Współrzędne paraboloidalne

$_$ paraboloidalne to trójwymiarowe współrzędne ortogonalne współrzędne Posiadają eliptyczne paraboloidy jako powierzchnie o jednej współrzędnej. W związku z tym należy je odróżnić od parabolicznych współrzędnych cylindrycznych i parabolicznych współrzędnych obrotowych , z których oba są również uogólnieniami dwuwymiarowych współrzędnych parabolicznych. Powierzchnie współrzędnych pierwszego to cylindry paraboliczne, a powierzchnie współrzędnych drugiego to kołowe paraboloidy.

W odróżnieniu od cylindrycznych i obrotowych współrzędnych parabolicznych, ale podobnie do powiązanych współrzędnych elipsoidalnych , powierzchnie współrzędnych paraboloidalnego układu współrzędnych nie są tworzone przez obracanie lub rzutowanie dowolnego dwuwymiarowego ortogonalnego układu współrzędnych.

Powierzchnie współrzędnych trójwymiarowych współrzędnych paraboloidalnych.

Podstawowe formuły

Współrzędne kartezjańskie można utworzyć ze współrzędnych elipsoidalnych ${\ Displaystyle ($$\ mu, \ nu, \ lambda)} przez ( x , y , z ) {\ Displaystyle$ x równania

${\ Displaystyle x ^ {2} = {\ Frac {4} {bc}} (\ mu -b) (b- \nu )(b-\lambda )}$

${\ Displaystyle y ^ {2} = {\ Frac {4} {bc}} (\ mu -c) (c - \ nu) (\ lambda -c)}$

${ \displaystyle z=\mu +\nu +\lambda -bc}$

z

${\ Displaystyle \ mu > b> \ lambda > c> \ nu > 0}$

W konsekwencji powierzchnie o stałej są eliptycznymi paraboloidami otwierającymi się w dół: ${\ displaystyle \ mu}$

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2}} {\ mu -b}} + {\ Frac {y ^ {2}} {\mu -c}}=-4(z-\mu)}$

Podobnie powierzchnie o stałej są otwierającymi się do góry eliptycznymi paraboloidami, ${\ displaystyle \ nu}$

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2}} {b- \ nu}} + {\ Frac {y ^ {2}} { c-\nu }}=4(z-\nu )}$

mając na uwadze, że powierzchnie o stałej są hiperbolicznymi paraboloidami: ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2}} {b- \ lambda}} - {\ Frac {y ^ {2}} { \lambda -c}}=4(z-\lambda )}$

Czynniki skali

Współczynniki skali dla współrzędnych paraboloidalnych to ${\ Displaystyle (\ mu, \ nu, \ lambda)}$

${\ Displaystyle h_ {\ mu} = \ lewo [{\ Frac {\ lewo (\ mu - \nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}}\right]^{1/2}}$

${\ Displaystyle h_ {\ nu} = \ lewo [{\ Frac {\ lewo (\ mu - \ nu \ prawo) \ lewo (\ lambda - \ nu \ w prawo)}{\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}}\right]^{1/2}}$

${\ Displaystyle h_ {\ lambda} = \ lewo [{\ Frac {\ lewo (\ lambda - \ nu \ prawo) \ lewo (\ mu - \ lambda \ prawo)} {\ lewo (b- \ lambda \ prawo) \left(\lambda -c\right)}}\right]^{1/2}}$

Stąd nieskończenie mały element objętości

${\ Displaystyle dV = {\ Frac {(\ mu - \ nu) (\ mu - \ lambda) (\ lambda - \ nu)} {\ lewo [(\ mu -b) (\ mu -c)(b-\nu )(c-\nu )(b-\lambda )(\lambda -c)\right]^{1/2}}}\ d\lambda d\mu d\nu }$

Operatory różniczkowe

Typowe operatory różniczkowe można wyrazić we współrzędnych $,$ podstawiając współczynniki skali do operatorów , zastosowanie do dowolnych wymiarowe współrzędne ortogonalne. Na przykład operatorem gradientu jest

${\ Displaystyle \ nabla = \ lewo [{\ Frac {\ lewo (\ mu -b \ prawo) \ lewo (\ mu -c \ prawo)} {\ lewo (\ mu - \ nu \ prawo) \ lewo (\ mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\mu }{\frac {\partial }{\partial \mu }}+\left[{\frac { \left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^ {1/2}\mathbf {e} _{\nu }{\frac {\częściowy}}{\częściowy \nu}}+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left( \lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\ lambda }{\frac {\częściowy}}{\częściowy \lambda}}}$

a Laplacian jest

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nabla ^ {2} = & \ lewo [{\ Frac {\ lewo (\ mu -b \ prawo) \ lewo (\ mu -c \ prawo)} {\ lewo (\ mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\częściowy }{\częściowy \mu }}\left[(\mu - b)^{1/2}(\mu -c)^{1/2}{\frac {\częściowe }{\częściowe \mu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left (b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1 /2}{\frac {\częściowy }{\częściowy \nu }}\left[(b-\nu )^{1/2}(c-\nu )^{1/2}{\frac {\częściowy }{\częściowy \nu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda - \nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\częściowy }{\częściowy \lambda }}\left[(b-\lambda ) ^{1/2}(\lambda -c)^{1/2}{\frac {\częściowy}}{\częściowy \lambda}}\right]\end{wyrównany}}}$

Aplikacje

Współrzędne paraboloidalne mogą być przydatne do rozwiązywania pewnych równań różniczkowych cząstkowych . Na przykład równanie Laplace'a i równanie Helmholtza są rozdzielne we współrzędnych paraboloidalnych. Dzięki temu współrzędne te można wykorzystać do rozwiązania tych równań w geometriach o symetrii paraboloidalnej, czyli z warunkami brzegowymi określonymi na odcinkach paraboloid.

Równanie Helmholtza to ${\ Displaystyle (\ nabla ^ {2} + k ^ {2}) \ psi = 0}$ . Biorąc ${\ Displaystyle \ psi = M (\ mu) N (\ nu) \ Lambda (\ lambda)}$ rozdzielone równania to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & (\ mu -b) (\ mu -c) {\ Frac {d ^ {2} M} {d \ mu ^ {2}}} + {\ Frac {1} {2}}\left[2\mu -(b+c)\right]{\frac {dM}{d\mu }}+\left[k^{2}\mu ^{2}+\alpha _ {3}\mu -\alpha _{2}\right]M=0\\&(b-\nu )(c-\nu ){\frac {d^{2}N}{d\nu ^{ 2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\nu -(b+c)\right]{\frac {dN}{d\nu }}+\left[k^{2 }\nu ^{2}+\alpha _{3}\nu -\alpha _{2}\right]N=0\\&(b-\lambda )(\lambda -c){\frac {d^ {2}\Lambda }{d\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{2}}\left[2\lambda -(b+c)\right]{\frac {d\Lambda} {d\lambda }}-\left[k^{2}\lambda ^{2}+\alpha _{3}\lambda -\alpha _{2}\right]\Lambda =0\\\end{wyrównane }}}$

gdzie $i$$_$ . _ Podobnie $,$ równania dla równania Laplace'a można uzyskać, ustawiając .

Każde z rozdzielonych równań można przedstawić w postaci równania Baera . Bezpośrednie rozwiązanie równań jest jednak trudne, po części dlatego, że stałe separacji $i$$jednocześnie$ wszystkich trzech równaniach

Zgodnie z powyższym podejściem współrzędne paraboloidalne zostały wykorzystane do rozwiązania pola elektrycznego otaczającego przewodzącą paraboloidę.

Bibliografia

•   Lew Yan Voon LC, Willatzen M (2011). Rozdzielne problemy brzegowe w fizyce . Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-41020-0 .
•    Morse PM , Feshbach H (1953). Metody fizyki teoretycznej, część I . Nowy Jork: McGraw-Hill. P. 664. ISBN 0-07-043316-X . LCCN 52011515 .
•   Margenau H. , Murphy GM (1956). Matematyka Fizyki i Chemii . Nowy Jork: D. van Nostrand. s. 184 –185. LCCN 55010911 .
•   Korn GA, Korn TM (1961). Podręcznik matematyczny dla naukowców i inżynierów . Nowy Jork: McGraw-Hill. P. 180 . LCCN 59014456 . ASIN B0000CKZX7.
• Arfken G (1970). Metody matematyczne dla fizyków (wyd. 2). Orlando, Floryda: Prasa akademicka. s. 119–120.
•   Sauer R, Szabo I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nowy Jork: Springer Verlag. P. 98. LCCN 67025285 .
•   Zwillinger D (1992). Podręcznik integracji . Boston, MA: Jones i Bartlett. P. 114. ISBN 0-86720-293-9 . To samo co Morse i Feshbach (1953), zastępując u _k zamiast ξ _k .
•   Księżyc P, Spencer DE (1988). „Współrzędne paraboloidalne (μ, ν, λ)” . Podręcznik teorii pola, w tym układy współrzędnych, równania różniczkowe i ich rozwiązania (poprawione wydanie drugie, wydanie trzecie do druku). Nowy Jork: Springer-Verlag. s. 44–48 (tab. 1.11). ISBN 978-0-387-18430-2 .

Linki zewnętrzne

• MathWorld opis konfokalnych współrzędnych paraboloidalnych