Funkcja Lamego

  W matematyce funkcja Lamégo lub elipsoidalna funkcja harmoniczna jest rozwiązaniem równania Lamégo , zwykłego równania różniczkowego drugiego rzędu . Został on przedstawiony w artykule ( Gabriel Lamé 1837 ). Równanie Lamégo pojawia się w metodzie separacji zmiennych zastosowanej do równania Laplace'a we współrzędnych eliptycznych . W niektórych szczególnych przypadkach rozwiązania można wyrazić za pomocą wielomianów zwanych wielomianami Lamégo .

Równanie Lamégo

Równanie Lamégo to

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + (A + B \ wp (x ))y=0,}$

gdzie A i B są stałymi, a $.$ funkcją eliptyczną Weierstrassa Najważniejszym przypadkiem jest sytuacja, gdy ${\ Displaystyle B \ wp (x) = - \ kappa ^ {2} \ operatorname {sn} ^ {2} x}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {sn}}$ jest eliptyczną funkcją sinusoidalną i ${\ Displaystyle \ kappa ^ {2} = n (n + 1) k ^ {2}}$ dla liczby całkowitej n i ${\ Displaystyle k}$ moduł eliptyczny, w którym to przypadku rozwiązania obejmują funkcje meromorficzne określone na całej płaszczyźnie zespolonej. Dla innych wartości B rozwiązania mają punkty rozgałęzienia .

Zmieniając zmienną niezależną na z $=$${\ Displaystyle t = \ operatorname {sn} x}$ równanie Lamégo można również przepisać w postaci algebraicznej jako t {\ displaystyle

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {1} {t -e_{1}}}+{\frac {1}{t-e_{2}}}+{\frac {1}{t-e_{3}}}\right){\frac {dy}{dt }}-{\frac {A+Bt}{4(t-e_{1})(t-e_{2})(t-e_{3})}}y=0,}$

co po zmianie zmiennej staje się szczególnym przypadkiem równania Heuna .

Bardziej ogólną postacią równania Lamé jest równanie elipsoidalne lub równanie fali elipsoidalnej, które można zapisać (zauważ, że teraz piszemy $,$ nie jak powyżej) ${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} }+(\Lambda -\kappa ^{2}\nazwa_operatora {sn} ^{2}x-\Omega ^{2}k^{4}\nazwa_operatora {sn} ^{4}x)y=0,}$

gdzie $stałymi$ modułem eliptycznym jakobianowych $i$$są$ i . Dla ${\ Displaystyle \ Omega = 0}$ równanie staje się równaniem Lamégo z ${\ Displaystyle \ Lambda = A}$ . Dla ${\ Displaystyle \ Omega = 0, k = 0, \ kappa = 2 h, \ Lambda -2 h ^ {2} = \ lambda, x = z \ pm {\ Frac {\ pi }{2}}}$ równanie sprowadza się do równania Mathieu

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} y} {dz ^ {2}}} + (\ lambda -2h ^{2}\cos2z)y=0.}$

Weierstrasowska postać równania Lamégo zupełnie nie nadaje się do obliczeń (jak zauważa również Arscott, s. 191). Najbardziej odpowiednią formą równania jest postać jakobianu, jak powyżej. Formy algebraiczne i trygonometryczne są również kłopotliwe w użyciu. Równania Lamégo powstają w mechanice kwantowej jako równania małych fluktuacji wokół klasycznych rozwiązań - zwanych momentami okresowymi , odbiciami lub bąbelkami - równań Schrödingera dla różnych potencjałów okresowych i anharmonicznych.

Ekspansje asymptotyczne

$rozwinięcia$ okresowych elipsoidalnych funkcji falowych, a wraz z nimi także funkcji Lamégo, dla dużych wartości uzyskane przez Müllera. Uzyskane przez niego asymptotyczne rozwinięcie dla wartości własnych $\$ { \ $Lambda}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Lambda (q) = {} & q \ kappa - {\ Frac {1} {2 ^ {3}}} (1 + k ^ { 2})(q^{2}+1)-{\frac {q}{2^{6}\kappa }}\{(1+k^{2})^{2}(q^{2} +3)-4k^{2}(q^{2}+5)\}\\[6pt]&{}-{\frac {1}{2^{10}\kappa ^{2}}}{ \Duży \{}(1+k^{2})^{3}(5q^{4}+34q^{2}+9)-4k^{2}(1+k^{2})(5q ^{4}+34q^{2}+9)\\[6pt]&{}-384\Omega ^{2}k^{4}(q^{2}+1){\Duży \}}- \cdots ,\end{wyrównane}}}$

(kolejny (piąty) wyraz, którego tutaj nie podano, został obliczony przez Müllera, pierwsze trzy wyrazy również uzyskał Ince). Zauważ, że terminy są na przemian parzyste i nieparzyste w $i$ jak $funkcji$ odpowiednich obliczeniach dla Mathieu i spłaszczonych sferoidalnych funkcji falowych i wydłużonych sferoidalnych funkcji falowych ). Z następującymi warunkami brzegowymi (w których ${\ Displaystyle K (k)}$ to okres ćwiartki określony przez całkowitą całkę eliptyczną)

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ec} (2K) = \ nazwa operatora {Ec} (0) = 0, \ ;\;\nazwa_operatora {Es} (2K)=\nazwa_operatora {Es} (0)=0,}$

jak również ( pierwsza pochodna znaczenia)

${\ Displaystyle (\ operatorname {Ec}) _ {2K} ^ {'} = (\ operatorname {Ec } )_{0}^{'}=0,\;\;(\nazwa_operatora {Es} )_{2K}^{'}=(\nazwa_operatora {Es} )_{0}^{'}=0 ,}$

definiując odpowiednio elipsoidalne funkcje falowe

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ec} _ {n} ^ {q_ {0}}, \ nazwa operatora {Es} _ {n} ^ { q_{0}+1},\nazwa_operatora {Ec} _{n}^{q_{0}-1},\nazwa_operatora {Es} _{n}^{q_{0}}}$

okresów i $_$$_ ,\ldots }$ otrzymujemy

${\ Displaystyle q-q_ {0} = \ mp 2 {\ sqrt {\ Frac {2} {\ pi}}} \ lewo ({\ Frac {1 + k} {1-k}} \ prawej) ^ { -\kappa /k}\left({\frac {8\kappa }{1-k^{2}}}\right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{[(q_{ 0}-1)/2]!}}\left[1-{\frac {3(q_{0}^{2}+1)(1+k^{2})}{2^{5}\ kappa }}+\cdots \right].}$

Tutaj górny znak odnosi się do rozwiązań $,$$dolny$ do . ${\ Displaystyle \ Lambda (q)}$ o q $\ Displaystyle q_ {0}},$ otrzymuje się Λ ( q ) {\ Displaystyle \ Lambda (q)}

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Lambda _ {\ pm} (q) \ simeq {} & \ Lambda (q_ {0}) + (q-q_ {0}) \ lewo ({\ Frac {\ częściowe \Lambda }{\częściowe q}}\right)_{q_{0}}+\cdots \\[6pt]={}&\Lambda (q_{0})+(q-q_{0})\kappa \left[1-{\frac {q_{0}(1+k^{2})}{2^{2}\kappa }}-{\frac {1}{2^{6}\kappa ^{ 2}}}\{3(1+k^{2})^{2}(q_{0}^{2}+1)-4k^{2}(q_{0}^{2}+2q_{ 0}+5)\}+\cdots \right]\\[6pt]\simeq {}&\Lambda (q_{0})\mp 2\kappa {\sqrt {\frac {2}{\pi }} }\left({\frac {1+k}{1-k}}\right)^{-\kappa /k}\left({\frac {8\kappa}{1-k^{2}}} \right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{[(q_{0}-1)/2]!}}{\Duży [}1-{\frac {1}{2^ {5}\kappa }}(1+k^{2})(3q_{0}^{2}+8q_{0}+3)\\[6pt]&{}+{\frac {1}{3.2 ^{11}\kappa ^{2}}}\{3(1+k^{2})^{2}(9q_{0}^{4}+8q_{0}^{3}-78q_{0 }^{2}-88q_{0}-87)\\[6pt]&{}+128k^{2}(2q_{0}^{3}+9q_{0}^{2}+10q_{0} +15)\}-\cdots {\Duży ]}.\end{wyrównane}}}$

W granicach równania Mathieu (do którego można sprowadzić równanie Lamégo) wyrażenia te sprowadzają się do odpowiednich wyrażeń przypadku Mathieu (jak pokazał Müller).

Notatki

• Arscott, FM (1964), Okresowe równania różniczkowe , Oxford: Pergamon Press , s. 191–236 .
•    Erdélyi, Artur ; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Wyższe funkcje transcendentalne (PDF) , Bateman Manuscript Project, tom. III, Nowy Jork–Toronto–Londyn: McGraw-Hill , s. XVII + 292, MR 0066496 , Zbl 0064.06302 .
• Lamé, G. (1837), „Sur les surface isothermes dans les corps homogènes en équilibre de température” , Journal de mathématiques pures et appliquées , 2 : 147–188 . Dostępne w Galicji .
• Rozow, N.Kh. (2001) [1994], „Równanie Lamego” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Rozow, N.Kh. (2001) [1994], „Funkcja Lamé” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•    Volkmer, H. (2010), „Funkcja Lamé” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
• Müller-Kirsten, Harald JW (2012), Wprowadzenie do mechaniki kwantowej: równanie Schrödingera i całka po ścieżce , wyd. , Świat Naukowy