Funkcja Mathieu

Nie mylić z funkcją Massieu .

W matematyce funkcje Mathieu , czasami nazywane kątowymi funkcjami Mathieu, są rozwiązaniami równania różniczkowego Mathieu

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + (a-2q \ cos(2x))y=0,}$

gdzie i ${$$displaystyle q}$ są parametrami. Po raz pierwszy przedstawił je Émile Léonard Mathieu , który zetknął się z nimi podczas badania wibrujących eliptycznych naciągów bębnów. Mają zastosowanie w wielu dziedzinach nauk fizycznych, takich jak optyka , mechanika kwantowa i ogólna teoria względności . Mają tendencję do występowania w problemach związanych z ruchem okresowym lub w analizie problemów brzegowych równań różniczkowych cząstkowych posiadających eliptyczne symetria.

Definicja

Funkcje Mathieu

W niektórych zastosowaniach funkcja Mathieu odnosi się do rozwiązań równania różniczkowego Mathieu dla dowolnych wartości $displaystyle$ q $q}$ . Kiedy nie może dojść do nieporozumień, inni autorzy $używają$ tego terminu w odniesieniu konkretnie do ${$ lub okresowych rozwiązań, które istnieją tylko dla specjalnych wartości za $}$ i ${\ displaystyle q}$ . Dokładniej, dla danego (rzeczywistego) ${\ displaystyle q}$ takie okresowe rozwiązania istnieją dla nieskończonej liczby wartości $\ Displaystyle$ zwanych liczbami charakterystycznymi , konwencjonalnie indeksowanymi jako dwie oddzielne sekwencje i za $a_ {n} (q)}$ i ${\ Displaystyle b_ {n} (q)}$ dla ${\ Displaystyle n = 1,2,3, \ ldots }$ . Ce ${\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {n} (x, q)}$ i $_{n}(x,q)} .$$se}}$ odpowiednio Czasami są one również określane jako kosinus-eliptyczne i sinus-eliptyczne lub funkcje Mathieu pierwszego rodzaju .

W wyniku założenia, że $rzeczywista$ , zarówno liczby charakterystyczne, jak i związane z nimi funkcje mają wartości rzeczywiste.

${\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {n} (x, q)}$ i ${\ Displaystyle {\ tekst {se}} _ {n} ( x, q)}$ można dalej klasyfikować według parzystości i okresowości (oba w odniesieniu do ), w następujący sposób: ${\ displaystyle x}$

Funkcjonować	Parytet	Okres
${\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {n}, \ n {\ tekst {parzysty}}}$	nawet	${\ Displaystyle \ pi}$
${\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {n}, \ n {\ tekst {nieparzysty}}}$	nawet	${\ Displaystyle 2 \ pi}$
${\ Displaystyle {\ tekst {se}} _ {n}, \ n {\ tekst {parzysty}}}$	dziwne	${\ Displaystyle \ pi}$
${\ Displaystyle {\ tekst {se}} _ {n}, \ n {\ tekst {nieparzysty}}}$	dziwne	${\ Displaystyle 2 \ pi}$

Indeksowanie za pomocą liczby całkowitej $oprócz$ tego, że służy do uporządkowania liczb charakterystycznych w porządku rosnącym, jest wygodne w tym sensie, że ${\ displaystyle {\ tekst {ce}} _ {n} (x q)}$ i ${\ Displaystyle {\ tekst {se}} _ {n} (x, q)}$ stają się proporcjonalne do ${\ Displaystyle \ cos nx}$ i ${\ displaystyle \ sin nx}$ jak ${\ displaystyle q \ rightarrow 0}$ . Gdy ${\ displaystyle n}$$}} _ { n}}$ liczbą całkowitą, prowadzi to do klasyfikacji i $se$ jako funkcje Mathieu (pierwszego rodzaju) porządku całkowego. Ogólnie za $\ displaystyle a}$ i ${\ displaystyle q}$ , poza tym można zdefiniować rozwiązania, w tym funkcje Mathieu rzędu ułamkowego, a także rozwiązania nieokresowe.

Zmodyfikowane funkcje Mathieu

Ściśle powiązane są zmodyfikowane funkcje Mathieu , znane również jako radialne funkcje Mathieu, które są rozwiązaniami zmodyfikowanego równania różniczkowego Mathieu

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} - (a-2q \ cosh 2x )y=0,}$

które można powiązać z oryginalnym równaniem Mathieu, przyjmując ${\ Displaystyle x \ do \ pm {\ rm {i}} x}$ . W związku z tym zmodyfikowane funkcje Mathieu pierwszego rodzaju porządku całkowego, oznaczone przez ${\ Displaystyle {\ tekst {Ce}} _ {n} (x, q)}$ i ${\ Displaystyle {\ tekst {Se}} _ {n} (x, q)}$ są zdefiniowane na podstawie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tekst {Ce}} _ {n} (x, q) & = {\ tekst {ce}} _ {n} ({\ rm {i}} x, q) .\\{\text{Se}}_{n}(x,q)&=-{\rm {i}}\,{\text{se}}_{n}({\rm {i}} x,q).\end{wyrównane}}}$

$rzeczywista$ te mają wartość rzeczywistą, gdy jest .

Normalizacja

Powszechną normalizacją, która zostanie przyjęta w tym artykule, jest żądanie

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ tekst {ce} }_{n}(x,q)^{2}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}(x,q)^{2}dx= \Liczba Pi }$

jak również wymagać ${\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {n} (x, q) \ strzałka w prawo + \ cos nx}$ i ${\ Displaystyle {\ tekst {se}} _ {n} (x, q) \ rightarrow + \ sin nx}$ jak ${\ Displaystyle q \ rightarrow 0}$ .

Teoria Floqueta

Główny artykuł: teoria Floquet

Wiele właściwości równania różniczkowego Mathieu można wywnioskować z ogólnej teorii równań różniczkowych zwyczajnych ze współczynnikami okresowymi, zwanej teorią Floqueta . Głównym wynikiem jest twierdzenie Floqueta :

Twierdzenie Floqueta - równanie Mathieu ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie $(x)}$ , że $y$$y (x + \ pi) =$ , gdzie jest $.$ , która zależy od parametrów równania i może być rzeczywista lub zespolona

Naturalne jest powiązanie charakterystycznych liczb $.$ wartościami $Displaystyle \$ które dają $pm 1$ } Należy jednak zauważyć, że twierdzenie gwarantuje tylko istnienie co najmniej jednego rozwiązania spełniającego ${\ Displaystyle y (x + \ pi) = \ sigma y (x)}$ , gdy równanie Mathieu w rzeczywistości ma dwa niezależne rozwiązania dla dowolnej danej ${\ displaystyle a}$ , ${\ displaystyle q}$ . Rzeczywiście okazuje się, że przy $równanie$ Mathieu ma tylko jedno rozwiązanie okresowe (to znaczy z okresem $}$ 2 $}$$\ displaystyle 2 \ pi$ ), a to rozwiązanie jest jednym z ${\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {n} (x, q)}$ , ${\ Displaystyle {\ tekst {se}} _ {n} (x, q)}$ . Drugie rozwiązanie jest nieokresowe, oznaczone i $}}_{n}(x,q)}$$n$$} _ {n} ($ } , odpowiednio, i określane jako funkcja Mathieu drugiego rodzaju . Wynik ten można formalnie zapisać jako twierdzenie Ince'a :

Twierdzenie Ince'a - Zdefiniuj zasadniczo funkcję okresową jako spełniającą ${\ Displaystyle y (x + \ pi) = \ pm y (x)}$ . Wtedy, z wyjątkiem trywialnego przypadku $i$ równanie Mathieu nigdy nie ma dwóch (niezależnych) zasadniczo okresowych rozwiązań dla tych samych wartości $displaystyle$ = $q$ }

P. ${\ Displaystyle P (a, q, x)}$ z twierdzenia Floqueta, gdzie za $Displaystyle a = 1}$ , ${\ Displaystyle q = 1/ 5}$ , ${\ Displaystyle \ mu \ około 1 + 0,0995i}$ (część rzeczywista, czerwona; część urojona, zielona)

Równoważnym stwierdzeniem twierdzenia Floqueta jest to, że równanie Mathieu dopuszcza rozwiązanie formy o wartościach zespolonych

${\ Displaystyle F (a, q, x) = \ exp (i \ mu \, x) \, P (a,q,x),}$

gdzie jest liczbą zespoloną, $wykładnikiem$ Floqueta $displaystyle \$ lub czasami $wykładnikiem$ Mathieu ), a jest funkcją o wartościach zespolonych okresową z okresem $} pi }$ . Przykład $_$ _

Inne typy funkcji Mathieu

Drugi rodzaj

Ponieważ równanie Mathieu jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, można skonstruować dwa liniowo niezależne rozwiązania. Teoria Floqueta mówi, że jeśli jest równa liczbie charakterystycznej, jedno z tych rozwiązań można uznać za okresowe, a drugie za $.$ Okresowe rozwiązanie jest jednym z ${\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {n} (x, q)}$ i ${\ Displaystyle {\ tekst {se }}_{n}(x,q)}$ , zwaną funkcją Mathieu pierwszego rodzaju rzędu całkowego. Fe ${\ Displaystyle {\ tekst {fe}} _ {n} (x, q)}$ ge $\ Displaystyle {\ tekst {ge} }_{n}(x,q)}$ , odpowiednio, i jest nazywana funkcją Mathieu drugiego rodzaju (rządu całkowego). Roztwory nieokresowe $niestabilne$ to znaczy rozchodzą się

Drugie rozwiązania odpowiadające zmodyfikowanym funkcjom Mathieu i $}$${\ tekst {Ce}} _ {n$ Displaystyle są naturalnie zdefiniowane jako ${\ Displaystyle {\ text {Fe}} _ {n} (x, q) = - i {\ text {fe}} _ {n} (xi, q)}$ i ${\ Displaystyle {\ tekst {Ge}} _ {n} (x, q) = {\ tekst {ge}} _ {n} (xi, q)}$ .

Kolejność ułamkowa

Funkcje Mathieu rzędu ułamkowego można zdefiniować jako te rozwiązania ${\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {p} (x, q)}$ i ${\ Displaystyle { \text {se}} _ {p} (x, q)}$ , ${\ Displaystyle p}$ liczba niecałkowita, która zamienia się w ${\ Displaystyle \ cos px}$ i ${\ Displaystyle \sin px}$ jako ${\ displaystyle q \ rightarrow 0}$ . Jeśli $są irracjonalne$ nie są okresowe; jednak pozostają ograniczone jako ${\ displaystyle x \ rightarrow \ infty}$ .

Ce ${\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {p} (x, q)}$${\ tekst {se} } _ {p} (x, q)}$ ( , dla $niecałkowitej$ , jest to, że istnieją one dla tej samej wartości za ${\ displaystyle a}$ . W przeciwieństwie do , gdy jest $liczbą$ całkowitą, ${\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {p} (x, q)}$ i ${\ Displaystyle {\ tekst {se}} _ {p} (x, q)}$ nigdy występują dla tej samej wartości za $\ displaystyle a}$ . (Patrz twierdzenie Ince'a powyżej).

Klasyfikacje te podsumowano w poniższej tabeli. Zmodyfikowane odpowiedniki funkcji Mathieu są zdefiniowane podobnie.

Klasyfikacja funkcji Mathieu

Zamówienie	Pierwszy rodzaj	Drugi rodzaj
Całka	${\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {n} (x, q)}$	${\ Displaystyle {\ tekst {fe}} _ {n} (x, q)}$
Całka	${\ Displaystyle {\ tekst {se}} _ {n} (x, q)}$	${\ Displaystyle {\ tekst {ge}} _ {n} (x, q)}$
Frakcyjny ( ${\ displaystyle p}$ nieintegralne)	${\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {p} (x, q)}$	${\ Displaystyle {\ tekst {se}} _ {p} (x, q)}$

Jawna reprezentacja i obliczenia

Pierwszy rodzaj

Funkcje Mathieu pierwszego rodzaju można przedstawić jako szereg Fouriera :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tekst {ce}} _ {2n} (x, q) & = \ suma _ {r = 0} ^ {\ infty} A_ {2r} ^ {(2n)} (q) \ cos (2rx) \\ {\ tekst {ce}} _ {2n + 1} (x, q) & = \ suma _ {r = 0} ^ {\ infty} A_ {2r + 1} ^ { (2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+2}( x,q)&=\suma _{r=0}^{\infty}B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\\end{wyrównane}}}$

Za jot ${\ Displaystyle A_ {j} ^ {(i)} (q)}$ b jot $^ {(i)} (q)}$ są funkcjami ${\ displaystyle q}$ , ale niezależnymi od ${\ displaystyle x}$ . Podstawiając do równania Mathieu, można wykazać, że przestrzegają trzyczłonowych relacji powtarzalności w dolnym indeksie. Na przykład dla każdego ${\ displaystyle {\ text {ce}} _ {2n}}$ można znaleźć

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} aA_ {0} -qA_ {2} & = 0 \\ (a-4) A_ {2} -q (A_ {4} + 2A_ {0}) & = 0 \ \(a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{wyrównane}}}$

$}$$Y$ indeksie , zawsze można znaleźć dwa niezależne rozwiązania i takie, że $Y_ {2r$ ogólne rozwiązanie można wyrazić jako liniową kombinację tych dwóch: ${\ Displaystyle A_ {2r} = c_ {1} X_ {2r} + c_ {2} Y_ {2r}}$ . Co więcej, w tym konkretnym przypadku analiza asymptotyczna pokazuje, że właściwość ma jeden możliwy wybór rozwiązań fundamentalnych

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} X_ {2r} & = r ^ {-2r-1} \ lewo (- {\ Frac {e ^ {2} q} {4}} \ prawo) ^ {r }\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{ e^{2}q}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\end{wyrównane}}}$

W szczególności ${\ displaystyle Y_ {2r}$ skończony, podczas gdy $}$ rozbieżny Pisząc ${\ Displaystyle A_ {2r} = c_ {1} X_ {2r} + c_ {2} Y_ {2r}}$ , widzimy zatem, że aby reprezentacja szeregu Fouriera ${\ displaystyle {\ tekst {ce}} _ {2n}}$ zbiegać się, $Te$$displaystyle a}$ należy wybrać tak, aby do $\ displaystyle c_ {2} = 0.}$ wybory odpowiadają charakterystycznym liczbom.

Na ogół jednak rozwiązanie trzyczłonowego nawrotu ze zmiennymi współczynnikami nie może być przedstawione w prosty sposób, a zatem nie ma prostego sposobu na wyznaczenie na podstawie warunku a {\ displaystyle a} z warunku do $=$ { ${ 2}=0}$ . Co więcej, nawet jeśli znana jest przybliżona wartość liczby charakterystycznej, nie można jej użyć do uzyskania współczynników $displaystyle$ numeryczną iterację nawrotu w kierunku zwiększenia $r}$ . Powodem jest to, że dopóki ${\ displaystyle a}$ zbliża się tylko do liczby charakterystycznej, nie jest identycznie ${\ displaystyle 0}$$a$ rozbieżne rozwiązanie $}}$${\ displaystyle Y_ {2r$ ostatecznie dominuje dla wystarczająco dużych ${\ displaystyle r}$ .

Aby przezwyciężyć te problemy, wymagane są bardziej wyrafinowane podejścia półanalityczne / numeryczne, na przykład przy użyciu ciągłego rozszerzania frakcji, przedstawiania nawrotu jako problemu wartości własnej macierzy lub implementacji algorytmu rekurencji wstecznej. Złożoność trzyczłonowej relacji rekurencyjnej jest jednym z powodów, dla których istnieje niewiele prostych formuł i tożsamości obejmujących funkcje Mathieu.

W praktyce funkcje Mathieu i odpowiadające im liczby charakterystyczne można obliczyć za pomocą gotowego oprogramowania, takiego jak Mathematica , Maple , MATLAB i SciPy . W przypadku $być$ wartości i niskiego rzędu $je również wyrazić$$w$ sposób perturbacyjny jako szereg potęgowy przydatne w zastosowaniach fizycznych.

Drugi rodzaj

Istnieje kilka sposobów przedstawienia funkcji Mathieu drugiego rodzaju. Jedna reprezentacja dotyczy funkcji Bessela :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ text {fe}} _ {2n} (x, q) & = - {\ Frac {\ pi \ gamma _ {n}} {2}} \ suma _ {r =0}^{\infty}(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt { q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{gdzie }}\gamma _{n}=\lewo\{ {\begin{tablica}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{if }}n=0\\2n,&{\text{if }}n\geq 1\end{array}} \\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0 }^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\ sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac { \pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty}(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1) }(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{- ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty}(-1 )^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix })Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({ \sqrt {q}}e^{-ix})]\end{wyrównane}}}$

gdzie ${\ Displaystyle n, q> 0}$$J_ {r} (x)}$ ( x i ${\ Displaystyle Y_ {r} (x)}$ Funkcje Bessela pierwszego i drugiego rodzaju.

Zmodyfikowane funkcje

Tradycyjne podejście do numerycznej oceny zmodyfikowanych funkcji Mathieu opiera się na serii produktów funkcji Bessela. W przypadku dużych $\$ q $displaystyle q}$ formę szeregu należy wybrać ostrożnie, aby uniknąć błędów odejmowania.

Nieruchomości

Istnieje stosunkowo niewiele wyrażeń analitycznych i tożsamości obejmujących funkcje Mathieu. Ponadto, w przeciwieństwie do wielu innych funkcji specjalnych, rozwiązań równania Mathieu nie można ogólnie wyrazić za pomocą funkcji hipergeometrycznych . Można to zobaczyć, przekształcając równanie Mathieu do postaci algebraicznej, stosując zmianę zmiennej ${\ Displaystyle t = \ cos (x)}$ :

${\ Displaystyle (1-t ^ {2}) {\ frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-t\,{\frac {dy}{dt}}+(a+2q(1-2t^{2}))\,y= 0.}$

Ponieważ to równanie ma nieregularny punkt osobliwy w nieskończoności, nie można go przekształcić w równanie typu hipergeometrycznego.

Zachowanie jakościowe

Przykładowe wykresy funkcji Mathieu pierwszego rodzaju

Działka ${\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {1} (x, q)}$ dla różnych ${\ displaystyle q}$

q ${\ displaystyle q}$ , ${\ displaystyle {\ tekst {ce}} _ {n}}$ i ${\ displaystyle {\ tekst {se}} _ {n}}$ zachowują się podobnie do ${\ displaystyle \ cos nx}$ i ${\ displaystyle \ sin nx$ . W przypadku arbitralnych $;$ one znacznie odbiegać od swoich trygonometrycznych odpowiedników jednak ogólnie pozostają okresowe. Co więcej, dla dowolnego rzeczywistego ${\ Displaystyle q}$ ce $\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {m} (x, q)}$$m + 1} (x, q)} mają$ ( $Displaystyle$ dokładnie proste zera w $0 <x <\ pi}$ i jak ${\ Displaystyle q \ strzałka w prawo \ infty}$ klaster zer około ${\ Displaystyle x = \ pi / 2}$ .

Dla ${\ displaystyle q> 0}$$zmodyfikowane$ ponieważ funkcje Mathieu zachowują się jak tłumione funkcje

Poniżej czynniki z rozwinięć Fouriera dla $displaystyle {\ tekst}$$\$$displaystyle$ se ${se}}_{n}} (zobacz$ \ ${\ tekst$ Można odwoływać się do Jawna reprezentacja i obliczenia ). Zależą one od $\ displaystyle q$$}$ niezależne od ${$ .

Refleksje i tłumaczenia

Ze względu na ich parzystość i okresowość, $tekst {se}} _ {n}}$ { ${\$ mają proste właściwości w przypadku odbić i tłumaczeń przez wielokrotności ${\ displaystyle \ pi} : π {\ displaystyle \ pi$ }

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & {\ tekst {ce}} _ {n} (x + \ pi) = (-1) ^ {n} {\ tekst {ce}} _ {n} (x) \\ & {\ tekst {se}} _ {n} (x + \ pi) = (-1) ^ {n} {\ tekst {se}} _ {n} (x) \\& {\ tekst {ce}} _ {n} (x + \ pi / 2) = (-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi /2)\\&{\text{se}}_{n+1}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi /2)\end{wyrównane}}}$

Można również pisać funkcje z ujemnymi w kategoriach tych z dodatnimi: q $displaystyle$$q}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ tekst {ce}} _ {2n + 1} (x, -q )=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}( x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n +1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se} }_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{wyrównane} }}$

Ponadto,

$+ 1} (-q) \\& b_ {2n + 2} (q) = b_ {2n + 2} (-q) \ koniec {wyrównane }}}$

Ortogonalność i kompletność

$ce$$okresowe$ ich trygonometryczne odpowiedniki funkcje Mathieu ce $)$ i ${\ Displaystyle {\ tekst {se}} _ {n} (x, q)}$ spełniają relacje ortogonalności

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ int _ {0} ^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}\,dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se} }_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=\delta _{nm}\pi ​​\\&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}} _{n}{\text{se}}_{m}\,dx=0\end{wyrównane}}}$

Co więcej, przy $ustalonym$ i $traktowanym$ jako wartość własna, równanie Mathieu ma postać Sturma- Oznacza to, że funkcje własne ${\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {n} (x, q)}$ i ${\ Displaystyle {\ tekst {se}} _ {n} (x, q)}$ tworzą kompletny zestaw, tj. dowolny ${\ displaystyle \ pi}$ - lub $2 \ pi}$$Displaystyle$ -okresową funkcję można rozwinąć jako szereg w ${\ Displaystyle {\ tekst {ce}} _ {n} (x,$ i ${\ Displaystyle {\ tekst {se}} _ {n} (x, q)}$ .

Tożsamości integralne

Rozwiązania równania Mathieu spełniają klasę tożsamości całkowych w odniesieniu do jąder , które są rozwiązaniami ${\ Displaystyle \ chi (x, x ')}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ chi} {\ częściowe x ^{2}}}-{\frac {\częściowy ^{2}\chi }{\częściowy x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi}$

Dokładniej, jeśli rozwiązuje równanie Mathieu z podanymi $,$ to całka jest $}$$\ Displaystyle \ phi (x)$

${\ Displaystyle \ psi (x) \ równoważnik \ int _ {C} \ chi (x, x ') \ phi (x ')dx'}$

gdzie jest ścieżką na płaszczyźnie zespolonej $,$ rozwiązuje również równanie Mathieu z tymi samymi $do$ pod warunkiem spełnienia następujących warunków: $\ displaystyle a}$

• ${\ Displaystyle \ chi (x, x')}$ rozwiązuje ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ chi} {\ częściowe x ^ {2}}} - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ chi } {\ częściowe x '^ {2}} }=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$
• $x)$ regionach i $Displaystyle$ \ psi (
• ${\ Displaystyle \ lewo (\ phi {\ Frac {\ częściowe \ chi}} {\ częściowe x '}} - {\ Frac {\ częściowe \ phi}} \ częściowe x'}} \ chi \ po prawej)}$ ma tę samą wartość na końcach do {\ displaystyle $}$

Stosując odpowiednią zmianę zmiennych, równanie na $i$ przekształcić w równanie falowe rozwiązać. Na przykład jednym rozwiązaniem jest ${\ Displaystyle \ chi (x, x') = \ sinh (2q ^ {1/ 2}\sinx\sinx')}$ . Przykładami tożsamości uzyskanych w ten sposób są

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tekst {se}} _ {2n + 1} (x, q) & = {\ Frac {{\ tekst {se}} '_ {2n + 1} (0, q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x, q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^ {\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\qquad \ \ \ (q>0 )\end{wyrównane}}}$

Tożsamości drugiego typu są przydatne do badania właściwości asymptotycznych zmodyfikowanych funkcji Mathieu.

Istnieją również relacje całkowe między funkcjami pierwszego i drugiego rodzaju, np.:

${\ Displaystyle {\ text {fe}} _ {2n} (x, q) = 2n \ int _ {0} ^ {x} {\ text {ce}} _ {2n} (\ tau, -q) \ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )}}\right)d\tau ,\qquad n\geq 1}$

ważne dla każdego złożonego $displaystyle$ rzeczywistego $q}$ .

Ekspansje asymptotyczne

Następujące asymptotyczne rozwinięcia są spełnione dla ${\ Displaystyle q> 0}$ , ${\ Displaystyle {\ tekst {Im}} (x) = 0}$ , $\ infty}$${\ Displaystyle {\ tekst$$^ {1/2} \ cosh x \ simeq q ^ {$ i :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tekst {Ce}} _ {2n} (x, q) & \ sim \ lewo ({\ Frac {2} {\ pi q ^ {1/2}}} \ dobrze)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_ {0}^{(2n)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi}}} \right)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right) ^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q) }{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2 }}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\ pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+ {\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q ^{5/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{ 2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2} e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{wyrównane}}}$

Zatem zmodyfikowane funkcje Mathieu zanikają wykładniczo dla dużego rzeczywistego argumentu. Podobne asymptotyczne rozwinięcia można zapisać dla ${\ displaystyle {\ text {Fe}} _ {n}}$ i ${\ displaystyle {\ text {Ge}} _ {n}}$ ; one również zanikają wykładniczo w przypadku dużego rzeczywistego argumentu.

$można$ parzystych i nieparzystych okresowych funkcji Mathieu $i$$związanych$ również wyprowadzić asymptotyczne rozwinięcia . W szczególności w przypadku liczb charakterystycznych mamy z w przybliżeniu nieparzystą liczbę całkowitą, tj. $, N {$$\ Displaystyle N \ w przybliżeniu N_ {0} = 2n + 1, n = 1,2,3, ...,}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a (N) = {} & -2q + 2q ^ {1/2} N - {\ Frac {1} {2 ^ {3}}} (N ^ {2} +1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q} }(5N^{4}+34N^{2}+9)\\&-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N ^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{ \mathcal {O}}(q^{-5/2})\end{wyrównane}}}$

Obserwuj symetrię tutaj, zastępując $przez$ N $\ Displaystyle N}$ - $^ {1/2}$$\displaystyle -N}$$-q$ } , co jest istotną cechą rozszerzenia. Warunki tego rozszerzenia zostały uzyskane wyraźnie do okresu zamówienia ${\ Displaystyle | q | ^ {- 7/2}}$ . Tutaj ${\ Displaystyle N}$$.$ tylko w przybliżeniu nieparzystą liczbą całkowitą, ponieważ w granicy ${\ Displaystyle q \ do \ infty} wszystkie$ segmenty potencjału okresowego efektywnie niezależne oscylatory harmoniczne (stąd $liczba$ całkowita). Zmniejszając , tunelowanie przez bariery staje się możliwe (w języku fizycznym), co prowadzi do podziału $liczb$${\ Displaystyle a \ do a _ {\ mp}}$ (w mechanice kwantowej nazywane wartościami własnymi) odpowiadające parzystym i nieparzystym okresowym funkcjom Mathieu. Ten podział uzyskuje się przy warunkach brzegowych (w mechanice kwantowej zapewnia to podział wartości własnych na pasma energii). Warunki brzegowe to:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dce_ {N_ {0}-1}} {dx}} \ prawej) _ {\ pi / 2} = 0, \; \; ce_ {N_ {0}} (\ pi /2)=0,\;\;\left({\frac {dse_{N_{0}}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;se_{N_ {0}+1}(\pi /2)=0.}$

Nakładając te warunki brzegowe na asymptotyczne okresowe funkcje Mathieu związane z powyższym rozwinięciem, otrzymuje się ${\ displaystyle a}$

${\ Displaystyle N-N_ {0} = \ mp 2 \ lewo ({\ Frac {2} {\ pi}} \ prawo) ^ {1/2} {\ Frac {(16q ^ {1/2}) ^ {N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}\left[1- {\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}( 9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+\kropki \po prawej].}$

Odpowiednie liczby charakterystyczne lub wartości własne następują następnie przez rozwinięcie, tj

${\ Displaystyle a (N) = a (N_ {0}) + (N-N_ {0}) \ lewo ({\ Frac {\ częściowe a} {\ częściowe N}} \ prawo) _ {N_ {0}} + \ cdots.}$

Wstawienie odpowiednich wyrażeń powyżej daje wynik

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a (N) \ do a _ {\ mp} (N_ {0}) = {} & -2q + 2q ^ {1/2} N_ {0} - {\ Frac {1 }{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{ 0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-\cdots \ \&\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi)^{1 /2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^ {1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0}+3)+\cdots {\bigg ]}.\end{wyrównane}}}$

N $\ Displaystyle N_ {0} = 1,3,5, \ kropki}$$\ Displaystyle ce_ {N_ {0}} do$ są to wartości własne związane z parzystymi funkcjami własnymi Mathieu mi ${\ Displaystyle ce_ {N_ {0}-1}}$ (tj. z górnym znakiem minus) i nieparzystymi funkcjami własnymi Mathieu $Displaystyle se_ {N_ {0} + 1}}$ lub ${\ displaystyle se_ {N_ {0}}}$ (tj. z dolnym znakiem plus). Wyraźne i znormalizowane rozwinięcia funkcji własnych można znaleźć w lub .

Podobne asymptotyczne rozwinięcia można otrzymać dla rozwiązań innych okresowych równań różniczkowych, jak dla funkcji Lamégo oraz wydłużonych i spłaszczonych sferoidalnych funkcji falowych .

Aplikacje

Równania różniczkowe Mathieu pojawiają się w wielu kontekstach w inżynierii, fizyce i matematyce stosowanej. Wiele z tych zastosowań należy do jednej z dwóch ogólnych kategorii: 1) analiza równań różniczkowych cząstkowych w geometriach eliptycznych oraz 2) problemy dynamiczne, które obejmują siły okresowe w przestrzeni lub czasie. Przykłady w obu kategoriach omówiono poniżej.

Równania różniczkowe cząstkowe

Funkcje Mathieu powstają, gdy rozdzielanie zmiennych we współrzędnych eliptycznych jest stosowane do 1) równania Laplace'a w 3 wymiarach oraz 2) równania Helmholtza w 2 lub 3 wymiarach. Ponieważ równanie Helmholtza jest prototypowym równaniem do modelowania przestrzennej zmienności fal klasycznych, funkcje Mathieu można wykorzystać do opisu różnych zjawisk falowych. Na przykład w elektromagnetyce obliczeniowej można je wykorzystać do analizy rozpraszania fal elektromagnetycznych poza cylindrami eliptycznymi i propagacja fal w falowodach eliptycznych . W ogólnej teorii względności dokładne rozwiązanie fali płaskiej równania pola Einsteina można podać za pomocą funkcji Mathieu.

Niedawno funkcje Mathieu zostały wykorzystane do rozwiązania szczególnego przypadku równania Smoluchowskiego , opisującego statystyki cząstek samobieżnych w stanie ustalonym .

Pozostała część tej sekcji szczegółowo opisuje analizę dwuwymiarowego równania Helmholtza. We współrzędnych prostokątnych równanie Helmholtza jest

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ frac {\częściowa ^{2}}{\częściowa y^{2}}}\prawa)\psi +k^{2}\psi =0,}$

Współrzędne eliptyczne są określone przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = c \ cosh \ mu \ cos \ nu \\ y & = c \ sinh \ mu \ sin \ nu \end{wyrównane}}}$

gdzie ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ mu <\ infty}$ , ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ nu <2 \ pi}$$jest$ stałą dodatnią. Równanie Helmholtza w tych współrzędnych to

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {c ^ {2} (\ sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\częściowe ^{2}}{\częściowe \mu ^{2}}}+{\frac {\ częściowe ^{2}}{\częściowe \nu ^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0}$

Stałe $krzywe$ to elipsy konfokalne $ogniskowej$ ; stąd te współrzędne są wygodne do rozwiązywania równania Helmholtza na domenach o eliptycznych granicach. ${\ Displaystyle \ psi (\ mu, \ nu) = F (\ mu) G (\ nu)}$ = równania Mathieu

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ Frac {d ^ {2} F} {d \ mu ^ {2}}} - \ lewo (a- {\ Frac {c ^ {2} k ^ {2 }}{2}}\cosh 2\mu \right)F=0\\&{\frac {d^{2}G}{d\nu ^{2}}}+\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cos 2\nu \right)G=0\\\end{wyrównane}}}$

gdzie $.$ stałą separacji

Jako konkretny przykład fizyczny, równanie Helmholtza można zinterpretować jako opisujące tryby normalne elastycznej membrany pod równomiernym napięciem . W takim przypadku narzucane są następujące warunki fizyczne:

• $psi$ względem , tj. $(\ mu, \ nu) = \ psi (\ mu, \ nu +2\pi )}$
• Ciągłość przemieszczenia wzdłuż linii międzyogniskowej: ${\ Displaystyle \ psi (0, \ nu) = \ psi (0, - \ nu)}$
• Ciągłość pochodnej wzdłuż linii międzyogniskowej: ${\ Displaystyle \ psi _ {\ mu} (0, \ nu) = - \ psi _ {\ mu} (0 ,-\ nu )}$

k ${\ displaystyle k}$ ogranicza to rozwiązania do rozwiązań postaci $_ {n} (\ mu, q) {\ tekst {ce}} _ {n} (\ nu, q)} i Se n ( μ, q) se n ( ν, q) {\ Displaystyle {\ tekst { Se}}_{n}(\mu ,q){\text$$,$ ( gdzie ${\ Displaystyle q = c ^ {2} k ^ {2}/2}$ . Jest to to samo, co ograniczenie dopuszczalnych wartości dla $a }$${\ displaystyle$ za . Ograniczenia $k}$ jakąś powierzchnię ograniczającą, taką jak eliptyczna granica określona przez $displaystyle$ . Na przykład zaciśnięcie membrany przy ${\ Displaystyle \ mu = \ mu _ {0}}$ narzuca ${\ Displaystyle \ psi (\ mu _ {0}, \ nu) = 0}$ , co z kolei wymaga

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tekst {Ce}} _ {n} (\ mu _ {0}, q) = 0 \\ {\text{Se}}_{n}(\mu _{0},q)=0\end{wyrównane}}}$

Te warunki definiują normalne tryby systemu.

Problemy dynamiczne

W problemach dynamicznych z okresowo zmieniającymi się siłami równanie ruchu przybiera czasami postać równania Mathieu. W takich przypadkach znajomość ogólnych własności równania Mathieu – szczególnie w odniesieniu do stabilności rozwiązań – może być niezbędna do zrozumienia jakościowych cech dynamiki fizycznej. Klasycznym tego przykładem jest odwrócone wahadło . Inne przykłady to

• drgania struny o okresowo zmieniającym się napięciu
• stabilność szyn kolejowych podczas przejeżdżania po nich pociągów
• sezonowo wymuszona dynamika populacji
• zjawisko rezonansu parametrycznego w oscylatorach wymuszonych
• ruch jonów w kwadrupolowej pułapce jonowej
• Efekt Starka dla obracającego się dipola elektrycznego
• teoria stabilności cykli granicznych Floqueta

Mechanika kwantowa

Funkcje Mathieu odgrywają rolę w niektórych układach mechaniki kwantowej, szczególnie tych o przestrzennie okresowych potencjałach, takich jak wahadło kwantowe i sieci krystaliczne .

Zmodyfikowane równanie Mathieu pojawia się również przy opisie mechaniki kwantowej potencjałów osobliwych. Dla szczególnego potencjału osobliwego radialne równanie Schrödingera ${\ Displaystyle V (r) = g ^ {2} / r ^ {4}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} y} {dr ^ {2}}} + \left[k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-{\frac {g^{2}}{r^{4}}}\ prawo]y=0}$

można przekształcić w równanie

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} \ varphi} dz ^ {2}}} + \ lewo [2h ^ {2} \ cosh 2z- \ lewo (\ ell + {\ frac {1} {2}} \ prawej) ^ {2} \ prawej] \varphi =0.}$

Transformację uzyskuje się za pomocą następujących podstawień

${\ Displaystyle y = r ^ {1/2} \ varphi, r = \ gamma e ^ {z}, \ gamma = {\ Frac {ig} {h}}, h ^ {2} = ikg, h = e ^{I\pi /4}(kg)^{1/2}.}$

Rozwiązując równanie Schrödingera (dla tego konkretnego potencjału) w kategoriach rozwiązań zmodyfikowanego równania Mathieu, można uzyskać właściwości rozpraszania, takie jak macierz S i chłonność .

Zobacz też

• Lista funkcji matematycznych
• Równanie różniczkowe Hilla
• Funkcja Lamego
• Monochromatyczna elektromagnetyczna fala płaska
• Odwrócone wahadło
• Funkcja Bessela

Notatki

•   Arscott, Felix (1964). Okresowe równania różniczkowe: wprowadzenie do funkcji Mathieu, Lamé i pokrewnych . Prasa Pergamońska. ISBN 9781483164885 .
• Barakat, R. (1963), „Dyfrakcja fal płaskich przez cylinder eliptyczny”, The Journal of the Acoustical Society of America , 35 (12): 1990–1996, Bibcode : 1963ASAJ...35.1990B , doi : 10.1121/ 1.1918878
•    Bibby, Malcolm M.; Peterson, Andrew F. (2014). Dokładne obliczanie funkcji Mathieu . Morgana i Claypoola. doi : 10.2200/S00526ED1V01Y201307CEM032 . ISBN 9781627050852 . S2CID 28354918 .
• Chaos-Cador, L.; Ley-Koo, E. (2002), „Ponowne odwiedziny funkcji Mathieu: funkcje oceny i generowania macierzy” , Revista mexicana de física , 48 (1): 67–75
•   Dingle, Robert B.; Müller, Harald JW (1964). „Forma współczynników późnych wyrazów w asymptotycznych rozszerzeniach liczb charakterystycznych funkcji Mathieu i fal sferoidalnych”. Journal für die reine und angewandte Mathematik . 216 : 123–133. ISSN 0075-4102 .
•    Gradsztejn, Izrail Salomonowicz ; i in. (luty 2007). Jeffrey, Alan; Zwillinger, Daniel (red.). Tabela całek, szeregów i iloczynów . Przetłumaczone przez Scripta Technica, Inc. (7 wyd.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-373637-6 . MR 2360010 .
• Gutiérrez-Vega, Julio C. (2015), „Funkcje Mathieu”, w: Nicholas J. Higham; i in. (red.), The Princeton Companion to Applied Mathematics , Princeton University Press, s. 159–160
•    Iyanaga, Shokichi; Kawada, Yukiyosi, wyd. (1980) [1977]. Encyklopedyczny słownik matematyki, tom I . Przetłumaczone z 2. wydania japońskiego, wersja miękka wydania z 1977 r. (Wyd. 1). MIT Naciśnij . ISBN 978-0-262-59010-5 . MR 0591028 .
•   Jin, JM; Zhang, Shan Jjie (1996). Obliczanie funkcji specjalnych . Nowy Jork: Wiley. ISBN 9780471119630 .
• Kretzschmar, JG (1970), „Rozprzestrzenianie się fal w wydrążonych falowodach eliptycznych”, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques , 18 (9): 547–554, Bibcode : 1970ITMTT..18..547K , doi : 10.1109/TMTT. 1970.1127288
•   Malits, Pinchas (2010), „Relacje między funkcjami Mathieu pierwszego i drugiego rodzaju”, Transformacje całkowe i funkcje specjalne , 21 (6): 423–436, doi : 10,1080/10652460903360499 , S2CID 122033386
•   Marzec, Raymond E. (kwiecień 1997). „Wprowadzenie do spektrometrii mas kwadrupolowej pułapki jonowej”. Dziennik spektrometrii mas . 32 (4): 351–369. Bibcode : 1997JMSp...32..351M . doi : 10.1002/(SICI)1096-9888(199704)32:4<351::AID-JMS512>3.0.CO;2-Y . S2CID 16506573 .
• Mathieu, E. (1868), "Mémoire sur Le Mouvement Vibratoire d'une Membrane de forme Elliptique" , ​​Journal de Mathématiques Pures et Appliquées : 137–203
• McLachlan, NW (1951). Teoria i zastosowanie funkcji Mathieu . Oxford University Press. Uwaga: Przedruk litograficzny w Wielkiej Brytanii w University Press, Oxford, 1951 z poprawionych arkuszy pierwszego wydania (1947).
•   Meixner Józef; Schäfke, Friedrich Wilhelm (1954). Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen (w języku niemieckim). Berlin: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-3-662-00941-3 . ISBN 978-3-540-01806-3 .
•   Morse'a, Philipa McCorda; Feshbach, Herman (1953-01-01). Metody fizyki teoretycznej: Pt. 1 (red. Przedruk). Boston, Massachusetts: McGraw-Hill Inc., USA. ISBN 9780070433168 .
•   Müller-Kirsten, Harald JW (2012). Wprowadzenie do mechaniki kwantowej: równanie Schrödingera i całka po ścieżce (wyd. 2). Świat naukowy. ISBN 978-981-4397--73-5 .
•    Dingle, RB; Müller, HJW (1962). „Asymptotyczne rozszerzenia funkcji Mathieu i ich liczby charakterystyczne”. Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1962 (211): 11–32. doi : 10.1515/crll.1962.211.11 . ISSN 0075-4102 . S2CID 117516747 .
•    Müller, HJW (1962). „O asymptotycznych rozszerzeniach funkcji Mathieu”. Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1962 (211): 179–190. doi : 10.1515/crll.1962.211.179 . ISSN 0075-4102 . S2CID 118909645 .
• Sebak, A.; Shafai, L. (1991), „Uogólnione rozwiązania rozpraszania elektromagnetycznego przez struktury eliptyczne”, Computer Physics Communications , 68 (1–3): 315–330, Bibcode : 1991CoPhC..68..315S , doi : 10.1016/0010- 4655(91)90206-Z
•   Solon, AP; Cates, ja; Tailleur, J. (2015), „Aktywne cząstki Browna i cząstki run-and-tumble: badanie porównawcze”, The European Physical Journal Special Topics , 224 (7): 1231–1262, arXiv : 1504.07391 , Bibcode : 2015EPJST.224.1231 S , doi : 10.1140/epjst/e2015-02457-0 , S2CID 53057662
• Temme, Nico M. (2015), „Funkcje specjalne”, w: Nicholas J. Higham; i in. (red.), The Princeton Companion to Applied Mathematics , Princeton University Press, s. 234
•   Van Buren, Arnie L.; Boisvert, Jeffrey E. (2007). „Dokładne obliczenie zmodyfikowanych funkcji Mathieu rzędu liczb całkowitych” . Kwartalnik Matematyki Stosowanej . 65 (1): 1–23. doi : 10.1090/S0033-569X-07-01039-5 . ISSN 0033-569X .
•   Lew Yan Voon LC, Willatzen M (2011). Rozdzielne problemy brzegowe w fizyce . Wiley-VCH. doi : 10.1002/9783527634927 . ISBN 978-3-527-41020-0 . (bezpłatny dostęp online do dodatku dotyczącego funkcji Mathieu)
•   Mięczak, Jet (1984). Obliczenia z relacjami rekurencyjnymi . wydawnictwo Pitman. s. 83–84. ISBN 0-273-08508-5 .
•    Wolf, G. (2010), „Funkcje Mathieu i równanie Hilla” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
•    Brimacombe, Chris; Corless, Robert M.; Zamir, Mair (2021). „Obliczenia i zastosowania funkcji Mathieu: perspektywa historyczna” . Przegląd SIAM . 63 (4): 653–720. doi : 10.1137/20M135786X . ISSN 0036-1445 . S2CID 220969117 .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Funkcja Mathieu” . MathWorld .
• Lista równań i tożsamości funkcji Mathieu functions.wolfram.com
• „Funkcje Mathieu” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Timothy Jones, Równania Mathieu i idealna pułapka rf-Paul (2006)
• Równanie Mathieu , EqWorld
• Cyfrowa biblioteka funkcji matematycznych NIST: funkcje Mathieu i równanie Hilla