Wydłużona funkcja fali sferoidalnej

Wydłużone sferoidalne funkcje falowe są funkcjami własnymi Laplace'a we współrzędnych wydłużonych sferoidalnych, dostosowanych do warunków brzegowych na pewnych elipsoidach obrotowych (elipsa obrócona wokół swojej długiej osi, „kształt cygara”). Pokrewne są spłaszczone sferoidalne funkcje falowe (elipsoida „w kształcie naleśnika”).

Rozwiązania równania falowego

, Rozwiąż równanie Helmholtza , metodą separacji zmiennych we współrzędnych sferoidalnych wydłużonych , ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi + k ^ {2} \ Phi$$(\xi ,\eta ,\varphi )$, with:

${\ Displaystyle \ x = a {\ sqrt {(\ xi ^ {2} -1) (1- \ eta ^ {2}) }} \ cos \ varphi ,}$

${\ Displaystyle \ y = a {\ sqrt {(\ xi ^ {2} -1) (1 -\eta ^{2})}}\sin \varphi,}$

${\ Displaystyle \ z = a \, \ xi \, \ eta,}$

i ${\ Displaystyle \ xi \ geq 1}$ , ${\ Displaystyle |\ eta |\ równoważnik 1}$ i ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ varphi \ równoważnik 2 \ pi}$ . Tutaj $eliptycznego$ przekroju wydłużonej sferoidy. Ustawienie ${\ displaystyle c = ka}$ , rozwiązanie ${\ Displaystyle \ Phi (\ xi, \ eta, \ varphi)}$ można zapisać jako iloczyn ${\ Displaystyle e ^ {{\ rm {i}} m \ varphi} }$ , promieniowa funkcja fali sferoidalnej ${\ Displaystyle R_ {mn} (c, \ xi)}$ i kątowa funkcja fali sferoidalnej ${\ Displaystyle S_ {mn} (c,\eta )}$ .

Funkcja fali radialnej spełnia liniowe równanie różniczkowe zwyczajne ${\ Displaystyle R_ {mn} (c, \ xi)$ }

${\ Displaystyle \ (\ xi ^ {2} -1) {\ Frac {d ^ {2} R_ {mn} (c, \ xi)} {d \ xi ^ { 2}}}+2\xi {\frac {dR_{mn}(c,\xi )}{d\xi }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\xi ^{2}+{\frac {m^{2}}{\xi ^{2}-1}}\right){R_{mn}(c,\xi)}=0}$

Funkcja fali kątowej spełnia równanie różniczkowe:

${\ Displaystyle \ (1- \ eta ^ {2}) {\ Frac {d ^ {2} S_ {mn} (c, \ eta)} {d \ eta ^ { 2}}}-2\eta {\frac {dS_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}+\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\eta ^{2}+{\frac {m^{2}}{\eta ^{2}-1}}\right){S_{mn}(c,\eta)}=0}$

Jest to to samo równanie różniczkowe, co w przypadku radialnej funkcji falowej. $,$ zakres zmiennej jest inny: w funkcji fali promieniowej gdy w funkcji fali ${\ Displaystyle |\ eta |\ równoważnik 1}$ . Wartość własna problemu $Sturma$ -Liouville'a ustalana ${\ Displaystyle {S_ {mn} (c, \ eta)}}$ musi być skończony dla ${\ Displaystyle \ eta \ do \ pm 1}$ .

Dla oba równania $różniczkowe$ redukują się do równań spełnianych przez Legendre'a . Dla $sferoidalnej można$ jako szereg funkcji Legendre'a.

S $= (1- \ eta ^ { 2}) ^ {m / 2} Y_ {mn} (c, \ eta)}$ , funkcja ${\ Displaystyle Y_ {mn} (c, \ eta)}$ spełnia

${\ Displaystyle \ (1- \ eta ^ {2}) {\ Frac {d ^ {2} Y_ {mn} (c, \ eta)} {d\eta ^{2}}}-2(m+1)\eta {\frac {dY_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}-\left(c^{2}\ eta ^{2}+m(m+1)-\lambda _{mn}(c)\right){Y_{mn}(c,\eta )}=0,}$

które jest znane jako równanie fali sferoidalnej . To równanie pomocnicze zostało użyte przez Strattona.

Sygnały o ograniczonym paśmie

W przetwarzaniu sygnałów funkcje wydłużonej fali sferoidalnej (PSWF) są przydatne jako funkcje własne operacji ograniczającej czas, po której następuje filtr dolnoprzepustowy. Niech $oznacza$$t$ obcinania czasu, $(t)}$ wtedy $,$ ma wsparcie na ${\ Displaystyle [-T, T]}$ . Podobnie niech $fa$ idealnego operatora filtrowania dolnoprzepustowego, takiego, że $\ Displaystyle f (t) = Bf (t)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jego transformata Fouriera jest ograniczony do ${\ Displaystyle [- \ Omega, \ Omega]}$ . $się, że$ operator jest liniowy ograniczony i samosprzężony . n ${\ Displaystyle n = 0,1,2, \ ldots}$ oznaczamy przez $t)}$ { n} (c ${\ displaystyle n}$ -ta funkcja własna , zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ BD \ psi _ {n} (c, t) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ Omega} ^ {\ Omega} \ lewo (\ int _{-T}^{T}\psi _{n}(c,\tau )e^{-i\omega \tau }\,d\tau \right)e^{i\omega t}\, d\omega =\lambda _{n}(c)\psi _{n}(c,t),}$

gdzie ${\ Displaystyle 1> \ lambda _ {0} (c)> \ lambda _ {1} (c)> \ cdots > 0}$ to powiązane wartości własne i ${\ Displaystyle c = T \ Omega}$ jest stałą. Funkcje ograniczone pasmem ${\ Displaystyle \ {\ psi _ {n} (c, t) \} _ {n = 0} ^ {\ infty}}$ to wydłużone sferoidalne funkcje falowe, proporcjonalne do ${ \displaystyle S_{0n}(c,t/T)}$ przedstawiony powyżej. (Zobacz także problem koncentracji widmowej ).

Pionierskie prace na tym terenie prowadzili Slepian i Pollak, Landau i Pollak oraz Slepian.

Wydłużone sferoidalne funkcje falowe, których domeną jest (część) powierzchni sfery jednostkowej, są bardziej ogólnie nazywane „funkcjami Slepiana”. Są one bardzo przydatne w takich dyscyplinach jak geodezja czy kosmologia.

Informacje techniczne i historia

Istnieją różne schematy normalizacji funkcji sferoidalnych. Tabelę różnych schematów można znaleźć u Abramowitza i Steguna, którzy stosują się do zapisu Flammera. Cyfrowa biblioteka funkcji matematycznych dostarczona przez NIST jest doskonałym źródłem informacji o funkcjach fali sferoidalnej.

Tabele wartości liczbowych sferoidalnych funkcji falowych podano w Flammer, Hunter, Hanish i in. oraz Van Buren i in.

Pierwotnie sferoidalne funkcje falowe zostały wprowadzone przez C. Nivena, co prowadzi do równania Helmholtza we współrzędnych sferoidalnych. Monografie łączące ze sobą wiele aspektów teorii sferoidalnych funkcji falowych zostały napisane przez Strutta, Strattona i in., Meixnera i Schafke oraz Flammera.

Flammer przedstawił dokładne omówienie obliczania wartości własnych, kątowych funkcji falowych i promieniowych funkcji falowych zarówno dla przypadku wydłużonego, jak i spłaszczonego. Programy komputerowe do tego celu zostały opracowane przez wielu, w tym King i in., Patz i Van Buren, Baier i in., Zhang i Jin, Thompson i Falloon. Van Buren i Boisvert opracowali ostatnio nowe metody obliczania wydłużonych funkcji fali sferoidalnej, które rozszerzają możliwość uzyskiwania wartości liczbowych na bardzo szeroki zakres parametrów. Kod źródłowy Fortran, który łączy nowe wyniki z tradycyjnymi metodami, jest dostępny na stronie http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com .

Müller wyprowadził asymptotyczne rozwinięcia kątowych wydłużonych funkcji fali sferoidalnej dla dużych $.$ Badał również związek między asymptotycznymi rozwinięciami sferoidalnych funkcji falowych.

Linki zewnętrzne

• Funkcje fali sferoidalnej MathWorld
• MathWorld Wydłużona funkcja fali sferoidalnej
• Funkcja spłaszczonej fali sferoidalnej MathWorld