Funkcja Legendre'a

W naukach fizycznych i matematyce funkcje Legendre'a $P λ$ , $Q λ$ i powiązane funkcje Legendre'a $P μ λ$ , $Q μ λ$ i funkcje Legendre'a drugiego rodzaju , $Q n$ , są rozwiązaniami równania różniczkowego Legendre'a. Wielomiany Legendre'a i związane z nimi wielomiany Legendre'a są również rozwiązaniami równania różniczkowego w przypadkach szczególnych, które z racji tego, że są wielomianami, mają dużą liczbę dodatkowych właściwości, struktury matematycznej i zastosowań. Aby zapoznać się z tymi rozwiązaniami wielomianowymi, zobacz osobne artykuły w Wikipedii.

Powiązane krzywe wielomianu Legendre'a dla

λ = l = 5

.

Równanie różniczkowe Legendre'a

Brzmi ogólne równanie Legendre'a

{\ Displaystyle \ lewo (1-x ^ {2} \ prawo) y' '-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]y=0,}

gdzie liczby

λ

i

μ

mogą być zespolone i nazywane są odpowiednio stopniem i rzędem odpowiedniej funkcji. Rozwiązania wielomianowe, gdy

λ

jest liczbą całkowitą (oznaczoną

n

), a

μ = 0

, to wielomiany Legendre'a

P n

; a gdy

λ

jest liczbą całkowitą (oznaczoną

n

), a

μ = m

jest również liczbą całkowitą z

| m | < rz

są powiązanymi wielomianami Legendre'a. Wszystkie inne przypadki

λ

i

μ

można omówić jako jeden, a rozwiązania zapisać

P μ λ

,

Q μ λ

. Jeśli

μ = 0

, indeks górny jest pomijany i pisze się po prostu

P λ

,

Q λ

. Jednak rozwiązanie

Q λ

, gdy

λ

jest liczbą całkowitą, jest często omawiane oddzielnie jako funkcja Legendre'a drugiego rodzaju i oznaczane jako

Q n

.

Jest to równanie liniowe drugiego rzędu z trzema regularnymi punktami osobliwymi (w $1$ , $-1$ i $\infty$ ). Jak wszystkie tego typu równania, można je przekształcić w hipergeometryczne równanie różniczkowe poprzez zmianę zmiennej, a jego rozwiązania można wyrazić za pomocą funkcji hipergeometrycznych .

Rozwiązania równań różniczkowych

$F_{1}}$ $rzędu , ma dwa liniowo niezależne rozwiązania$ , z których oba można wyrazić za pomocą funkcji hipergeometrycznej . Ponieważ funkcja $gamma$ jest funkcją gamma pierwszym rozwiązaniem jest

{\ Displaystyle P _ {\ lambda} ^ {\ mu} (z) = {\ Frac {1} {\ Gamma (1- \ mu)}} \ lewo [{\ Frac {1 + z} {1-z }}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2} }\right),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2}

a drugie to,

{\ Displaystyle Q _ {\ lambda} ^ {\ mu} (z) = {\ Frac {{\ sqrt {\ pi}} \ \ Gamma (\ lambda + \ mu +1)} {2 ^ {\ lambda +1 }\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi}(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda + \mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{ 2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z| >1.}

Wykres funkcji Legendre'a drugiego rodzaju Q n(x) z n=0,5 na płaszczyźnie zespolonej od -2-2i do 2+2i z kolorami utworzonymi za pomocą funkcji Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Są one ogólnie znane jako funkcje Legendre'a pierwszego i drugiego rodzaju stopnia niecałkowitego, z dodatkowym kwalifikatorem „powiązanym”, jeśli $μ$ jest niezerowe. Przydatną zależnością między $P$ i $Q$ jest wzór Whipple'a .

Dodatnia kolejność liczb całkowitych

Dla dodatniej liczby całkowitej ${\ Displaystyle \ mu = m \ in \ mathbb {N} ^ {+}}$ powyżej obejmuje P $\ Displaystyle P _ {\ lambda} ^ {\ mu}}$ anulowanie pojedynczych warunków. Możemy znaleźć granicę ważną dla jako $Displaystyle m \ in \ mathbb {N} _ {0}}$ \

{\ Displaystyle P _ {\ lambda} ^ {m} (z) = \ lim _ {\ mu \ do m} P _ {\ lambda} ^ {\ mu} (z) = {\ Frac { (-\lambda )_{m}(\lambda +1)_{m}}{m!}}\left[{\frac {1-z}{1+z}}\right]^{m/2 }\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1+m;{\frac {1-z}{2}}\right),}

z (rosnącym) symbolem Pochhammera ${\ Displaystyle (\ lambda) _ {n}$ }

Funkcje Legendre'a drugiego rodzaju ( $Q n$ )

Wykres pierwszych pięciu funkcji Legendre'a drugiego rodzaju.

Niewielomianowe rozwiązanie dla szczególnego przypadku stopnia całkowitego $}$ jest często omawiane ${\ Displaystyle \ lambda = n \ in \ mathbb {N} _$ osobno. Podaje się przez

{\ Displaystyle Q_ {n} (x) = {\ Frac {n!} {1 \ cdot 3 \ cdots (2n + 1)}} \ lewo (x ^ {- (n + 1)} + {\ frac { (n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3) (n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)}

To rozwiązanie jest z konieczności osobliwe , gdy ${\ displaystyle x = \ pm 1}$ .

Funkcje Legendre'a drugiego rodzaju można również zdefiniować rekurencyjnie za pomocą wzoru rekurencji Bonneta

{\ Displaystyle Q_ {n} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {1} {2}} \ log {\ Frac {1 + x} {1-x}} & n = 0 \\ P_ { 1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n }}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{przypadki}}}

Powiązane funkcje Legendre'a drugiego rodzaju

$\mathbb {N} _{0}}$ dla szczególnego przypadku stopnia całkowitego $Displaystyle$ μ $\ mu = m \$ jest podane przez

{\ Displaystyle Q_ {n} ^ {m} (x) = (-1) ^ {m} (1-x ^ {2}) ^ {\ Frac {m} {2}} {\ Frac {d ^ { m}}{dx^{m}}}Q_{n}(x)\,.}

Reprezentacje integralne

Funkcje Legendre'a można zapisać jako całki konturowe. Na przykład,

{\ Displaystyle P _ {\ lambda} (z) =P_{\lambda}^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{ \lambda }}{2^{\lambda }(tz)^{\lambda +1}}}dt}

gdzie kontur owija się wokół punktów

1

i

z

w kierunku dodatnim i nie owija się wokół

-1

. Dla rzeczywistego

x

mamy

{\ Displaystyle P_ {s} (x) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ lewo (x + {\ sqrt { x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi}}\int _{0}^{1}\left(x+{ \sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \ matematyka {C} }

Legendre funkcjonują jako postacie

Rzeczywiste $są$ $_$ badaniu _ ${\ Displaystyle G // K}$ to podwójna przestrzeń coset (patrz Strefowa funkcja sferyczna S $)}$ ). W rzeczywistości transformata Fouriera na jest dana przez ${\ Displaystyle L ^ {1} (G // K)}$