Trajektoria ortogonalna

Okręgi koncentryczne z trajektoriami ortogonalnymi (1. przykład)

Parabole z ortogonalnymi trajektoriami (2. przykład)

W matematyce ortogonalna trajektoria to krzywa, która przecina dowolną krzywą danego ołówka (planarnych) krzywych prostopadle .

Na przykład ortogonalne trajektorie ołówka koncentrycznych okręgów to linie przechodzące przez ich wspólny środek (patrz diagram).

Odpowiednie metody wyznaczania trajektorii ortogonalnych zapewnia rozwiązywanie równań różniczkowych . Metoda standardowa ustala równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu i rozwiązuje je poprzez separację zmiennych . Oba kroki mogą być trudne lub wręcz niemożliwe. W takich przypadkach należy zastosować metody numeryczne.

Trajektorie ortogonalne są używane w matematyce np. jako zakrzywione układy współrzędnych (np. współrzędne eliptyczne ) lub występują w fizyce jako pola elektryczne i ich krzywe ekwipotencjalne .

Jeśli trajektoria przecina dane krzywe pod dowolnym (ale stałym) kątem, otrzymujemy trajektorię izogonalną .

Wyznaczanie trajektorii ortogonalnej

We współrzędnych kartezjańskich

Generalnie przyjmuje się, że ołówek krzywych jest implicite dany przez równanie

(0) ${\ Displaystyle: \ F (x, y, c) = 0, \ qquad}$ 1. przykład ${\ Displaystyle: \ x ^ {2} + y ^ {2} -c = 0 \ , \ qquad}$ 2. przykład ${\ Displaystyle y = cx ^ {2} \ \ leftrightarrow \ y-cx^{2}=0\ ,}$

gdzie $.$ parametrem ołówka ${ \displaystyle yf(x,c)=0}$ ołówek jest $fa$ przez równanie zmienić . Dla celów poniższego rozważania zakłada się, że istnieją wszystkie niezbędne pochodne.

Krok 1.

Niejawne różnicowanie dla $_$

(1) ${\ Displaystyle: \ F_ {x} (x, y, c) + F_ {y} (x y, c) \; y'=0, \ qquad}$ w 1. przykład ${\ Displaystyle: \ 2x+2yy'=0 \, \ qquad}$ 2. przykład ${\ Displaystyle: \ y'-2cx = 0 \ .}$

Krok 2.

Teraz zakłada się, że równanie (0) można rozwiązać dla parametru $.$ który można w ten sposób wyeliminować z równania (1) Otrzymuje się równanie różniczkowe pierwszego rzędu

(2) ${\ Displaystyle: \ y '= f (x, y), \ qquad}$ w 1. przykład ${\ Displaystyle: \ y '= - {\ Frac {x} {y}} \ \ qquad}$ 2. przykład $\ Displaystyle: \ y' = 2 {\ Frac {y} {x}} \ , }$

co spełnia dany ołówek krzywych.

Krok 3.

Ponieważ nachylenie trajektorii ortogonalnej w punkcie jest ujemną multiplikatywną odwrotnością nachylenia danej krzywej w tym punkcie, trajektoria ortogonalna spełnia równanie różniczkowe pierwszego rzędu ( ${\ Displaystyle (x, y)$

(3) ${\ Displaystyle: \ y '= - {\ Frac {1} {f (x, y)}} \ \ qquad}$ w 1. przykład ${\ Displaystyle: \ y' = y/x \ \ qquad}$ 2. przykład ${\ Displaystyle: \ y' = - {\ Frac {x} {2y}} \ .}$

Krok 4.

To równanie różniczkowe można (miejmy nadzieję) rozwiązać odpowiednią metodą. Dla obu przykładów odpowiednia jest separacja zmiennych . Rozwiązania to: w przykładzie 1 linie ${\ Displaystyle y = mx, \ m \ in \ mathbb {R}},$ aw przykładzie 2 elipsy ${\ Displaystyle x ^ {2} + 2y ^ {2} = d, \ d> 0 \ .}$

We współrzędnych biegunowych

Jeśli ołówek krzywych jest reprezentowany pośrednio we współrzędnych biegunowych przez

(0p) ${\ Displaystyle: \ F (r, \ varphi, c) = 0}$

wyznacza się, podobnie jak w przypadku kartezjańskim, równanie różniczkowe bez parametrów

(1p) ${\ Displaystyle: \ F_ {r} (r, \ varphi, c) + F_ {\ varphi} (r, \ varphi, c) \; \ varphi '= 0, \ qquad}$

(2p) ${\ Displaystyle: \ \ varphi '= f (r, \ varphi)}$

ołówka. Równanie różniczkowe ortogonalnych trajektorii jest wtedy (patrz Redheffer i Port s. 65, Heuser, s. 120)

(3p) ${\ Displaystyle: \ \ varphi '= - {\ Frac {1} {{\ kolor {czerwony} r ^ {2}} f (r, \ varphi)}} \.}$

Kardioidy ortogonalne

Przykład: Kardioidy :

(0p) ${\ Displaystyle: \ F (r, \ varphi, c) = rc (1+ \ cos \ varphi) = 0, \ c> 0 \ . \} (na schemacie: niebieski) ($ 1p

) ${\ Displaystyle: \ F_ {r} (r, \ varphi, c) + F _ {\ varphi} (r, \ varphi, c) \;$

Eliminacja daje równanie różniczkowe danego ołówka: do ${\ displaystyle c$

(2p) ${\ Displaystyle: \ \ varphi '= - {\ Frac {1 + \ cos \ varphi} {r \ sin \ varphi}}}$

Stąd równanie różniczkowe trajektorii ortogonalnych to:

(3p) ${\ Displaystyle: \ \ varphi '= {\ Frac {\ sin \ varphi} {r (1 + \ cos \ varphi)}}}$

Po rozwiązaniu tego równania różniczkowego przez separację zmiennych otrzymujemy

${\ Displaystyle r = d (1- \ cos \ varphi) \ \ d> 0 \}$

który opisuje ołówek kardioid (czerwony na diagramie), symetryczny do danego ołówka.

Trajektoria izogonalna

Krzywa, która przecina dowolną krzywą danego ołówka (płaskich) krzywych o ustalony kąt, $jest$ trajektorią izogonalną .

$\ eta '}$$x$ Displaystyle izogonalnej trajektorii a nachyleniem $y)}$ { zachodzi następująca zależność:

${\ Displaystyle \ eta '= {\ Frac {y' + \ tan (\ alfa)} {1-y' \ tan (\ alfa)}} \ .}$

Zależność ta wynika ze wzoru na ${\ Displaystyle \ tan (\ alfa + \ beta)}$ . Dla ${\ displaystyle \ alpha \ rightarrow 90 ^ {\ circ}}$ otrzymuje się warunek ortogonalnej trajektorii.

W celu wyznaczenia trajektorii izogonalnej należy dostosować 3. krok powyższej instrukcji:

3. krok (isog. traj.)

Równanie różniczkowe trajektorii izogonalnej to:

• (3i) ${\ Displaystyle: \ y '= {\ Frac {f (x, y) + \ tan (\ alfa)} {1-f (x, y) \; \ tan (\ alfa)}} \ .}$

Izogonalne trajektorie koncentrycznych okręgów dla ${\ Displaystyle \ alpha = 45 ^ {\ circ}}$

Dla 1. przykładu (koncentryczne okręgi) i kąta otrzymuje się ${\ Displaystyle \ alpha = 45 ^ {\ circ}}$

(3i) ${\ Displaystyle: \ y' = {\ Frac {-x / y + 1} {1 + x / y}} \ .}$

$różniczkowe$ to szczególny rodzaj równania różniczkowego, które można przekształcić przez podstawienie , które można rozwiązać zmiennych . Po odwróceniu podstawienia otrzymujemy równanie rozwiązania:

${\ Displaystyle \ arctan {\ Frac {y} {x}} + {\ Frac {1} {2}} \ ln (x ^ {2} + y ^ {2}) = C \ .}$

Wprowadzenie współrzędnych biegunowych prowadzi do prostego równania

${\ Displaystyle C- \ varphi = \ ln (r) \ ,}$

który opisuje spirale logarytmiczne (s. diagram).

Metody numeryczne

W przypadku, gdy równania różniczkowego trajektorii nie można rozwiązać metodami teoretycznymi, należy je rozwiązać numerycznie, na przykład metodami Runge-Kutty .

Zobacz też

• Owal Cassini
• Przekroje stożkowe konfokalne
• Trajektoria
• Koła apollińskie , pary rodzin kół, które są do siebie ortogonalne

•   A. Jeffrey: Advanced Engineering Mathematics , Hartcourt/Academic Press, 2002, ISBN 0-12-382592-X , s. 233.
•   SB Rao: Równania różniczkowe , University Press, 1996, ISBN 81-7371-023-6 , s. 95.
•   RM Redheffer, D. Port: Równania różniczkowe: teoria i zastosowania , Jones & Bartlett, 1991, ISBN 0-86720-200-9 , s. 63.
•   H. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen , Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2 , s. 120.
•   Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (2012), Równania różniczkowe zwyczajne , Dover Books on Mathematics, Courier Dover, s. 115, ISBN 9780486134642 .

Linki zewnętrzne

• Eksploracja trajektorii ortogonalnych - aplet umożliwiający rysowanie rodzin krzywych i ich trajektorii ortogonalnych.
• mathcurve: LINIE POLA, LINIE PROSTOKĄTNE, PODWÓJNY UKŁAD ORTOGONALNY