Współrzędne cylindryczne eliptyczne

Powierzchnie współrzędnych eliptycznych współrzędnych cylindrycznych. Żółty arkusz to graniastosłup półhiperboli odpowiadający ν=-45°, podczas gdy czerwona tuba to graniastosłup eliptyczny odpowiadający μ=1. Niebieski arkusz odpowiada z = 1. Trzy powierzchnie przecinają się w punkcie P (pokazanym jako czarna kula) o współrzędnych kartezjańskich z grubsza (2,182, -1,661, 1,0). Ogniska elipsy i hiperboli leżą w punkcie x = ±2,0.

Eliptyczne współrzędne cylindryczne to trójwymiarowy ortogonalny układ współrzędnych , który wynika z rzutowania dwuwymiarowego eliptycznego układu współrzędnych w $prostopadłym$ . Stąd powierzchnie współrzędnych są graniastosłupami elips konfokalnych i hiperboli . Ogólnie przyjmuje się $+$$+ a$ dwa ogniska i są ustalone odpowiednio na ${\ displaystyle -a}$$displaystyle$ { , na $-osi$ kartezjańskiego układu współrzędnych .

Podstawowa definicja

Najczęstszą definicją eliptycznych współrzędnych cylindrycznych jest ${\ Displaystyle (\ mu, \ nu, z)}$

${\ Displaystyle x = a \ \ cosh \ mu \ \ cos \ nu}$

${\ Displaystyle y = a \ \ sinh \ mu \ \ sin \ nu }$

${\ displaystyle z = z}$

gdzie jest nieujemną liczbą rzeczywistą i $ν$$\ Displaystyle \ nu \ w [0,2 \ pi]$ .

Definicje te odpowiadają elipsom i hiperbolom. Tożsamość trygonometryczna

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2}} {a ^ {2} \ kosz ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2 }\nu =1}$

pokazuje, że krzywe o stałej $elipsy$ , podczas gdy hiperboliczna tożsamość trygonometryczna

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2}} {a ^ {2} \ sałata ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2 }\mu =1}$

$,$ że krzywe tworzą hiperbolę .

Czynniki skali

Współczynniki skali dla eliptycznych współrzędnych cylindrycznych ${\ displaystyle \ mu$ są równe $}$

${\ Displaystyle h _ {\ mu} = h_ {\ nu} = a {\ sqrt {\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2 }\nu }}}$

podczas gdy pozostały współczynnik skali ${\ displaystyle h_ {z} = 1}$ . W konsekwencji nieskończenie mały element objętości jest równy

${\ Displaystyle dV = a ^ {2} \ lewo (\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \nu \right)d\mu d\nu dz}$

a Laplacian jest równy

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\częściowy ^{ 2}\Phi }{\częściowy \mu ^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}\Phi }{\częściowy \nu ^{2}}}\right)+{\frac {\ częściowe ^{2}\Phi }{\częściowe z^{2}}}}$

$,$ takie jak i ${\ Displaystyle (\ mu, \ nu, z)}$ można wyrazić we współrzędnych $F}}$ z przez zastąpienie współczynników skali ogólnymi wzorami znajdującymi się we współrzędnych ortogonalnych .

Alternatywna definicja

Czasami używany jest alternatywny i geometrycznie intuicyjny zestaw współrzędnych eliptycznych $Displaystyle$$sigma = \$ i ${\ Displaystyle \ tau = \ cos \ nu}$ . Stąd krzywe stałej $hiperbolami$$elipsami$ , podczas gdy krzywe stałej . Współrzędna musi należeć do przedziału [-1, 1], podczas gdy $być$$.$ większa lub równa jeden

Współrzędne ${\ Displaystyle (\ sigma, \ tau, z)}$ mają prosty związek z odległościami do ognisk i ${\ Displaystyle F_ {1}}}$ i ${\ displaystyle F_ { 2}}$ . Dla dowolnego punktu na płaszczyźnie (x, y) suma $}$ do ognisk jest równa $\ Displaystyle d_ {1} + d_ {2}$ , $podczas$ ich różnica równa $2a \ tau$ } Tak więc odległość do $wynosi$ za ${\ Displaystyle a (\ sigma + \ tau)}$ , podczas gdy odległość do jest za $) {\ Displaystyle a (\ sigma + \ tau$${\ Displaystyle a (\ sigma - \ tau)}$ . (Przypomnijmy, że i ${\ displaystyle F_ {2}$$}$ znajdują się w ${\ displaystyle x = -a}$ x $a}$$\ displaystyle x =$ odpowiednio.)

Wadą tych współrzędnych jest to, że nie mają transformacji 1 do 1 do współrzędnych kartezjańskich

${\ Displaystyle x = a \ sigma \ tau}$

${\ Displaystyle y ^ {2} = a ^ {2} \ lewo ( \sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}$

Alternatywne czynniki skali

Współczynniki skali dla alternatywnych współrzędnych eliptycznych to ${\ Displaystyle (\ sigma, \ tau, z)}$

${\ Displaystyle h _ {\ sigma} = a {\ sqrt {\ Frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {\ sigma ^ {2 } -1}}}}$

${\ Displaystyle h _ {\ tau} = a {\ sqrt {\ Frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2} }{1-\tau ^{2}}}}}$

i, oczywiście, ${\ displaystyle h_ {z} = 1}$ . Stąd nieskończenie mały element objętości staje się

${\ Displaystyle dV = a ^ {2} {\ Frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau dz}$

a Laplacian jest równy

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ Frac {1} {a ^ {2} \ lewo (\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2} \ prawo )}}\lewo[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\częściowe}}}\częściowe \sigma}}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1} }{\frac {\częściowy \Phi}}{\częściowy \sigma}}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}}{\frac {\częściowy}}{\częściowy \tau}}\ left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}}{\frac {\częściowe \Phi}}{\częściowe \tau}}\right)\right]+{\frac {\częściowe ^{2}\ Phi }{\częściowe z^{2}}}}$

$wyrazić$ różniczkowe, takie jak ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$ we współrzędnych ${ \displaystyle (\sigma ,\tau )}$ podstawiając współczynniki skali do ogólnych wzorów znalezionych we współrzędnych ortogonalnych .

Aplikacje

Klasyczne zastosowania eliptycznych współrzędnych walcowych to rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych , np. równania Laplace'a lub równania Helmholtza , dla których eliptyczne współrzędne walcowe umożliwiają separację zmiennych . Typowym przykładem może być pole elektryczne otaczające płaską płytkę przewodzącą o szerokości ${\ displaystyle 2a}$ .

Trójwymiarowe równanie falowe , wyrażone we współrzędnych eliptycznych cylindrycznych, można rozwiązać przez oddzielenie zmiennych, co prowadzi do równań różniczkowych Mathieu .

Przydatne mogą być również właściwości geometryczne współrzędnych eliptycznych. Typowy przykład może obejmować integrację po wszystkich parach wektorów i ${q}} , które sumują się$$\ Displaystyle \ mathbf$ ustalonego wektora ${\ displaystyle \ mathbf { r} =\mathbf {p} +\mathbf {q} }$ , gdzie całka była funkcją długości wektorów ${\ Displaystyle \ lewo | \ mathbf {p} \ prawo |}$ i ${\ Displaystyle \ lewo | \ mathbf {q} \ prawo |}$ . (W takim przypadku należałoby ustawić $dwoma$ ogniskami i wyrównać z osią $x$ , tj. ${\ Displaystyle \ mathbf {$ .) Dla konkretności ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {q} }$ może reprezentować odpowiednio pęd cząstki i produkty jej rozkładu, a całka może obejmować energie kinetyczne produktów (które są proporcjonalne do kwadratu długości pędów).

Bibliografia

•    Morse PM , Feshbach H (1953). Metody fizyki teoretycznej, część I . Nowy Jork: McGraw-Hill. P. 657. ISBN 0-07-043316-X . LCCN 52011515 .
•   Margenau H. , Murphy GM (1956). Matematyka Fizyki i Chemii . Nowy Jork: D. van Nostrand. s. 182 –183. LCCN 55010911 .
•   Korn GA, Korn TM (1961). Podręcznik matematyczny dla naukowców i inżynierów . Nowy Jork: McGraw-Hill. P. 179. LCCN 59014456 . ASIN B0000CKZX7.
•   Sauer R, Szabo I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nowy Jork: Springer Verlag. P. 97. LCCN 67025285 .
•   Zwillinger D (1992). Podręcznik integracji . Boston, MA: Jones i Bartlett. P. 114. ISBN 0-86720-293-9 . To samo co Morse i Feshbach (1953), zastępując u _k zamiast ξ _k .
•   Księżyc P, Spencer DE (1988). „Współrzędne cylindra eliptycznego (η, ψ, z)” . Podręcznik teorii pola, w tym układy współrzędnych, równania różniczkowe i ich rozwiązania (poprawione wydanie drugie, wydanie trzecie do druku). Nowy Jork: Springer-Verlag. s. 17–20 (tab. 1.03). ISBN 978-0-387-18430-2 .

Linki zewnętrzne

• MathWorld opis eliptycznych współrzędnych cylindrycznych