Równanie różniczkowe Hilla

W matematyce równanie Hilla lub równanie różniczkowe Hilla jest liniowym równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + f (t) y = 0}

gdzie $\$ funkcją przez minimalny okres π $pi}$ . Rozumiemy przez to, że dla wszystkich ${\ displaystyle t}$

{\ Displaystyle f (t + \ pi) = f (t)}

I

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} f (t) \, dt = 0,}

a jeśli jest liczbą z $0 <p <\ pi}$ $Displaystyle$ ${\ Displaystyle f (t + p) = f (t)}$ równanie musi zawieść przez jakiś czas ${\ displaystyle t}$ . Jej nazwa pochodzi od George'a Williama Hilla , który wprowadził ją w 1886 roku.

Ponieważ $fa$ okres , równanie Hilla można przepisać za pomocą szeregu Fouriera : ${\ Displaystyle f (t)} :$ $\ Displaystyle f (t)$ }

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + \ lewo (\ teta _ {0} + 2 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ teta _ {n}\cos(2nt)+\suma _{m=1}^{\infty}\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0.}

Ważne przypadki szczególne równania Hilla obejmują równanie Mathieu (w którym zawarte są tylko wyrazy odpowiadające n = 0, 1) i równanie Meissnera .

Równanie Hilla jest ważnym przykładem w zrozumieniu okresowych równań różniczkowych. W zależności od dokładnego kształtu $wykładniczo$ oscylacji w rozwiązaniach Dokładną postać rozwiązań równania Hilla opisuje teoria Floqueta . Rozwiązania można również zapisać w kategoriach wyznaczników Hilla.

Oprócz pierwotnego zastosowania do stabilności Księżyca, równanie Hilla pojawia się w wielu ustawieniach, w tym w modelowaniu kwadrupolowego spektrometru mas , jako jednowymiarowe równanie Schrödingera elektronu w krysztale, optyka kwantowa układów dwupoziomowych oraz w akceleratorze fizyka .

Linki zewnętrzne

„Równanie Hilla” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. „Równanie różniczkowe Hilla” . MathWorld .
Wolf, G. (2010), „Funkcje Mathieu i równanie Hilla” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248