Eliptyczny układ współrzędnych

Nie mylić z układem współrzędnych ekliptyki .

Eliptyczny układ współrzędnych

W geometrii eliptyczny układ współrzędnych jest dwuwymiarowym ortogonalnym układem współrzędnych , w którym linie współrzędnych są elipsami konfokalnymi i hiperbolami . Ogólnie przyjmuje się $+$$+ a$ dwa ogniska i są ustalone odpowiednio na ${\ displaystyle -a}$$displaystyle$ { , na $-osi$ kartezjańskiego układu współrzędnych .

Podstawowa definicja

Najczęstszą definicją współrzędnych eliptycznych jest ${\ Displaystyle (\ mu, \ nu)}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = a \ \ cosh \ mu \ \ cos \ nu \\ y& = a \ \ sinh \ mu \ \sin \nu \end{wyrównane}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ nu \ w [0,2 \ pi].}$ nieujemną liczbą rzeczywistą $i$

Na płaszczyźnie zespolonej istnieje równoważna zależność

${\ Displaystyle x + iy = a \ \ cosh (\ mu + i \ nu)}$

Definicje te odpowiadają elipsom i hiperbolom. Tożsamość trygonometryczna

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2}} {a ^ {2} \ kosz ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2 }\nu =1}$

pokazuje, że krzywe o stałej $elipsy$ , podczas gdy hiperboliczna tożsamość trygonometryczna

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2}} {a ^ {2} \ sałata ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2 }\mu =1}$

$,$ że krzywe tworzą hiperbolę .

Czynniki skali

W ortogonalnym układzie współrzędnych długości wektorów bazowych są znane jako współczynniki skali. Współczynniki skali dla współrzędnych eliptycznych są równe ${\ Displaystyle (\ mu, \ nu)}$

${\ Displaystyle h _ {\ mu} = h_ {\ nu} = a {\ sqrt {\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu}} = a {\ sqrt {\ cosh ^ {2 }\mu -\cos ^{2}\nu }}.}$

Używając podwójnych tożsamości argumentów dla funkcji hiperbolicznych i funkcji trygonometrycznych , współczynniki skali można równoważnie wyrazić jako

${\ Displaystyle h _ {\ mu} = h_ {\ nu} = a {\ sqrt {{\ Frac {1} {2}} (\ cosh 2 \ mu - \ cos 2 \ nu)}}.}$

W konsekwencji nieskończenie mały element pola jest równy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} dA & = h _ {\ mu} h_ {\ nu} d \ mu d \ nu \\& = a ^ { 2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\cosh ^{2}\ mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\ nu \right)d\mu d\nu \end{aligned}}}$

i czyta Laplacian

${\ Displaystyle {\ rozpocząć { wyrównane}\nabla ^{2}\Phi &={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\ left ({\frac {\częściowy ^{2}\Phi }{\częściowy \mu ^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}\Phi }{\częściowy \nu ^{2}} }\right)\\&={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\ frac {\częściowy ^{2}\Phi }{\częściowy \mu ^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}\Phi }{\częściowy \nu ^{2}}}\right) \\&={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\częściowy \mu ^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}\Phi }{\częściowy \nu ^{2}}}\right)\end{wyrównany}}}$

$wyrazić$ różniczkowe, takie jak ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$ we współrzędnych ${ \displaystyle (\mu ,\nu )}$ podstawiając współczynniki skali do ogólnych wzorów znalezionych we współrzędnych ortogonalnych .

Alternatywna definicja

Czasami używany jest alternatywny i geometrycznie intuicyjny zestaw współrzędnych eliptycznych, gdzie $mu$ μ $\$${\ Displaystyle \ tau = \ cos \ nu}$ i . Stąd krzywe stałej $hiperbolami$$elipsami$ , podczas gdy krzywe stałej . Współrzędna musi należeć do przedziału [-1, 1], podczas gdy $być$$.$ większa lub równa jeden

Współrzędne $fa$ odległościami do ognisk 2 ${2}$$displaystyle$ . Dla $2$ na płaszczyźnie suma jego do ognisk jest równa $\ Displaystyle 2a \ sigma}$ gdy ich różnica ${\ Displaystyle d_ {1} -d_ {2}}$ równa się ${\ Displaystyle 2a \ tau}$ . Tak więc odległość do $wynosi$ za ${\ Displaystyle a (\ sigma + \ tau)}$ , podczas gdy odległość do jest za ( $) {\ Displaystyle a (\ sigma + \ tau$${\ Displaystyle a (\ sigma - \ tau)}$ . ( $a}$ sobie, że i ${\ displaystyle F_ {2}$$}$ znajdują się w ${\ displaystyle x = -a}$ i ${\ displaystyle x =$ odpowiednio.)

Wadą tych współrzędnych jest to, że punkty o współrzędnych kartezjańskich (x, y) i ( $(\ sigma, \ tau)}$ , -y) mają te same współrzędne Displaystyle współrzędne nie jest funkcją, ale funkcją wielofunkcyjną .

${\ Displaystyle x = a \ lewo. \ sigma \ prawo. \ tau}$

${\ Displaystyle y ^ {2} = a ^ {2} \ lewo (\ sigma ^ {2} -1 \ prawo) \ lewo (1- \ tau ^ {2} \ prawo).}$

Alternatywne czynniki skali

Współczynniki skali dla alternatywnych współrzędnych eliptycznych to ${\ Displaystyle (\ sigma, \ tau)}$

${\ Displaystyle h _ {\ sigma} = a {\ sqrt {\ Frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {\ sigma ^ {2 }-1}}}}$

${\ Displaystyle h _ {\ tau} = a {\ sqrt {\ Frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {1- \ tau ^ {2}}}}.}$

Stąd element o nieskończenie małej powierzchni staje się

${\ Displaystyle dA = a ^ {2} {\ Frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau}$

a Laplacian jest równy

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ Frac {1} {a ^ {2} \ lewo (\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2} \ prawo)}} \ lewo [{\ sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\częściowy}}{\częściowy \sigma}}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\częściowy \ Phi }{\częściowy \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\częściowy}}{\częściowy \tau}}\left({\sqrt {1- \tau ^{2}}}{\frac {\częściowy \Phi}}{\częściowy \tau}}\right)\right].}$

$wyrazić$ różniczkowe, takie jak ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$ we współrzędnych ${ \displaystyle (\sigma ,\tau )}$ podstawiając współczynniki skali do ogólnych wzorów znalezionych we współrzędnych ortogonalnych .

Ekstrapolacja na wyższe wymiary

Współrzędne eliptyczne stanowią podstawę dla kilku zestawów trójwymiarowych współrzędnych ortogonalnych :

1. Eliptyczne współrzędne cylindryczne są tworzone przez rzutowanie w kierunku ${\ displaystyle z}$ .
2. Wydłużone współrzędne sferoidalne są tworzone przez obracanie współrzędnych eliptycznych wokół $spłaszczone$ -, tj. Osi łączącej ogniska, podczas gdy współrzędne sferoidalne są tworzone przez obracanie współrzędnych eliptycznych wokół osi ${\ displaystyle y}$ -axis, czyli oś oddzielająca ogniska.
3. Współrzędne elipsoidalne są formalnym rozszerzeniem współrzędnych eliptycznych na 3 wymiary, które opierają się na elipsoidach konfokalnych, hiperboloidach jedno- i dwuwarstwowych.

Aplikacje

Klasyczne zastosowania współrzędnych eliptycznych to rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych , np. równania Laplace'a lub równania Helmholtza , dla których współrzędne eliptyczne są naturalnym opisem układu, umożliwiając w ten sposób separację zmiennych w równaniach różniczkowych cząstkowych . Tradycyjnymi przykładami są układy rozwiązujące, takie jak elektrony krążące wokół cząsteczki lub orbity planetarne o kształcie eliptycznym.

Przydatne mogą być również właściwości geometryczne współrzędnych eliptycznych. Typowy przykład może obejmować integrację po wszystkich parach wektorów $\ Displaystyle \ mathbf$ q ${q}}$ , które sumują się do ustalonego wektora ${\ displaystyle \ mathbf { r} =\mathbf {p} +\mathbf {q} }$ , gdzie całka była funkcją długości wektorów ${\ Displaystyle \ lewo | \ mathbf {p} \ prawo |}$ i ${\ Displaystyle \ lewo | \ mathbf {q} \ prawo |}$ . (W takim przypadku należałoby ustawić $dwoma$ ogniskami i wyrównać z osią $x$ , tj. ${\ Displaystyle \ mathbf {$ .) Dla konkretności ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {q} }$ może reprezentować odpowiednio pęd cząstki i produkty jej rozkładu, a całka może obejmować energie kinetyczne produktów (które są proporcjonalne do kwadratu długości pędów).

Zobacz też

• Współrzędne krzywoliniowe
• Współrzędne elipsoidalne
• Uogólnione współrzędne

• „Współrzędne eliptyczne” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Korn GA i Korn TM . (1961) Podręcznik matematyczny dla naukowców i inżynierów , McGraw-Hill.
• Weisstein, Eric W. „Eliptyczne współrzędne cylindryczne”. Z MathWorld — zasób internetowy firmy Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html