Współrzędne paraboliczne cylindryczne

Powierzchnie współrzędnych parabolicznych współrzędnych cylindrycznych. Czerwony walec paraboliczny odpowiada σ=2, podczas gdy żółty walec paraboliczny odpowiada τ=1. Niebieska płaszczyzna odpowiada z = 2. Powierzchnie te przecinają się w punkcie P (pokazanym jako czarna kula), który ma z grubsza współrzędne kartezjańskie (2, -1,5, 2).

W matematyce paraboliczne współrzędne cylindryczne to trójwymiarowy ortogonalny układ współrzędnych , który wynika z rzutowania dwuwymiarowego parabolicznego układu współrzędnych w $prostopadłym$ . Stąd powierzchnie współrzędnych są konfokalnymi cylindrami parabolicznymi . Współrzędne paraboliczne cylindryczne znalazły wiele zastosowań, np. w potencjalnej teorii krawędzi.

Podstawowa definicja

Paraboliczny układ współrzędnych przedstawiający krzywe o stałych σ i τ, osie pozioma i pionowa to odpowiednio współrzędne x i y. Te współrzędne są rzutowane wzdłuż osi z, więc ten diagram będzie się utrzymywał dla dowolnej wartości współrzędnej z.

Paraboliczne współrzędne cylindryczne ( σ , τ , z ) są określone współrzędnymi kartezjańskimi ( x , y , z ) przez:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = \ sigma \ tau \\ y & = {\ Frac {1} {2}} \ lewo ( \tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{wyrównane}}}$

Powierzchnie o stałym σ tworzą konfokalne cylindry paraboliczne

${\ Displaystyle 2y = {\ Frac {x ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}} - \ sigma ^ {2}}$

które otwierają się w kierunku + y , podczas gdy powierzchnie o stałym τ tworzą konfokalne cylindry paraboliczne

${\ Displaystyle 2y = - {\ Frac {x ^ {2}} {\ tau ^ {2}}} + \ tau ^ {2}}$

które otwierają się w przeciwnym kierunku, tj. w kierunku − y . Ogniska wszystkich tych cylindrów parabolicznych leżą wzdłuż linii wyznaczonej przez x = y = 0 . Promień r również ma prosty wzór

${\ Displaystyle R = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = {\ Frac {1} {2}} \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}$

okazuje się to przydatne w rozwiązywaniu równania Hamiltona-Jacobiego we współrzędnych parabolicznych dla problemu siły centralnej odwrotności kwadratów w mechanice ; więcej informacji można znaleźć w wektorowym Laplace – Runge – Lenz .

Czynniki skali

Współczynniki skali dla parabolicznych cylindrycznych współrzędnych σ i τ to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} h _ {\ sigma} & = h _ {\ tau} = {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^{2}}}\\h_{z}&=1\end{wyrównane}}}$

Elementy różnicowe

Nieskończenie małym elementem objętości jest

${\ Displaystyle dV = h_ {\ sigma} h _ {\ tau} h_ {z} d \ sigma d\tau dz=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})d\sigma \,d\tau \,dz}$

Przemieszczenie różniczkowe jest określone wzorem:

${\ Displaystyle d \ mathbf {l} = {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^{2}}}\,d\sigma \,{\boldsymbol {\hat {\sigma}}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,{\boldsymbol {\kapelusz {\tau}}}+dz\,\mathbf {\kapelusz {z}}}$

Różniczkowy obszar normalny jest określony wzorem:

${\ Displaystyle d \ mathbf {S} = {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} \, d \ tau \, dz {\ boldsymbol {\ kapelusz {\ sigma}}} + {\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,dz{\boldsymbol {\kapelusz {\tau}}}+\left(\sigma ^{2}+ \tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \mathbf {\hat {z}} }$

Del

Niech f będzie polem skalarnym. Gradient jest podany przez

${\ Displaystyle \ nabla f = {\ Frac {1} {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}}} {\ częściowe f \ nad \ częściowe \ sigma}} {\ boldsymbol {\ kapelusz {\sigma }}}+{\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\częściowy f \nad \częściowy \tau}} {\boldsymbol {\hat {\tau}}}+{\częściowe f \ponad \częściowe z}\mathbf {\hat {z}}}$

Laplacian jest podany przez

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} f = {\ Frac {1} \sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\częściowe ^{2}f}{\częściowe \sigma ^{2}}}+{\frac {\częściowe ^{ 2}f}{\częściowy \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\częściowy ^{2}f}{\częściowy z^{2}}}}$

Niech A będzie polem wektorowym postaci:

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = A _ {\ sigma} {\ boldsymbol {\ kapelusz {\ sigma}}} + A_ {\ tau} {\ boldsymbol {\ kapelusz {\ tau}}} + A_ {z} \ mathbf {\ kapelusz {z}}}$

Rozbieżność jest dana przez

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = {\ Frac {1} {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} \ lewo ({\ częściowe ({\ sqrt {\ sigma ^ { 2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }) \ponad \partial \sigma }+{\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{ \tau }) \over \częściowe \tau }\right)+{\częściowe A_{z} \ponad \częściowe z}}$

Loki są podane przez

${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {A} = \ lewo ({\ Frac {1} {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}}}} {\ frac {\ częściowe A_ { z}}{\częściowy \tau }}-{\frac {\częściowy A_{\tau}}{\częściowy z}}\right){\boldsymbol {\hat {\sigma}}}-\left({\ frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\częściowe A_{z}}{\częściowe \sigma }}-{\frac {\częściowe A_ {\ sigma }}{\częściowe z}}\right){\boldsymbol {\hat {\tau}}}+{\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\ left({\frac {\częściowo \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau}\right)}{\częściowo \sigma}}-{\frac {\częściowa \lewo({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma}\right)}{\częściowa \tau}}\right)\mathbf {\hat { z}} }$

Inne operatory różniczkowe można wyrazić we współrzędnych ( σ , τ ) podstawiając współczynniki skali do ogólnych wzorów występujących we współrzędnych ortogonalnych .

Związek z innymi układami współrzędnych

Związek ze współrzędnymi cylindrycznymi ( ρ , φ , z ) :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ rho \ cos \ varphi & = \ sigma \ tau \\\ rho \ sin \varphi &={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{wyrównane}}}$

Paraboliczne wektory jednostkowe wyrażone jako kartezjańskie wektory jednostkowe:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ boldsymbol {\ kapelusz {\ sigma}}} & = {\ Frac {\ tau {\ kapelusz {\ mathbf {x}}} - \ sigma {\ kapelusz {\ mathbf { y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\{\boldsymbol {\kapelusz {\tau}}}&={\frac {\sigma {\kapelusz {\mathbf {x}}}+\tau {\kapelusz {\mathbf {y}}}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\\mathbf {\kapelusz {z}} &=\mathbf {\hat {z}} \end{wyrównane}}}$

Harmoniczne cylindrów parabolicznych

Ponieważ wszystkie powierzchnie stałych σ , τ i z są stożkowate , równanie Laplace'a jest rozdzielne we współrzędnych parabolicznych cylindrycznych. Stosując technikę separacji zmiennych , można zapisać rozwiązanie rozdzielone równania Laplace'a:

${\ Displaystyle V = S (\ sigma) T (\ tau) Z (z)}$

a równanie Laplace'a podzielone przez V ma postać:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} \ lewo [{\ frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0}$

Ponieważ równanie Z jest oddzielone od reszty, możemy pisać

${\ Displaystyle {\ Frac {\ ddot {Z}} {Z}} = - m ^ {2}}$

gdzie m jest stała. Z ( z ) ma rozwiązanie:

${\ Displaystyle Z_ {m} (z) = A_ {1} \, e ^ {imz} + A_ {2} \, e ^{-imz}}$

Zastępując - m ² równanie Laplace'a można teraz zapisać: ${\ Displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}$

${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {\ ddot {S}} {S}} + {\ Frac {\ ddot {T}} {T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})}$

Możemy teraz rozdzielić funkcje S i T i wprowadzić kolejną stałą n ² , aby otrzymać:

${\ Displaystyle {\ ddot {S}} - (m ^ {2} \ sigma ^ {2} + n ^ {2}) S = 0}$

${\ Displaystyle {\ ddot {T}} - (m ^ {2} \ tau ^ {2} -n ^ {2}) T = 0}$

Rozwiązaniem tych równań są paraboliczne funkcje walca

${\ Displaystyle S_ {mn} (\ sigma) = A_{3}y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})}$

${\ Displaystyle T_ {mn} (\ tau) = A_ {5} y_ {1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m }})}$

Paraboliczne harmoniczne cylindra dla ( m , n ) są teraz iloczynem rozwiązań. Kombinacja zmniejszy liczbę stałych, a ogólne rozwiązanie równania Laplace'a można zapisać:

${\ Displaystyle V (\ sigma, \ tau, z) = \ suma _ {m, n} A_ {mn} S_{mn}T_{mn}Z_{m}}$

Aplikacje

Klasyczne zastosowania parabolicznych współrzędnych cylindrycznych to rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych , np. równania Laplace'a lub równania Helmholtza , dla których takie współrzędne umożliwiają separację zmiennych . Typowym przykładem może być pole elektryczne otaczające płaską półnieskończoną płytkę przewodzącą.

Zobacz też

• Współrzędne paraboliczne
• Ortogonalny układ współrzędnych
• Współrzędne krzywoliniowe

Bibliografia

•    Morse PM , Feshbach H (1953). Metody fizyki teoretycznej, część I . Nowy Jork: McGraw-Hill. P. 658. ISBN 0-07-043316-X . LCCN 52011515 .
•   Margenau H. , Murphy GM (1956). Matematyka Fizyki i Chemii . Nowy Jork: D. van Nostrand. s. 186 –187. LCCN 55010911 .
•   Korn GA, Korn TM (1961). Podręcznik matematyczny dla naukowców i inżynierów . Nowy Jork: McGraw-Hill. P. 181. LCCN 59014456 . ASIN B0000CKZX7.
•   Sauer R, Szabo I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nowy Jork: Springer Verlag. P. 96. LCCN 67025285 .
•   Zwillinger D (1992). Podręcznik integracji . Boston, MA: Jones i Bartlett. P. 114. ISBN 0-86720-293-9 . To samo co Morse i Feshbach (1953), zastępując u _k zamiast ξ _k .
•   Księżyc P, Spencer DE (1988). „Współrzędne paraboliczno-cylindrowe (μ, ν, z)” . Podręcznik teorii pola, w tym układy współrzędnych, równania różniczkowe i ich rozwiązania (poprawione wydanie drugie, wydanie trzecie do druku). Nowy Jork: Springer-Verlag. s. 21–24 (tab. 1.04). ISBN 978-0-387-18430-2 .

Linki zewnętrzne

• MathWorld opis parabolicznych współrzędnych cylindrycznych