Funkcja Heuna

  H. ℓ ${\ Displaystyle H \ ell (a, q; \ alfa, \ beta, \ gamma, \ delta$ za ; ( Karl LW Heun 1889 ) jest rozwiązaniem równania różniczkowego Heuna , które jest holomorficzne i 1 w punkcie osobliwym z = 0. Lokalna funkcja Heuna nazywana jest funkcją Heuna , oznaczoną Hf , jeśli jest również regularny w z = 1 i jest nazywany wielomianem Heuna , oznaczanym Hp , jeśli jest regularny we wszystkich trzech skończonych punktach osobliwych z = 0, 1, a .

Równanie Heuna

Równanie Heuna jest liniowym równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu (ODE) postaci

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + \ lewo [{\ Frac {\ gamma} {z}} + {\ Frac {\ delta} {z-1} }+{\frac {\epsilon}{za}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta zq}{z(z-1)(za)}}w =0.}$

Warunek $α$ przyjmowany tak, że (patrz poniżej).

Liczbę zespoloną q nazywamy parametrem dodatkowym . Równanie Heuna ma cztery regularne punkty osobliwe : 0, 1, a i ∞ z wykładnikami (0, 1 - γ), (0, 1 - δ), (0, 1 - ϵ) i (α, β). Każdy liniowy ODE drugiego rzędu na rozszerzonej płaszczyźnie zespolonej z co najwyżej czterema regularnymi punktami osobliwymi, takimi jak równanie Lamégo lub hipergeometryczne równanie różniczkowe , można przekształcić w to równanie przez zmianę zmiennej.

Łączenie się różnych regularnych osobliwości równania Heuna w nieregularne osobliwości prowadzi do kilku konfluentnych form równania, jak pokazano w poniższej tabeli.

Formy równania Heuna

Formularz	Osobliwości	Równanie
Ogólny	0, 1, za , ∞	${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + \ lewo [{\ Frac {\ gamma} {z}} + {\ Frac {\ delta} {z-1} }+{\frac {\epsilon}{za}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta zq}{z(z-1)(za)}}w =0}$
Dopływ	0, 1, ∞ (nieregularne, ranga 1)	${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} w}} dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma}}{z}}+{\frac {\delta}}{z-1}}+\epsilon \right]{\frac {dw}{dz }}+{\frac {\alpha zq}{z(z-1)}}w=0}$
Podwójnie konfluentny	0 (nieregularne, ranga 1), ∞ (nieregularne, ranga 1)	${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2} }}+\lewo[{\frac {\delta}}{z^{2}}}+{\frac {\gamma}}{z}}+1\prawo]{\frac {dw}{dz}}+{ \frac {\alpha zq}{z^{2}}}w=0}$
dwukonfluentny	0, ∞ (nieregularne, ranga 2)	${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} - \left[{\frac {\gamma}{z}}+\delta +z\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha zq}{z}}w=0}$
trójkonfluentny	∞ (nieregularne, ranga 3)	${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + \ left(\gamma +z\right)z{\frac {dw}{dz}}+\left(\alpha zq\right)w=0}$

q-analogowy

Analog q równania Heuna został odkryty przez Hahna ( 1971 ) i zbadany przez Takemurę (2017) .

Symetrie

Równanie Heuna ma grupę symetrii rzędu 192, izomorficzną z grupą Coxetera diagramu Coxetera D ₄ , analogiczną do 24 symetrii hipergeometrycznych równań różniczkowych uzyskanych przez Kummera. Symetrie ustalające lokalną funkcję Heuna tworzą grupę rzędu 24 izomorficzną z grupą symetryczną na 4 punktach, więc istnieją 192/24 = 8 = 2 × 4 zasadniczo różne rozwiązania, które działają na lokalną funkcję Heuna za pomocą tych symetrii, które dają rozwiązania dla każdego z 2 wykładników dla każdego z 4 punktów osobliwych. Pełną listę 192 symetrii podał Maier (2007) za pomocą obliczeń maszynowych. Kilka wcześniejszych prób ręcznego spisania ich przez różnych autorów zawierało wiele błędów i pominięć; na przykład większość z 48 lokalnych rozwiązań wymienionych przez Heuna zawiera poważne błędy.

Zobacz też

• Wielomiany Heinego – Stieltjesa , uogólnienie wielomianów Heuna.

• A. Erdélyi, F. Oberhettinger, W. Magnus i F. Tricomi Wyższe funkcje transcendentalne obj. 3 (McGraw Hill, Nowy Jork, 1953).
•   Forsyth, Andrew Russell (1959) [1906], Teoria równań różniczkowych. 4. Zwyczajne równania liniowe , New York: Dover Publications , s. 158, REGON 0123757
•   Heun, Karl (1889), "Zur Theorie der Riemanna'schen Functionen zweiter Ordnung mit vier Verzweigungspunkten" , Mathematische Annalen , 33 (2): 161, doi : 10.1007/bf01443849 , S2CID 120008459
•    Maier, Robert S. (2007), „192 rozwiązania równania Heuna”, Mathematics of Computation , 76 (258): 811–843, arXiv : math/0408317 , Bibcode : 2007MaCom..76..811M , doi : 10.1090/S0025-5718-06-01939-9 , MR 2291838 , S2CID 749861
•    Ronveaux, A., wyd. (1995), równania różniczkowe Heuna , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859695-0 , MR 1392976
•    Sleeman, BD; Kuznetzov, VB (2010), „Funkcje Heuna” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
•     Valent, Galliano (2007), „Funkcje Heuna a funkcje eliptyczne”, Równania różnicowe, funkcje specjalne i wielomiany ortogonalne , World Sci. Publ., Hackensack, NJ, s. 664–686, ARXIV : Math-Ph/0512006 , doi : 10.1142/9789812770752_0057 , ISBN 978-981-270-643-0 , MR 2451210 , S2CID 8520520 .
• Hahn W. (1971) O liniowych geometrycznych równaniach różnicowych z parametrami dodatkowymi. Funkcial. Ekvac., 14, 73–78
• Takemura, K. (2017), „Degenerations of Ruijsenaars – van Diejen operator and q-Painlevé równania”, Journal of Integrable Systems , 2 (1), arXiv : 1608,07265 , doi : 10,1093/integr/xyx008 .