Spłaszczona sferoidalna funkcja falowa

W matematyce stosowanej spłaszczone sferoidalne funkcje falowe (podobnie jak wydłużone sferoidalne funkcje falowe i inne powiązane funkcje) są zaangażowane w rozwiązanie równania Helmholtza we współrzędnych spłaszczonych sferoidalnych . Rozwiązując to $\xi ,\eta ,\varphi )}$ separacji $zmiennych$$\$ , z:

${\ Displaystyle \ z = (d/2) \ xi \ eta,}$

${\ Displaystyle \ x = (d/2) {\ sqrt {(\ xi ^ {2} + 1) (1- \ eta ^ {2})}} \ cos \ varphi,}$

${\ Displaystyle \ y = (d/2) {\ sqrt {(\ xi ^ {2} + 1) (1- \ eta ^ {2})}} \sin \varphi ,}$

${\ Displaystyle \ \ xi \ geq 0 {\ tekst {i}} | \ eta | \ równoważnik 1.}$

rozwiązanie $_ \ Displaystyle R_ {mn} (-ic, i \ xi)}$$iloczyn$ radialnej i kątowa funkcja fali sferoidalnej ${\ Displaystyle S_ {mn} (-ic, \ eta)}$ przez ${\ Displaystyle e ^ {im \ varphi}}$ . Tutaj do ${\ Displaystyle c = kd/2}$ , gdzie $\ Displaystyle d}$ jest długością międzyogniskową eliptycznego przekroju poprzecznego spłaszczonej sferoidy .

Funkcja fali radialnej ${\ Displaystyle R_ {mn} (-ic, i \ xi)}$ spełnia liniowe równanie różniczkowe zwyczajne :

${\ Displaystyle \ (\ xi ^ {2} + 1) {\ Frac {d ^ {2} R_ {mn} (-ic, i\xi)}{d\xi ^{2}}}+2\xi {\frac {dR_{mn}(-ic,i\xi)}{d\xi}}-\left(\lambda _{ mn}(c)-c^{2}\xi ^{2}-{\frac {m^{2}}{\xi ^{2}+1}}\right){R_{mn}(-ic ,i\xi )}=0}$ .

Funkcja fali kątowej spełnia równanie różniczkowe:

${\ Displaystyle \ (1- \ eta ^ {2}) {\ Frac {d ^ {2} S_ {mn} (-ic, \ eta) }{d\eta ^{2}}}-2\eta {\frac {dS_{mn}(-ic,\eta )}{d\eta }}+\left(\lambda _{mn}(c) +c^{2}\eta ^{2}-{\frac {m^{2}}{1-\eta ^{2}}}\right){S_{mn}(-ic,\eta)} =0}$ .

Jest to to samo równanie różniczkowe, co w przypadku radialnej funkcji falowej. Jednak zakres współrzędnej promieniowej $różni$$od$ współrzędnej .

Wartość własna $S$${ S_{mn}(-ic,\eta )}}$ -Liouville'a wymaganie, do będzie skończony dla ${\ displaystyle | \ eta | = 1}$ .

Dla tych dwóch równań $różniczkowych$ redukują się one do równań spełnianych przez Legendre'a . Dla $sferoidalnej można$ jako szereg funkcji Legendre'a. Takie rozszerzenia zostały rozważone przez Müllera.

${\ displaystyle c$${\ displaystyle -ic}$ falowych można otrzymać z odpowiednich równań dla wydłużonych sferoidalnych funkcji falowych przez podstawienie do i $} \ displaystyle i \ xi}$ dla ${\ displaystyle \ xi}$ . Notacja spłaszczonych funkcji sferoidalnych odzwierciedla tę zależność.

Istnieją różne schematy normalizacji funkcji sferoidalnych. Tabelę różnych schematów można znaleźć w Abramowitz i Stegun. Abramowitz i Stegun (oraz niniejszy artykuł) podążają za zapisem Flammera.

Pierwotnie sferoidalne funkcje falowe zostały wprowadzone przez C. Nivena, co prowadzi do równania Helmholtza we współrzędnych sferoidalnych. Monografie łączące ze sobą wiele aspektów teorii sferoidalnych funkcji falowych zostały napisane przez Strutta, Strattona i in., Meixnera i Schafke oraz Flammera.

Flammer przedstawił dokładne omówienie obliczania wartości własnych, kątowych funkcji falowych i promieniowych funkcji falowych zarówno dla przypadku spłaszczonego, jak i wydłużonego. Programy komputerowe do tego celu zostały opracowane przez wielu, w tym Van Buren i in., King i Van Buren, Baier i in., Zhang i Jin oraz Thompson. Van Buren opracował ostatnio nowe metody obliczania spłaszczonych sferoidalnych funkcji falowych, które rozszerzają możliwość uzyskiwania wartości liczbowych na niezwykle szerokie zakresy parametrów. Wyniki te opierają się na wcześniejszych pracach nad wydłużonymi sferoidalnymi funkcjami falowymi. Kod źródłowy Fortran, który łączy nowe wyniki z tradycyjnymi metodami, jest dostępny pod adresem http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com .

Tabele wartości liczbowych spłaszczonych sferoidalnych funkcji falowych podano w Flammer, Hanish i in. oraz Van Buren i in.

$.$ dla dużych wartości zostały wyprowadzone przez Müllera, również podobnie dla wydłużonych sferoidalnych funkcji falowych

Biblioteka cyfrowa funkcji matematycznych http://dlmf.nist.gov udostępniana przez NIST jest doskonałym źródłem informacji o funkcjach fal sferoidalnych.

Linki zewnętrzne

• Funkcje fali sferoidalnej MathWorld
• MathWorld Wydłużona funkcja fali sferoidalnej
• Funkcja spłaszczonej fali sferoidalnej MathWorld