Współrzędne logarytmiczne

W matematyce współrzędne logarytmiczne (lub logarytmiczne współrzędne biegunowe ) to układ współrzędnych w dwóch wymiarach, w którym punkt jest identyfikowany przez dwie liczby, jedną dla logarytmu odległości do określonego punktu i jedną dla kąta . Logarytmiczne współrzędne biegunowe są ściśle powiązane ze współrzędnymi biegunowymi , które są zwykle używane do opisywania dziedzin w płaszczyźnie z pewnego rodzaju symetrią obrotową . W obszarach takich jak analiza harmoniczna i złożona , współrzędne logarytmiczne są bardziej kanoniczne niż współrzędne biegunowe.

Transformacje definicji i współrzędnych

Współrzędne logarytmiczne na płaszczyźnie składają się z pary liczb rzeczywistych (ρ,θ), gdzie ρ jest logarytmem odległości między danym punktem a początkiem, a θ jest kątem między linią odniesienia ( osią x ) oraz linię przechodzącą przez początek i punkt. Współrzędna kątowa jest taka sama jak dla współrzędnych biegunowych, natomiast współrzędna promieniowa jest przekształcana zgodnie z regułą

{\ displaystyle r = e ^ {\ rho}}

.

gdzie jest odległością do $.$ Wzory na przekształcenie współrzędnych kartezjańskich na współrzędne logarytmiczno-biegunowe są podane przez

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ rho = \ ln \ lewo ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ prawo), \\\ theta = \ operatorname {atan2} (y ,\,x).\end{przypadki}}}

a wzory na transformację ze współrzędnych logarytmicznych na współrzędne kartezjańskie to

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} x = e ^ {\ rho} \ cos \ teta, \\ y = e ^ {\ rho} \ sin \ teta. \ koniec {przypadków}}}

Używając liczb zespolonych ( x , y ) = x + iy , to ostatnie przekształcenie można zapisać jako

{\ Displaystyle x + iy = e ^ {\ rho + i \ teta}}

tj. złożona funkcja wykładnicza. Wynika z tego, że podstawowe równania w analizie harmonicznej i zespolonej będą miały taką samą prostą postać jak we współrzędnych kartezjańskich. Nie dotyczy to współrzędnych biegunowych.

Niektóre ważne równania we współrzędnych logarytmicznych

Równanie Laplace'a

Równanie Laplace'a w dwóch wymiarach jest podane przez

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u}{\częściowo ^{2}}}=0}

we współrzędnych kartezjańskich. Zapisanie tego samego równania we współrzędnych biegunowych daje bardziej skomplikowane równanie

{\ Displaystyle R {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy r}} \ lewo (r {\ Frac {\ częściowy u} {\ częściowe r}}\right)+{\frac {\częściowe ^{2}u}{\częściowe \theta ^{2}}}=0}

lub równoważnie

{\ Displaystyle \ lewo (r {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe r}} \ prawej) ^ {2} u + {\ Frac {\ częściowe ^{2}u}{\częściowe \theta ^{2}}}=0}

Jednak z relacji ${\ Displaystyle r = e ^ {\ rho}}$ wynika, że ${\ Displaystyle R {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy r}} = {\frac {\partial }{\partial \rho }}}$ więc równanie Laplace'a we współrzędnych logarytmiczno-biegunowych,

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe \ rho ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe ^ {2} }u}{\częściowo \theta ^{2}}}=0}

ma takie samo proste wyrażenie jak we współrzędnych kartezjańskich. Dotyczy to wszystkich układów współrzędnych, w których transformacja do współrzędnych kartezjańskich jest dana przez odwzorowanie konforemne . Tak więc, rozważając równanie Laplace'a dla części płaszczyzny o symetrii obrotowej, np. dysku kołowego, naturalnym wyborem jest współrzędne logarytmiczno-biegunowe.

Równania Cauchy'ego-Riemanna

Podobna sytuacja powstaje przy rozważaniu funkcji analitycznych . funkcja analityczna ${\ Displaystyle f (x, y) = u (x, y) + iv (x, y)}$ napisana w Współrzędne kartezjańskie spełniają równania Cauchy'ego-Riemanna:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe x}} = {\ Frac {\ częściowe v} {\ częściowe y }},\ \ \ \ \ \ {\ frac {\ częściowe u} {\ częściowe y}} = - {\ frac {\ częściowe v} {\ częściowe x}}}

Jeśli zamiast tego funkcja jest wyrażona w postaci biegunowej , równania Cauchy'ego-Riemanna przyjmują ${\ Displaystyle f (re ^ {i \ theta}) = Re ^ {i \ Phi}}$ bardziej skomplikowana forma

{\ Displaystyle r {\ Frac {\ częściowy \ log R} {\ częściowy r}} = {\ frac {\częściowe \Phi }{\częściowe \theta}},\ \ \ \ \ \ {\frac {\częściowe \log R}{\częściowe \theta}}=-r{\frac {\częściowe \Phi} {\częściowe r}},}

Podobnie jak w przypadku równania Laplace'a, prosta postać współrzędnych kartezjańskich jest odzyskiwana przez zmianę współrzędnych biegunowych na logarytmiczne (niech ${\ displaystyle P = \ log R}$ ):

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe P} {\ częściowe \ rho}} = {\ Frac {\ częściowe \ Phi}} {\ częściowe \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\częściowe P}{\częściowe \theta}}=-{\frac {\częściowe \Phi }{\częściowe \rho }}}

Równania Cauchy'ego-Riemanna można również zapisać w jednym równaniu jako

{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x}} + ja {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy y }}\right)f(x+iy)=0}

Wyrażając ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x}}}$ i ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy y}}}$ w kategoriach $\ rho}}}$ ${ \ Displaystyle$ $\ częściowe$ i to można zapisać w równoważnej formie

{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy \ rho}} + ja {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowe \theta }}\right)f(e^{\rho +i\theta })=0}

Równanie Eulera

Gdy chce się rozwiązać problem Dirichleta w dziedzinie o symetrii obrotowej, zwykle stosuje się metodę separacji zmiennych dla równań różniczkowych cząstkowych dla równania Laplace'a w postaci biegunowej. Oznacza to, że piszesz ${\ Displaystyle u (r, \ theta) = R (r) \ Theta (\ theta)}$ . Równanie Laplace'a jest następnie rozdzielane na dwa równania różniczkowe zwyczajne

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ Theta '' ( \theta )+\nu ^{2}\Theta (\theta )=0\\r^{2}R''(r)+rR'(r)-\nu ^{2}R(r)=0 \end{przypadki}}}

gdzie $jest$ . Pierwszy z nich ma stałe współczynniki i jest łatwy do rozwiązania. Drugi to szczególny przypadek równania Eulera

{\ Displaystyle r ^ {2} R '' (r) + crR' (r) + dR (r) = 0}

gdzie do $\ displaystyle c, d}$ są stałymi. Równanie to $biegunowego$ ansatz , ale dzięki logarytmicznego promienia :

{\ Displaystyle P '' (\ rho) + (c-1) P '(\ rho) + dP (\ rho )=0}

Rozważając równanie Laplace'a, i równanie dla ${\ displaystyle r}$ przyjmuje prostą postać do ${\ displaystyle c = 1}$ i $= - \ nu ^ {2}}$

{\ Displaystyle P '' (\ rho) - \ nu ^ {2} P (\ rho) = 0}

$displaystyle y}$ współrzędnych kartezjańskich, są to dokładnie równania dla i y $\$ . Zatem po raz kolejny naturalnym wyborem dla dziedziny o symetrii obrotowej nie są współrzędne biegunowe, ale raczej logarytmiczne.

Dyskretna geometria

Dyskretny układ współrzędnych w okrągłym dysku określonym przez współrzędne logarytmiczno-biegunowe ( n = 25)

Dyskretny układ współrzędnych w okrągłym dysku, który można łatwo wyrazić we współrzędnych logarytmiczno-biegunowych ( n = 25)

Część fraktala Mandelbrota przedstawiająca spiralne zachowanie

Aby numerycznie rozwiązać PDE w dziedzinie, należy w tej dziedzinie wprowadzić dyskretny układ współrzędnych. Jeśli dziedzina ma symetrię obrotową i chcesz mieć siatkę składającą się z prostokątów, współrzędne biegunowe są złym wyborem, ponieważ w środku koła powstają trójkąty, a nie prostokąty. Można temu zaradzić, wprowadzając współrzędne logarytmiczne w następujący sposób. Podziel płaszczyznę na siatkę kwadratów o długości boku 2 ${\ Displaystyle \ pi}$ / n , gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą. Użyj złożonej funkcji wykładniczej, aby utworzyć logarytmiczną siatkę biegunową na płaszczyźnie. Lewa półpłaszczyzna jest następnie odwzorowywana na dysku jednostkowym, z liczbą promieni równą n . Jeszcze bardziej korzystne może być zamiast tego mapowanie przekątnych w tych kwadratach, co daje dyskretny układ współrzędnych w dysku jednostkowym składającym się ze spirali, patrz rysunek po prawej stronie.

Operator Dirichleta do Neumanna

Ten ostatni układ współrzędnych jest na przykład odpowiedni do rozwiązywania problemów Dirichleta i Neumanna. Jeśli dyskretny układ współrzędnych jest interpretowany jako nieskierowany wykres na dysku jednostkowym, można go uznać za model sieci elektrycznej. Z każdym odcinkiem linii na wykresie związana jest przewodność określona przez funkcję ${\ displaystyle \ gamma}$ . Sieć elektryczna będzie wówczas służyć jako dyskretny model problemu Dirichleta w dysku jednostkowym, gdzie równanie Laplace'a przyjmuje postać prawa Kirchhoffa. W węzłach na granicy okręgu określony jest potencjał elektryczny (dane Dirichleta), który indukuje prąd elektryczny (dane Neumanna) przez węzły graniczne. Operator liniowy $danych$ Dirichleta do danych Neumanna nazywany jest operatorem Dirichleta do Neumanna zależy od topologii i przewodnictwa sieci.

W przypadku ciągłego dysku wynika z tego, że jeśli przewodnictwo jest jednorodne, powiedzmy wszędzie, to operator Dirichleta do Neumanna spełnia następujące równanie ${\ displaystyle \ gamma = 1}$

{\ Displaystyle \ Lambda _ {\ gamma} ^ {2} + {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \} {\ częściowe \ teta ^ {2}}} = 0 }

Aby uzyskać dobry dyskretny model problemu Dirichleta, przydatne byłoby znalezienie wykresu na dysku jednostkowym, którego (dyskretny) operator Dirichleta-Neumanna ma tę samą właściwość. Chociaż współrzędne biegunowe nie dają nam żadnej odpowiedzi, jest to przybliżone/asymptotyczne to, co daje nam sieć obrotowo-symetryczna określona przez współrzędne logarytmiczno-biegunowe.

Analiza obrazu

Już pod koniec lat 70. pojawiły się zastosowania dyskretnego spiralnego układu współrzędnych w analizie obrazu ( rejestracja obrazu ). Przedstawienie obrazu w tym układzie współrzędnych, a nie we współrzędnych kartezjańskich, daje korzyści obliczeniowe podczas obracania lub powiększania obrazu. Również fotoreceptory w siatkówce ludzkiego oka są rozmieszczone w sposób, który ma duże podobieństwa do spiralnego układu współrzędnych. Można go również znaleźć we fraktalu Mandelbrota (patrz zdjęcie po prawej).

Współrzędne logarytmiczne można również wykorzystać do skonstruowania szybkich metod transformacji Radona i jej odwrotności.

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Witryna dotycząca rachunku nienewtonowskiego