}$ pochodnych drugiego , Dlatego funkcja harmoniczna ${\ displaystyle u}$ dopuszcza sprzężoną funkcję harmoniczną wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja holomorficzna $y) -iu_ {y} (x, y)}$ ${\ Displaystyle g (z): = u_ { x} (x$ $}$ prymityw w w takim przypadku koniugat $f (z)}$ ${\ displaystyle u}$ jest oczywiście ${\ displaystyle \ operatorname {Im} f (x + iy).}$ Tak więc każda funkcja harmoniczna zawsze dopuszcza funkcję sprzężoną, ilekroć jej domena jest po prostu połączona , aw każdym razie dopuszcza koniugat lokalnie w dowolnym punkcie swojej dziedziny.

Istnieje operator przyjmujący funkcję harmoniczną u na prosto połączonym regionie w swoim harmonicznym sprzężeniu v (wstawiając np. $v$ ( x ) ₀) = 0 on a given x₀ in order to fix the indeterminacy of the conjugate up to constants). This is well known in applications as (essentially) the Hilbert transform; it is also a basic example in mathematical analysis, in connection with singular integral operators . Sprzężone funkcje harmoniczne (i transformacja między nimi) są również jednym z najprostszych przykładów transformaty Bäcklunda (dwa PDE i transformacja odnosząca się do ich rozwiązań), w tym przypadku liniowa; bardziej złożone przekształcenia są interesujące w przypadku solitonów i systemów całkowalnych .

Geometrycznie u i v są powiązane jako mające ortogonalne trajektorie , oddalone od zer podstawowej funkcji holomorficznej; kontury, na których u i v są stałe, przecinają się pod kątem prostym . Pod tym względem u + iv byłoby potencjałem zespolonym , gdzie u jest funkcją potencjału , a v jest funkcją strumienia .

Przykłady

Weźmy na przykład funkcję

{\ Displaystyle u (x, y) = e ^ {x} \ sin y.}

Od

{\ Displaystyle {\ częściowe u \ nad \ częściowe x} = e ^ {x} \ sin y, \ quad {\ częściowe ^{2}u \ponad \częściowe x^{2}}=e^{x}\sin y}

I

{\ Displaystyle {\ częściowe u \ nad \ częściowe y} = e ^ {x} \ sałata y \ quad {\częściowe ^{2}u \ponad \częściowe y^{2}}=-e^{x}\sin y,}

to satysfakcjonuje

{\ Displaystyle \ Delta u = \ nabla ^ {2} u = 0}

(

Laplace'a ) i dlatego

operatorem jest harmoniczny. Załóżmy teraz, że mamy takie, że równania Cauchy'ego-Riemanna są spełnione: za

{\ Displaystyle v (x, y)}

{\ Displaystyle {\ częściowe u \ nad \ częściowe x} = {\ częściowe v \ nad \ częściowe y} = e ^ {x} \ grzech y}

I

{\ Displaystyle {\ częściowe u \ ponad \ częściowe y} = - {\ częściowe v \ ponad \ częściowe x} = e ^ {x} \ cos y.}

upraszczając,

{\ Displaystyle {\ częściowy v \ nad \ częściowy y} = e ^ {x} \ grzech y}

I

{\ Displaystyle {\ częściowy v \ nad \ częściowy x} = -e ^ {x} \ cos y}

co po rozwiązaniu daje

{\ Displaystyle v = -e ^ {x} \ cos y + C.}

Zauważ, że gdyby funkcje związane z $u$ i $v$ zostały zamienione, funkcje nie byłyby koniugatami harmonicznymi, ponieważ znak minus w równaniach Cauchy'ego-Riemanna powoduje, że zależność jest asymetryczna.

Właściwość odwzorowania konformalnego funkcji analitycznych (w punktach, w których pochodna nie jest równa zeru) powoduje powstanie geometrycznej właściwości koniugatów harmonicznych. Oczywiście koniugatem harmonicznym x jest y , a linie stałej x i stałej y są ortogonalne. Zgodność mówi, że kontury stałych $u (x, y)$ i $v (x, y)$ będą również ortogonalne tam, gdzie się przecinają (z dala od zer $f' (z)$ ). Oznacza to, że v jest specyficznym rozwiązaniem problemu ortogonalnej trajektorii dla rodziny konturowych danej przez u (oczywiście nie jedynym rozwiązaniem, ponieważ możemy przyjąć również funkcje v ): pytanie, sięgające czasów matematyki XVII wieku wieku, znalezienia krzywych przecinających daną rodzinę nieprzecinających się krzywych pod kątem prostym.

Koniugat harmoniczny w geometrii

Istnieje dodatkowe występowanie terminu koniugatu harmonicznego w matematyce, a dokładniej w geometrii rzutowej . Mówimy, że dwa punkty A i B są wzajemnie sprzężonymi harmonicznymi względem innej pary punktów C, D, jeśli iloraz krzyżowy ( ABCD ) wynosi −1.

Brązowy, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Złożone zmienne i aplikacje (wyd. 6). Nowy Jork: McGraw-Hill. P. 61 . ISBN 0-07-912147-0 . Jeśli dwie dane funkcje u i v są harmoniczne w dziedzinie D , a ich pochodne cząstkowe pierwszego rzędu spełniają równania Cauchy'ego-Riemanna (2) w całym D , mówi się, że v jest koniugatem harmonicznym u .

Linki zewnętrzne

Współczynnik harmoniczny
„Sprzężone funkcje harmoniczne” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]