Współrzędne toroidalne

Ilustracja współrzędnych toroidalnych, które uzyskuje się przez obrót dwuwymiarowego dwubiegunowego układu współrzędnych wokół osi oddzielającej jego dwa ogniska. Ogniska znajdują się w odległości 1 od pionowej z . Część czerwonej kuli, która leży nad płaszczyzną $xy$, to izopowierzchnia σ = 30°, niebieski torus to izopowierzchnia τ = 0,5, a żółta półpłaszczyzna to izopowierzchnia φ = 60°. Zielona półpłaszczyzna oznacza x - z płaszczyźnie, od której mierzy się φ. Czarny punkt znajduje się na przecięciu izopowierzchni czerwonej, niebieskiej i żółtej, w przybliżeniu na współrzędnych kartezjańskich (0,996, -1,725, 1,911).

Współrzędne toroidalne to trójwymiarowy ortogonalny układ współrzędnych , który wynika z obrotu dwuwymiarowego dwubiegunowego układu współrzędnych wokół osi oddzielającej jego dwa ogniska. $\ displaystyle$ ten sposób dwa ogniska i we współrzędnych dwubiegunowych stają się pierścieniem o promieniu $xy}$ płaszczyźnie x $displaystyle F_ {1}}$$fa$ toroidalnego układu współrzędnych; the ${\ displaystyle z}$ -oś jest osią obrotu. Pierścień ogniskowy jest również znany jako koło odniesienia.

Definicja

Najczęstszą definicją współrzędnych toroidalnych jest ${\ Displaystyle (\ tau, \ sigma, \ phi)}$

${\ Displaystyle x = a \ {\ Frac {\ sinh \ tau} {\ cos \ tau - \ cos \ sigma}} \ cos \ phi}$

${\ Displaystyle y = a \ {\ Frac {\ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} \ sin \ phi}$

${\ Displaystyle z = a \ {\ Frac {\ sin \ sigma}} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}}$

razem z ${\ Displaystyle \ operatorname {znak} (\ sigma) = \ operatorname {znak} ($$}$ ) . punkt jest równy $kątowi,$ a współrzędna równa logarytmowi naturalnemu $Displaystyle$$F_ {1} PF_ {2}}$ stosunku odległości i ${\ Displaystyle d_$${2}}$ do przeciwnych stron pierścienia ogniskowego re

${\ Displaystyle \ tau = \ ln {\ Frac {d_ {1}} {d_ {2}}}.}$

Zakresy współrzędnych to ${\ Displaystyle - \ pi <\ sigma \ równoważnik$${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ phi <2 \ pi.}$$pi$ , i

Powierzchnie współrzędnych

Obracanie tego dwuwymiarowego dwubiegunowego układu współrzędnych wokół osi pionowej tworzy trójwymiarowy toroidalny układ współrzędnych powyżej. Okrąg na osi pionowej staje się czerwoną kulą , podczas gdy okrąg na osi poziomej staje się niebieskim torusem .

Powierzchnie o stałej $promieniach$ kulom o różnych

${\ Displaystyle \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawej) + \ lewo (za$

które wszystkie przechodzą przez pierścień ogniskowy, ale nie są koncentryczne. Powierzchnie o stałej są nieprzecinającymi się torusami o różnych promieniach ${\ displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle z ^ {2} + \ lewo ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} }}-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$

które otaczają pierścień ostrości. Środki stałych $leżą$ wzdłuż $są$ , podczas gdy stałe $- tori$ wyśrodkowane w płaszczyźnie ${\ displaystyle xy$ .

Transformacja odwrotna

Współrzędne można $)$ ze współrzędnych kartezjańskich x w następujący . Kąt azymutalny $wzorem$ określony

${\ Displaystyle \ tan \ phi = {\ Frac {y} {x}}}$

Promień cylindryczny punktu P jest określony wzorem ${\ displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle \ rho ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} = \ lewo (a { \frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\right)^{2}}$

a jego odległości do ognisk w płaszczyźnie określonej przez φ $\ displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle d_ {1} ^ {2} = (\ rho + a) ^ {2} + z ^ {2}}$

${\ Displaystyle d_ {2} ^ {2} = (\ rho -a) ^ {2} + z ^ {2}}$

Geometryczna interpretacja współrzędnych σ i τ punktu P . Obserwowane w płaszczyźnie stałego kąta azymutalnego $współrzędne$ toroidalne są równoważne współrzędnym dwubiegunowym . Kąt $jest$ utworzony przez dwa ogniska w tej płaszczyźnie i $P$ , podczas gdy stosunku odległości do ognisk. Odpowiednie kręgi stałych i $displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ tau}$ są pokazane odpowiednio na czerwono i niebiesko i spotykają się pod kątem prostym (pudełko magenta); są ortogonalne.

Współrzędna jest równa logarytmowi naturalnemu odległości ogniskowych ${\ displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle \ tau = \ ln {\ Frac {d_ {1}} {d_ {2}}}}$

podczas gdy ${\ Displaystyle | \ sigma |}$ równa się kątowi między promieniami a ogniskami, który można wyznaczyć z twierdzenia cosinusów

${\ Displaystyle \ cos \ sigma = {\ Frac {d_ {1} ^ {2} + d_ {2} ^ {2} -4a ^ {2}} {2d_ {1} d_ {2}}}.}$

Lub wyraźnie, łącznie ze znakiem,

${\ Displaystyle \ sigma = \ operatorname {znak} (z) \ arccos {\ Frac { r^{2}-a^{2}}{\sqrt {(r^{2}-a^{2})^{2}+4a^{2}z^{2}}}}}$

gdzie ${\ Displaystyle R = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}}$ .

Transformacje między współrzędnymi cylindrycznymi i toroidalnymi można wyrazić w złożonej notacji jako

${\ Displaystyle z + i \ rho \ = ia \ coth {\ Frac {\ tau + i \ sigma} {2}},}$

${\ Displaystyle \ tau + i \ sigma \ = \ ln {\ Frac {z + i (\ rho + a)} {z + i (\ rho -a)}}.}$

Czynniki skali

Współczynniki skali dla współrzędnych toroidalnych i są równe $}$$\ displaystyle \ sigma$

${\ Displaystyle h _ {\ sigma} = h _ {\ tau} = {\ Frac {a} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}}$

podczas gdy współczynnik skali azymutu jest równy

${\ Displaystyle h _ {\ phi} = {\ Frac {a \ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}}$

Zatem nieskończenie mały element objętości jest równy

${\ Displaystyle dV = {\ Frac {a ^ {3} \ sinh \ tau} {\ lewo (\ cosh \ tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$

Operatory różniczkowe

Laplacian jest podany przez

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ Frac {\ lewo (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma \ prawo) ^ {3}} {a ^ {2} \ sinh \tau }}&\left[\sinh \tau {\frac {\częściowy }{\częściowy \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\częściowe \Phi }{\częściowe \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\quad +\left.{\frac {\częściowe }{\częściowe \tau }}\left( {\frac {\sinh \tau}}{\cosh \tau -\cos \sigma}}{\frac {\częściowy \Phi}}}\częściowy \tau}}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\częściowe ^{2}\Phi }{\częściowe \phi ^{2}}}\right]\end{wyrównane }}}$$

Dla pola wektorowego

$${\ Displaystyle {\ vec {n}} (\ tau, \ sigma, \ phi) = n _ {\ tau} (\ tau, \ sigma, \ phi) {\ kapelusz {e}} _ {\ tau} + n_ {\sigma}(\tau,\sigma,\phi){\kapelusz {e}}_{\sigma}+n_{\phi}(\tau,\sigma,\phi){\kapelusz {e}}_ {\fi},}$$

wektor Laplace'a jest podany przez

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Delta {\ vec {n}} (\ tau, \ sigma, \ phi) & = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {n}}) - \ nabla \ razy (\nabla \times {\vec {n}})\\&={\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\tau}\left\{n_{\ tau }\left(-{\frac {\sinh ^{4}\tau +(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+ n_{\sigma }(-\sinh \tau \sin \sigma )+{\frac {\częściowe n_{\tau }}{\częściowe \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\ cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad +{\frac {\częściowe n_{\tau} }{\częściowa \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\częściowa n_{\sigma }}{\częściowa \sigma }}(2(\ cosh \tau -\cos \sigma )\sinh \tau )+{\frac {\częściowe n_{\sigma }}{\częściowe \tau }}(-2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \\&\qquad +{\frac {\częściowe n_{\phi }}{\częściowe \phi }}\left({\frac {-2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\częściowy ^{2}n_{\tau}}{{\częściowy \ tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\częściowe ^{2}n_{\tau }}{{\częściowe \sigma }^{2 }}}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2})+\cdots \\&\qquad \left.+{\frac {\częściowy ^{2}n_{\tau }}{ {\częściowe \phi }^{2}}}{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right\}\\& +{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\sigma}\left\{n_{\tau}\left(-{\frac {(\cosh ^{2 }\tau +1-2\cosh \tau \cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+n_{\sigma }\left(-\sinh ^{2}\tau - 2\sin ^{2}\sigma \right)+\ldots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\częściowy n_{\tau }}{\częściowy \tau }}(2\sin \sigma (\cosh \tau -\cos \sigma ))+{\frac {\częściowe n_{\tau }}{\częściowe \sigma }}\left(-2\sinh \tau (\cosh \tau -\ cos \sigma )\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\częściowe n_{\sigma }}{\częściowe \tau }}\left({\frac {(\ cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\częściowy n_{\sigma }}{\częściowy \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\częściowe n_{\phi}}{\częściowe \phi }}\left(2{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\częściowe ^{2}n_ {\sigma }}{{\częściowe \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\częściowe ^{2}n_{\sigma }} {{\częściowe \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\częściowe ^ {2}n_{\sigma }}{{\częściowe \phi}^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{ 2}\tau }}\right)\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\phi}\left\{n_{\ phi }\left(-{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\częściowe n_{\ tau }}{\częściowe \phi}}\left({\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\ tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\częściowe n_{\sigma }}{\częściowe \phi }}\left(-{\frac {2( \cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\częściowy n_{\phi}}{\częściowy \tau}}\left({\ frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left. +{\frac {\częściowy n_{\phi}}{\częściowy \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\częściowy ^{2}n_ {\phi}}{{\częściowe \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\ frac {\częściowe ^{2}n_{\phi}}{{\częściowe \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\częściowe ^ {2}n_{\phi }}{{\częściowe \phi}^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{ 2}\tau }}\right)\right\}\end{wyrównane}}}$$

$}}$ takie jak i można wyrazić we współrzędnych ${\ Displaystyle (\ sigma, \ tau, \ phi)}$$)$ przez zastąpienie współczynników skali ogólnymi wzorami znajdującymi się we współrzędnych ortogonalnych .

Harmoniczne toroidalne

Separacja standardowa

Równanie Laplace'a z trzema zmiennymi

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = 0}$

dopuszcza rozwiązanie poprzez separację zmiennych we współrzędnych toroidalnych. Dokonywanie zamiany

${\ Displaystyle \ Phi = U {\ sqrt {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}}$

Otrzymuje się wtedy rozdzielne równanie. Konkretnym rozwiązaniem uzyskanym przez rozdzielenie zmiennych jest:

${\ Displaystyle \ Phi = {\ sqrt {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} \, \, S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

gdzie każda funkcja jest liniową kombinacją:

${\ Displaystyle S _ {\ nu} (\ sigma) = e ^ {i \ nu \ sigma} \, \, \, \, \ operatorname {i} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\ Displaystyle T _ {\ mu \ nu} (\ tau) = P _ {\ nu -1/2} ^ {\ mu} (\ cosh \ tau) \, \, \, \, \mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )}$

${\ Displaystyle V _ {\ mu} (\ phi) = e ^ {i \ mu \ phi} \, \, \, \ \ operatorname {i} \, \, \, \, e ^ {-i \mu \phi }}$

Gdzie P i Q są powiązanymi funkcjami Legendre'a pierwszego i drugiego rodzaju. Te funkcje Legendre'a są często określane jako harmoniczne toroidalne.

Harmoniczne toroidalne mają wiele interesujących właściwości. $,$ dokonasz podstawienia zmiennej $Z = \ cosh \ tau > 1}$ to na przykład z porządkiem znikającym (konwencja jest taka, aby nie pisać kolejność, gdy znika) i ${\ displaystyle \ nu = 0}$

${\ Displaystyle Q _ {- {\ Frac {1} {2}}} (z) = {\ sqrt {\ Frac {2} 1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {2}{1+z}}}\right)}$

I

${\ Displaystyle P _ {- {\ Frac {1} {2}}} (z) = {\ Frac {2} {\pi}}{\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {z-1}{z+1}}}\right)}$

gdzie $i$$są$ kompletnymi całkami eliptycznymi pierwszego drugiego rodzaju . _ Resztę harmonicznych toroidalnych można uzyskać, na przykład, w kategoriach pełnych całek eliptycznych, stosując relacje powtarzalności dla powiązanych funkcji Legendre'a.

Klasyczne zastosowania współrzędnych toroidalnych to rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych , np. równania Laplace'a, dla którego współrzędne toroidalne umożliwiają rozdzielenie zmiennych lub równania Helmholtza , dla którego współrzędne toroidalne nie pozwalają na rozdzielenie zmiennych. Typowymi przykładami byłby potencjał elektryczny i pole elektryczne torusa przewodzącego lub w zdegenerowanym przypadku pierścienia elektrycznego (Hulme 1982).

Alternatywna separacja

Alternatywnie można dokonać innego zastąpienia (Andrews 2006)

${\ Displaystyle \ Phi = {\ Frac {U} {\ sqrt {\ rho}}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = {\ Frac {a \ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}.}$

Ponownie otrzymuje się rozłączne równanie. Konkretnym rozwiązaniem uzyskanym przez separację zmiennych jest wtedy:

${\ Displaystyle \ Phi = {\ Frac {a} {\ sqrt {\ rho}}} \, \, S_ {\ nu} (\sigma )T_{\mu \nu }(\tau)V_{\mu}(\phi)}$

gdzie każda funkcja jest liniową kombinacją:

${\ Displaystyle S _ {\ nu} (\ sigma) = e ^ {i \ nu \ sigma} \, \, \, \, \ operatorname {i} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\ Displaystyle T _ {\ mu \ nu} (\ tau) = P _ {\ mu -1/2} ^ {\ nu} (\ coth \ tau) \, \, \, \, \mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )}$

${\ Displaystyle V _ {\ mu} (\ phi) = e ^ {i \ mu \ phi} \, \, \, \, \ operatorname {i} \, \, \, \, e ^ {-i \ mu \phi}.}$

$}$ że chociaż harmoniczne toroidalne są ponownie używane dla T , argumentem jest raczej niż ${\ Displaystyle \ cosh \ tau$ i ${\ Displaystyle \ mu$ i $są$ wymieniane. Ta metoda jest przydatna w sytuacjach, w których warunki brzegowe są niezależne od kąta sferycznego ${\ displaystyle \ theta}$ , takie jak naładowany pierścień, nieskończona półpłaszczyzna lub dwie równoległe płaszczyzny. Aby zapoznać się z tożsamościami odnoszącymi toroidalne harmoniczne z argumentem cosinus hiperboliczny z tymi z argumentem cotangens hiperbolicznym, zobacz wzory Whipple'a .

• Byerly, WE (1893) Elementarny traktat o szeregach Fouriera i harmonicznych sferycznych, cylindrycznych i elipsoidalnych, z zastosowaniami do problemów fizyki matematycznej Ginn i współpracownicy. s. 264–266
• Arfken G (1970). Metody matematyczne dla fizyków (wyd. 2). Orlando, Floryda: Prasa akademicka. s. 112–115.
•   Andrews, Mark (2006). „Alternatywne rozdzielenie równania Laplace'a we współrzędnych toroidalnych i jego zastosowanie w elektrostatyce”. Dziennik elektrostatyki . 64 (10): 664–672. CiteSeerX 10.1.1.205.5658 . doi : 10.1016/j.elstat.2005.11.005 .
• Hulme, A. (1982). „Uwaga na temat magnetycznego potencjału skalarnego pierścienia z prądem elektrycznym”. Mathematical Proceedings of Cambridge Philosophical Society . 92 (1): 183–191. doi : 10.1017/S0305004100059831 .

Bibliografia

• Morse PM, Feshbach H (1953). Metody fizyki teoretycznej, część I . Nowy Jork: McGraw-Hill. P. 666.
•   Korn GA, Korn TM (1961). Podręcznik matematyczny dla naukowców i inżynierów . Nowy Jork: McGraw-Hill. P. 182. LCCN 59014456 .
•   Margenau H, Murphy GM (1956). Matematyka Fizyki i Chemii . Nowy Jork: D. van Nostrand. s. 190 –192. LCCN 55010911 .
•   Księżyc PH, Spencer DE (1988). „Współrzędne toroidalne ( η , θ , ψ )” . Podręcznik teorii pola, w tym układy współrzędnych, równania różniczkowe i ich rozwiązania (wydanie drugie, wydanie trzecie poprawione do druku). Nowy Jork: Springer Verlag. s. 112–115 (sekcja IV, E4Ry). ISBN 978-0-387-02732-6 .

Linki zewnętrzne

• MathWorld opis współrzędnych toroidalnych